29 Febrero, 2020, 02:44 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Hallar Minimimo Sin usar Derivadas  (Leído 1933 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
lexer
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 35


Ver Perfil
« : 05 Junio, 2017, 18:37 »

Hola
Tengo el siguiente problema:
Una hoja debe contener [texx]500cm^2[/texx]de impresión con márgenes de 3 cm por lado. Me pidendetermina las dimensiones mínimas de la hoja

Lo pudé hacer mediante Optimizacion usando derivadas:

Area de impresion serian: [texx]500cm^2[/texx]
Si digo que el el largo del area de impresion es [texx]y[/texx] y el ancho [texx]x[/texx] se tiene que area de impresion es:
[texx]x*y=500[/texx] si despejo [texx]y[/texx] me queda [texx]y=\displaystyle\frac{500}{x}[/texx]

El area de la hoja seria:
[texx]A=(x+6)*(y+6)[/texx]
 Sustituyendo [texx]y=\displaystyle\frac{500}{x}[/texx] en el Area de la Hoja
[texx]A=(x+6)(\displaystyle\frac{500}{x}+6)[/texx] Resolviendo:

[texx]A=\displaystyle\frac{500x}{x}+6x+\displaystyle\frac{3000}{x}+36[/texx]

[texx]A=536+6x+\displaystyle\frac{3000}{x}[/texx]

Derivando [texx]A[/texx] respecto a [texx]x[/texx]:

[texx]A^{\prime}=6-\displaystyle\frac{3000}{x^2}[/texx]

Igualando La derivada  [texx]A^{\prime}=0[/texx]

[texx]0=6-\displaystyle\frac{3000}{x^2}[/texx]

Despejando [texx]x[/texx]

[texx]x^2=\displaystyle\frac{3000}{6}[/texx]

[texx]x=\sqrt[ 2]{500}=\pm{22,36}[/texx] Tomando el valor positivo [texx]x=22,36[/texx]

Comprobando si es un minimo, derivando de nuevo a [texx]A^{\prime}[/texx]

[texx]A^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{6000}{x^3}[/texx] Sustituyendo el valor de [texx]x[/texx]

[texx]A^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{500}{22,36^3}[/texx]  [texx]A^{\prime\prime}=0,536[/texx] como [texx]A^{\prime\prime}[/texx] es positivo es un minimo

Sustituyendo el valor de [texx]x[/texx] en [texx]y=\displaystyle\frac{500}{x}[/texx]

 [texx]y=\displaystyle\frac{500}{22,36}=22,36[/texx]

Con lo cual se obtiene que las dimensiones minimas de la hoja son [texx]Largo=22,36+6=28,36[/texx] y [texx]Ancho=22,36+6=28,36[/texx]

Mi pregunta es puedo llegar a esta solucion sin usar derivadas?

Gracias de antemano
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 05 Junio, 2017, 18:43 »

Hola

 Entiendo por como lo has planteado que por "dimensiones mínimas de la hoja" se refiere a hora de área mínima.

 Entonces tienes que minimizar:

[texx] A=(x+6)(y+6)=36+6(x+y)+xy[/texx]

 bajo la restricción [texx]xy=500[/texx].

 Pero entonces:

[texx] A=36+500+6(x+y)[/texx]

 Ahora basta que uses la desigualdad aritmético-geométrica:

[texx] \dfrac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/texx]

 con igualdad si y sólo si [texx]x=y[/texx].

Saludos.
En línea
lexer
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 35


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 05 Junio, 2017, 19:26 »

Gracias por tu respuesta, como los margenes son iguales 3 centimetros por lado, la hoja me dio un cuadrado de lado [texx]28,36[/texx], no necesariamente deberia darme un cuadrado con [texx]x[/texx] y [texx]y[/texx] iguales? Si [texx]x[/texx] y [texx]y[/texx] son dieferenetes, es decir una hoja de forma rectangular, como podria calcular el area minima de la hoja para [texx]x[/texx] y [texx]y[/texx] dieferenetes?
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 06 Junio, 2017, 05:15 »

Hola

Gracias por tu respuesta, como los margenes son iguales 3 centimetros por lado, la hoja me dio un cuadrado de lado [texx]28,36[/texx], no necesariamente deberia darme un cuadrado con [texx]x[/texx] y [texx]y[/texx] iguales? Si [texx]x[/texx] y [texx]y[/texx] son dieferenetes, es decir una hoja de forma rectangular, como podria calcular el area minima de la hoja para [texx]x[/texx] y [texx]y[/texx] dieferenetes?

No estoy seguro de entenderte. Nosotros no forzamos que la hoja sea cuadrada, sino que obtenemos que el área mínima se obtiene para un cuadrado. No podemos obligar a que ese mínimo se alcance para un rectángulo, si de hecho se alcanza para el cuadrado.

Si te refieres a tomar márgenes distintos [texx]a,b[/texx], entonces habría que minimizar:

[texx]A=(x+2a)(y+2b)=xy+2(by+ax)+4ab[/texx]

La clave igualmente está en usar la desigualdad aritmético-geométrica:

[texx]\dfrac{by+ax}{2}\geq \sqrt{abxy}[/texx]

con igualdad si [texx]by=ax[/texx].

Saludos.
En línea
lexer
Junior
**

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Venezuela Venezuela

Mensajes: 35


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 07 Junio, 2017, 12:21 »

Hola, gracias por sus respuestas, estuve revisando desigualdad aritmético-geométrica, pero no entiendo a donde debo llegar con la demostracion?

Debo tratar manipular las ecuaciones  [texx] xy=500[/texx]  y  [texx]A=36+500+6(x+y)[/texx]  :¿eh?:

Con artificios para llegar a obtener una inecuacion que tenga la forma:

[texx]\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq{\sqrt[ ]{xy}}[/texx]

 con igualdad si y sólo si [texx] x=y[/texx]

??
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 07 Junio, 2017, 12:51 »

Hola

Hola, gracias por sus respuestas, estuve revisando desigualdad aritmético-geométrica, pero no entiendo a donde debo llegar con la demostracion?

Debo tratar manipular las ecuaciones  [texx] xy=500[/texx]  y  [texx]A=36+500+6(x+y)[/texx]  :¿eh?:

Con artificios para llegar a obtener una inecuacion que tenga la forma:

[texx]\displaystyle\frac{x+y}{2}\geq{\sqrt[ ]{xy}}[/texx]

 con igualdad si y sólo si [texx] x=y[/texx]

Pero no hay mucho que manipular.

Tienes que:

[texx]A=36+500+6(x+y)=536+6(x+y)[/texx]

y aplicando la desigualdad arimético-geométrica:

[texx]A=536+6(x+y)\geq 536+6\cdot 2\sqrt{xy}=536+12\sqrt{500}=536+120\sqrt{5}.[/texx]

y ese mínimo se alcanza cuando [texx]x=y[/texx]; como [texx]xy=500[/texx] cuando, [texx]x^2=500[/texx].

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!