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Autor Tema: ¿Cómo sabemos que hay infinitos números naturales estándar metamatemáticos?  (Leído 542 veces)
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Raúl Aparicio Bustillo
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« : 04/06/2017, 04:18:14 am »

Sí, mi duda está relacionada con el ultrafinitismo. Creo que Nelson tenía un punto de vista muy concreto sobre esto, pero no encuentro nada en Internet sobre su postura
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feriva
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« Respuesta #1 : 04/06/2017, 04:54:49 am »

Sí, mi duda está relacionada con el ultrafinitismo. Creo que Nelson tenía un punto de vista muy concreto sobre esto, pero no encuentro nada en Internet sobre su postura

Básicamente porque cualquier número natural tiene siguiente, si alguno fuera el último, no tendría siguiente y ya no se  podría aplicar la aritmética de Peano.

Nelson, según lo que parece poner aquí, creo que no considera exactamente la aritmética de Peano, entiende que los naturales no “obedecen” del todo esos axiomas, con lo que ya no habla de lo mismo que los demás, pero no estoy seguro de entender bien, mira a ver.

https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/09/the_inconsistency_of_arithmeti.html

Saludos.
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Raúl Aparicio Bustillo
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« Respuesta #2 : 04/06/2017, 08:02:02 am »



Básicamente porque cualquier número natural tiene siguiente, si alguno fuera el último, no tendría siguiente y ya no se  podría aplicar la aritmética de Peano. 

Pero yo hablo de números metamatemáticos. Por ejemplo, si una fórmula tiene n símbolos, hemos de conocer de antemano el cardinal n y los ordinales hasta n; si no conociéramos previamente los ordinales, no reconoceríamos el significado de una fórmula (en cualquier modelo de la teoría) pues si cambiamos de orden los símbolos, o se estropea la sintaxis y ya no es una fórmula, o pasa a significar otra cosa

Obviamente, estos no pueden ser infinitos. En la Tierra hay (vamos a suponer) [texx] 3
\cdot{10^9} [/texx]personas. Formalmente entiendo el número porque las potencias son productos abreviados y conozco la definición, y usando los axiomas de Peano puedo operar con él  podría demostrar cosas  incluso sobre ese número, pero mi mente no es capaz de asimilarlo, . Entender un número (llamemosle m) mentalmente es ser capaz de visualizar m objetos, o de tenerlos en la mente.

Si nuesean del tipo que sean, y sin desplazar nuestro campo de visión, o tener . Y sí, efectivamente, el axioma del siguiente no vale para estos números, y el de inducción tengo dudas. Pero ya no la aritmética de Peano, cualquier teoría con sus fórmulas necesita entender algo sobre los números, por lo que te he dicho de las fórmulas, y no estoy contando el cardinal del de los símbolos del lenguaje, ni que pueden ser varias fórmulas (infinitas aunque recursivas, claro), si  no, necesitaríamos una memoria infinita para aprender la teoría.

Tú partes de los axiomas de Peano, pero, hasta cierto número son válidos todos menos el del siguiente y el de inducción creo. Entonces, efectivamente, estos 2 últimos axiomas no los podría usar para demostrar algo sobre los números metamatemáticos, que pero tú usas el del siguiente para decir que nuestra mente puede imaginar los infinitos, cuando si tenemos una memoria de [texx]n[/texx] bits, podemos asimilar [texx]2^n[/texx] números, aunque puede ser que haya numeros transfinitos asimilables metamatemáticamente y otros finitos que no. Quitando esos 2 axiomas es obvio que el resto de axiomas se cumplen hasta un cierto valor (para los naturales), pero de los otros 2 no podemos decir ni que sean consistentes en relación al resto. Pero vamos a considerar que son consistentes, aunque la prueba de Gentzen, por ejemplo requiere inducción hasta [texx]\epsilon_0.[/texx], que por lo visto sí se puede manejar metamátematicamente.  Lo que no veo claro es ese límite (doy por hecho que sólo se puede estimar por abajo). Sin estos números metamatématicos sería imposible usar cualquier teoría, no es que sea inconsistente, es que no la vamos a saber.

Por supuesto, habrá personas que tengan mas de n bits de memoria, pero siempre finita, entonces no veo razón para que usemos demostraciones que requieran más números que los necesarios al menos para un paso de la demostración a realizar mediante las reglas de inferencia, e incluso 1 ó varios axiomas de la teoría según la regla de inferencia usada y los axiomas lógicos si no están considerados en la teoría previa

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feriva
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« Respuesta #3 : 04/06/2017, 09:54:41 am »



Pero yo hablo de números metamatemáticos.



Ah, es verdad, perdona, al leer no había reparado en eso. En ese caso no puede opinar, no he leído sobre ello prácticamente nada.

Saludos.
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matemastrico
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« Respuesta #4 : 17/09/2017, 12:43:47 pm »

La clave está en que un número es en relación a otro, y si hay infinitos, no puede haber relación, por lo que sólo sería 0 o una unidad de todo. El número n tiene n-1 números detrás... INFINITO TIENE INFINITOS NÚMEROS DETRÁS, nunca llegas a 0. Por lo que se complica la matemática a otra más compleja.
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