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Autor Tema: Espectro  (Leído 967 veces)
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irenesevillana
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« : 03/06/2017, 09:19:43 am »

Buenas tardes,
Sabemos que si A es un anillo noetheriano, entonces su espectro es un espacio topológico.
alguien me pueda dar un contraejmplo del reciproco.
Espero vuestra ayuda.
Saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 05/06/2017, 07:19:14 am »

Hola

Buenas tardes,
Sabemos que si A es un anillo noetheriano, entonces su espectro es un espacio topológico.
alguien me pueda dar un contraejmplo del reciproco.
Espero vuestra ayuda.
Saludos.

Es que en realidad la propiedad de ser noetheirano es indiferente en el hecho de que el espectro sea espacio topológico.

El espectro de cualquier anillo conmutativo es un espacio topológico con la topología de Zariski. Entonces como ejemplo del recíproco te vale tomar cualquier anillo conmutativo no noetheriano, por ejemplo un anillo de polinomios en infinitas variables.

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #2 : 05/06/2017, 11:59:14 am »

Hola el_manco,muchas gracias por tu respuesta te lo agradezco.
Pero nosotros vimos en teoría que el ser anillo noetheriano implica que el espectro es espacio topológico sin embargo no todo el espectro de un espacio topológico implica que el anillo es noetheriano. Que es más fuerte el espectro de cualquier anillo conmutativo es un espacio topológico.
Un saludos.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 05/06/2017, 02:26:30 pm »

Hola

Hola el_manco,muchas gracias por tu respuesta te lo agradezco.
Pero nosotros vimos en teoría que el ser anillo noetheriano implica que el espectro es espacio topológico sin embargo no todo el espectro de un espacio topológico implica que el anillo es noetheriano. Que es más fuerte el espectro de cualquier anillo conmutativo es un espacio topológico.

¿Tienes algún enunciado que puedas transcribir al pie de la letra?.

Tal como estás escribiendo las cosas no entiendo a que te refiere. Por ejemplo hablas del "espectro de un espacio topológico". ¿A qué llamas espectro de un espacio topológico?. Por otra parte entiendo que en todo momento hablamos de la topología de Zarisk. ¿De acuerdo en eso?.

Por otra parte la propiedad de ser noetheriano tiene que ver con la existencia o no de cadenas ascendentes de ideales; en espacios topológicos con la existencia o no de cadenas ascendentes de cerrados. Pero con lo que yo sé no tiene nada que ver con la existencia o no de una topología.

Quizá si hicieses un resumen de las definiciones que manejas relacionadas con tu pregunta pueda entenderla mejor.

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #4 : 05/06/2017, 03:06:00 pm »

Hola de nuevo El_manco gracias por tu respuesta y por tu tiempo ,te explico
El enunciado:Si A es un anillo noetheriano, entonces Spec A es un espacio topológico noetheriano.
Prueba:(Un espacio topológico se dice que es noetheriano si toda cadena descendente de cerrados
estabiliza).
Consideremos la siguiente cadena descendente de cerrados 1[texx]Y_1⊇ Y_2⊇ ....⊇ Y_n⊇ .....[/texx]
Sean  [texx]I_i[/texx]ideales de funciones que se anulan en [texx]Y_i[/texx] ,entonces [texx]Y_i=(I)_0[/texx] y tenemos la cadena
I_1 ⊆ I_2  ⊆ I · · · ⊆ I_n ⊆ · · ·
Cadena que estabiliza porque A es noetheriano por hipótesis, por lo tanto , existe n ∈ N de modo que[texx]I_n=I_{n+1}=...[/texx]
Entonces , [texx]Y_n=Y_{n+1}=...[/texx]

Pero el reciproco no es cierto !!!
Espero haberme explicado bien.
Saludos.
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« Respuesta #5 : 05/06/2017, 03:24:13 pm »

Hola

Hola de nuevo El_manco gracias por tu respuesta y por tu tiempo ,te explico
El enunciado:Si A es un anillo noetheriano, entonces Spec A es un espacio topológico noetheriano.

¡Pero así SI!. Estabas omitiendo el decisivo adjetivo de noetheriano para el espacio topógico.  :guiño:

Entonces toma por ejemplo [texx]A=K[x_1,x_2,\ldots]/(x_1^2,x_2^2,\ldots)[/texx] y comprueba que [texx]spec(A)[/texx] es un punto (y por tanto noetheriano) y sin embargo [texx]A[/texx] no lo es (el ideal [texx](x_1,x_2,\ldots)[/texx] no es finitamente generado).

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #6 : 05/06/2017, 03:32:30 pm »

Vaya error !! siento haberte hecho pensar mucho,omití el noetheriano.
Ahora por fin tengo el contraejemplo.
Muchísimas gracias El_manco por responderme.
Saludos.
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