Hola.
Pero eso es imposible, el radio debe ser mayor que [texx]3[/texx], o al menos mayor que [texx]2[/texx] si el triángulo fuese obtusángulo.[...]
Claro, sólo fue un error de tipeo, quise escribir [texx]{\color{blue}3},72692[/texx]

. De todos modos me acabo de percatar que tuve un error en mis cálculos. Lo que hice fue lo siguiente:
Llamando [texx]R=x+3[/texx] al radio de la circunferencia puede mostrarse que los lados del triángulo miden [texx]c=2\sqrt{2x+5},\;b=2\sqrt{3(2x+3)}[/texx] y [texx]a=4\sqrt{x+2}.[/texx] Con esto se deduce que el área del triángulo es
\begin{equation}\label{E1}\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{4\sqrt{3(2x+3)(x+2)(2x+5)}}{x+3}.\end{equation}
Por otro lado, completando los tres radios que forman parte de las mediatrices de los lados del triángulo podemos conocer las razones trigonométricas de cada uno de los ángulos del triángulo. De esto, usando que los ángulos suman [texx]\pi[/texx] obtenemos que
[texx]\dfrac{x}{x+3}\dfrac{x+2}{x+3}-\dfrac{\sqrt{3(2x+3)}}{x+3}\dfrac{\sqrt{2x+5}}{x+3}+\dfrac{x+1}{x+3}=0,[/texx]
de donde al simplificar se obtiene que [texx]x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-3x-9=0,[/texx] cuya única raíz real positiva es aproximadamente [texx]0,87939[/texx] (únicamente tuve un error al calcular la raíz de este polinomio). El valor exacto de [texx]x[/texx] es
[texx]x=e^{i\pi/9}+e^{-i\pi/9}-1=2\cos(\pi/9)-1,[/texx]
de donde se deduce que [texx]R=2+2\cos(\pi/9),[/texx] el mismo valor que obtuvo ilarrosa. Reemplazando en \eqref{E1} obtenemos lo que ilarrosa mencionó desde el inicio.
Saludos,
Enrique.