Área de Triángulo

[0_kool]

Una ayuda con éste problema.

[Ignacio Larrosa]

Una ayuda con éste problema.

¡Hummmm...! A mi en una primera aproximación, me sale algo así como [texx]17.2[/texx]

Seguiré pensándolo ...

Saludos,

[EnRlquE]

Hola.

 Puedo estar equivocándome poque cabo de hacer muchas cuentas, pero por fuerza bruta he encontrado que el radio de la circunferencia es aproximadamente [texx]{\color{red}3},72692.[/texx] De esto consigo deducir que el área de la región triangular es aproximadamente [texx]16,45,[/texx] que no parece ajustarse a las alternativas  . Me he quedado sin tiempo, si es de interés en estos días detallo lo que hice.

Saludos,

Enrique.

Nota: Mensaje editado (de todos modos el valor que aquí se menciona no es correcto, ver respuesta #6).

[Ignacio Larrosa]

Pero eso es imposible, el radio debe ser mayor que [texx]3[/texx], o al menos mayor que [texx]2[/texx] si el triángulo fuese obtusángulo. A mi me queda por fuerza bruta gráfica [texx]r \approx{} 3.87938524\textrm{ y }S \approx{} 17.186554705[/texx], véase el applet. Con la solución exacta, el punto [texx]B[/texx] no debería estar ni Fuera ni Dentro, sino en la circunferencia (Bingo), dentro del error de aproximación de GeoGebra.


Saludos,

[Ignacio Larrosa]

Una solución trigonométrica (y la imposibilidad de construcción con regla y compás).

Sea [texx]r[/texx] el radio de la circunferencia. Por Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo que tiene el radio como hipotenusa y la mitad de cada lado como uno de los catetos, es fácil llegar a:

[texx]a= 2\sqrt[ ]{4r-4}[/texx]
[texx]b= 2\sqrt[ ]{6r-9}[/texx]
[texx]c= 2\sqrt[ ]{2r-1}[/texx]

Entonces, por el teorema del coseno, tenemos que

[texx]\cos\alpha = \displaystyle\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}=\displaystyle\frac{(6r-9) + (2r-1) - (4r-4)}{2\sqrt[ ]{6r-9}\sqrt[ ]{2r-1}}=\displaystyle\frac{2r-3}{\sqrt[ ]{6r-9}\sqrt[ ]{2r-1}}[/texx]

A partir de aquí,

[texx]\sen\alpha = \displaystyle\frac{2\sqrt[ ]{r(2r-3)}}{\sqrt[ ]{6r-9}\sqrt[ ]{2r-1}}[/texx]

Y el área:

[texx]S=\dfrac{1}{2}bc\sen\alpha = 4\sqrt[ ]{r(2r-3)}[/texx]

Ahora solo hay que calcular el radio. Del teorema del seno,

[texx]2r=\displaystyle\frac{a}{\sen\alpha}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{4r-4}\sqrt[ ]{6r-9}\sqrt[ ]{2r-1}}{\sqrt[ ]{r(2r-3)}} [/texx]

[texx]r^3 = 3(r-1)(2r-1)[/texx]

[texx]r^3-6r^2+9r-3=0[/texx]

Ecuación cúbica sin soluciones racionales, lo que nos indica ya la imposibilidad de construir r con regla y compás. Efectuando la sustitución [texx]p = r - 2[/texx], queda

[texx]p^3 - 3p - 1 = 0[/texx]

Haciendo ahora [texx]p = 2\cos t[/texx],

[texx]8\cos^3 t - 6\cos(t) - 1 = 0 \;\Rightarrow{}\; \cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t = \displaystyle\frac{1}{2}\;\Rightarrow{} t = \displaystyle\frac{1}{3} \arccos \frac{1}{2}+ \displaystyle\frac{2k\pi}{3}=\displaystyle\frac{\pi}{9}+ \displaystyle\frac{2k\pi}{3},\;k = 0, 1, 2[/texx]

Nos quedan entonces los valores para el radio:

[texx]r=\begin{cases}
2+2\cos\displaystyle\frac{\pi}{9}&\approx{}3.879385241\\
2+ 2\cos\displaystyle\frac{7\pi}{9} & \approx{}0.4679111137\\
2+ 2\cos\displaystyle\frac{13\pi}{9} & \approx{}1.652703644
\end{cases}[/texx]

Code debe ser [texx]r \geq{} 2[/texx], solo nos vale la solución [texx]r = 2+2\cos\displaystyle\frac{\pi}{9}\approx{}3.879385241[/texx]

Que nos da para el área del triángulo

[texx]S = 4\sqrt[ ]{r(2r-3)} = 4\sqrt[ ]{4\cos\displaystyle\frac{2\pi}{9}+10\cos\displaystyle\frac{\pi}{9}+ 6}\approx{}17.18655473[/texx]

Acorde con el resultado obtenido anteriormente con GeoGebra.

Saludos,

[0_kool]

Wow, siempre me encuentro con problemas que tienen algo especial como éste, no es que no entienda el desarrollo, pero siempre parto de la base de resolverlos sin trigonometría, añadiendo trazos auxiliares etc.
Gracias Ignacio por el desarrollo.

[EnRlquE]

Hola.

Pero eso es imposible, el radio debe ser mayor que [texx]3[/texx], o al menos mayor que [texx]2[/texx] si el triángulo fuese obtusángulo.[...]

 Claro, sólo fue un error de tipeo, quise escribir [texx]{\color{blue}3},72692[/texx]  . De todos modos me acabo de percatar que tuve un error en mis cálculos. Lo que hice fue lo siguiente:

 Llamando [texx]R=x+3[/texx] al radio de la circunferencia puede mostrarse que los lados del triángulo miden [texx]c=2\sqrt{2x+5},\;b=2\sqrt{3(2x+3)}[/texx] y [texx]a=4\sqrt{x+2}.[/texx] Con esto se deduce que el área del triángulo es

\begin{equation}\label{E1}\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{4\sqrt{3(2x+3)(x+2)(2x+5)}}{x+3}.\end{equation}

 Por otro lado, completando los tres radios que forman parte de las mediatrices de los lados del triángulo podemos conocer las razones trigonométricas de cada uno de los ángulos del triángulo. De esto, usando que los ángulos suman [texx]\pi[/texx] obtenemos que

[texx]\dfrac{x}{x+3}\dfrac{x+2}{x+3}-\dfrac{\sqrt{3(2x+3)}}{x+3}\dfrac{\sqrt{2x+5}}{x+3}+\dfrac{x+1}{x+3}=0,[/texx]

de donde al simplificar se obtiene que [texx]x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-3x-9=0,[/texx] cuya única raíz real positiva es aproximadamente [texx]0,87939[/texx] (únicamente tuve un error al calcular la raíz de este polinomio). El valor exacto de [texx]x[/texx] es

[texx]x=e^{i\pi/9}+e^{-i\pi/9}-1=2\cos(\pi/9)-1,[/texx]

de donde se deduce que [texx]R=2+2\cos(\pi/9),[/texx] el mismo valor que obtuvo ilarrosa. Reemplazando en \eqref{E1} obtenemos lo que ilarrosa mencionó desde el inicio.

Saludos,

Enrique.