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Autor Tema: Operadores bilineales  (Leído 186 veces)
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DeisyF.
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« : 28/05/2017, 11:42:10 pm »

Buenas noches, mentes brillantes.
Quisiera por favor, me ayudaran a desatar este enredo que tengo en la cabeza.

Sea B(H) el conjunto de todos los operadores bilineales acotados.

Me piden demostrar que el operador bilineal: [texx]T: L^{2}(0,1) \rightarrow L^{2}(0,1)[/texx] tal que [texx]Tu(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}u(x)dx[/texx]:
1. [texx]T \in B(H)[/texx] y que [texx]  \left\|{T}\right\| \leq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx].

Que se. Se que  [texx]u(x)[/texx] representa el k-ésimo coeficiente de Fourier: [texx]\hat{u}(k)=\displaystyle\int_{0}^{1} e^{-2\pi kx} u(x) dx [/texx], las cuales son todas integrables, tales que u(x) es [texx]0, x<0[/texx] y  [texx]1, x>1[/texx].

Ahora, se que para ser operador bilineal debe cmplir que:
1. [texx]T(\alpha x + \beta y, z) = \alpha T(x,z) + \beta T(y,z)[/texx]
2. [texx]T(x, \alpha z + \beta y) = \bar{\alpha}T(x,z) + \bar{\beta} T(x,y)[/texx]
Lo que no comprendo es como aplicar esta definición para saber que es un operador bilineal y que tiene esa norma.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 29/05/2017, 05:33:34 am »

Hola

Buenas noches, mentes brillantes.
Quisiera por favor, me ayudaran a desatar este enredo que tengo en la cabeza.

Sea B(H) el conjunto de todos los operadores bilineales acotados.

Me piden demostrar que el operador bilineal: [texx]T: L^{2}(0,1) \rightarrow L^{2}(0,1)[/texx] tal que [texx]Tu(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}u(x)dx[/texx]:
1. [texx]T \in B(H)[/texx] y que [texx]  \left\|{T}\right\| \leq \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}[/texx].

 Revisa el enunciado; hay cosas que no cuadran.

 Un operador bilineal debe de llevar dos vectores en un escalar; sin embargo tu aplicación está definida de [texx]L^{2}(0,1) [/texx] en [texx]L^{2}(0,1) [/texx], es decir, como si llevase un vector en otro vector.

 Adicionalmente la fórmula [texx]Tu(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}u(x)dx[/texx], da como resultado un número. Entonces realmente la aplicación como está definida lleva un solo vector en un escalar.

Saludos.
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