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Autor Tema: convergencia  (Leído 515 veces)
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irenesevillana
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« : 27/05/2017, 05:31:56 am »

Hola, me podéis ayudar en este problema. Os lo agradeciera
Sea [texx]{X_n}[/texx] una sucesión de vv.aa. i.i.d., tal que  [texx]E(|{X_1}^p|)<\infty[/texx] ,con [texx]m_p =E({X_1}^p)[/texx].Probar que
[texx]\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{X_n^p}\xrightarrow{\;\; c.s{} \;\; }m_p[/texx]

Lo único que se me ocurre es un teorema que dice que si la media es nula , la varianza finita y si [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{\sigma_i}<\infty [/texx]  entonces [texx]\displaystyle\sum_{i=1}^n{X_i}[/texx] es convergente casi segura pero por las hipótesis del problema no tenemos que la media es nula...luego no lo podemos aplicar!!!
Cualquier sugerencia me vendría bien .
Un saludo
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« Respuesta #1 : 30/05/2017, 07:48:16 pm »

Hola irenesevillana.

 Se trata de una aplicación de la ley de grandes números a las variables [texx]Y_{n}:=X_{n}^{p}.[/texx] De las hipótesis se deduce que [texx](Y_{n})_{n\geq1}[/texx] es una sucesión de variables aleatorias i.i.d. con esperanza [texx]\mathbb{E}[Y_{n}]=\mathbb{E}[X_{n}^{p}]=\mathbb{E}[X_{1}^{p}]=m_{p}.[/texx]

 Luego por la ley de grandes números tenemos que [texx]\frac{1}{n}(Y_{1}+\dots+Y_{n})[/texx] converge a [texx]m_{p}[/texx] casi ciertamente.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 03/06/2017, 09:11:07 am »

Muchas gracias EnRlquE por tu respuesta, lo acabo de ver :sonrisa:
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