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Autor Tema: Puntos de tangencia. Se da una pista.  (Leído 847 veces)
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Michel
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« : 22/05/2017, 04:25:01 am »

Sobre la base AC del triángulo isósceles ABC, se toma un punto M tal que AM=m y MC=n.
En cada uno de los triángulos ABM y CBM está inscrita una circunferencia.
Hallar la distancia entre los puntos de tangencia del lado BM con esas circunferencias.

PISTA. Distancia de un vértice A de un triángulo a los puntos de tangencia de la circunferencia inscria
con los lados AB y AC
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« Respuesta #1 : 05/06/2017, 12:51:58 pm »

Valores de las distancias mencionadas en la pista.


Con la notación de la figura se obtiene:

x+y=AB=c,    y+z=BC=a,     z+x=AC=b

Resolviendo el sistema de ecuaciones y siendo p el semiperímetro:

x=p-a,   y=p-b,   z=p-c

* SEGMENTOS_DE_TANGENTES.ggb (3.91 KB - descargado 93 veces.)
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« Respuesta #2 : 07/06/2017, 04:09:53 am »


Sean E y F los puntos de tangencia de ls circunferencias con el lado BM.

EF=ME-MF

En el triángulo ABM: [texx]\dfrac{n+a+MC}{2}-a=\frac{n+MC-a}{2}[/texx]

En el triángulo CBM: [texx]\dfrac{m+a+MC}{2}-a=\dfrac{m+MC-a}{2}[/texx]


Entonces: EF=n-m,  cuando n>m, y m-n cuando m>n.

Si m=n, EF=0

La solución puede expresarse:  EF=|m-n|.


* PUNTOS_DE_TANGENCIA_copia.ggb (3.96 KB - descargado 77 veces.)
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« Respuesta #3 : 07/06/2017, 05:56:41 am »

Mi ggb con la solución y alguna consideración añadida:



Recuérdese que las tangentes trazadas desde un punto a una circunferencia son iguales: [texx]AF = AG, MF = MD, BG = BD, MH = ME, CH = CI\textrm{ y }BE = BI[/texx].

[texx]K[/texx] es el punto medio de[texx] A\textrm{ y }C[/texx], Por tanto, [texx]AK = \dfrac{m + n}{2}\textrm{ y }MK = \dfrac{\left |{m-n}\right |}{2}[/texx]

La otra tangente interior de las dos circunferencias pasa entonces por [texx]K[/texx].

En general para cualquier par de circunferencias exteriores se tiene que:

i) Los segmentos determinados por los puntos de tangencia en las tangentes exteriores son iguales que los determinados por las tangentes exteriores en las tangentes interiores.

ii) Los segmentos determinados por los puntos de tangencia en las tangentes interiores son iguales que los determinados por las tangentes interiores en las tangentes exteriores.

(Segmentos determinados por las tangentes comunes de 2 circunferencias exteriores)


Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
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