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Autor Tema: Enteros de Gauss y diferencia de cuadrados  (Leído 901 veces)
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Víctor Luis
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« : 24/05/2017, 02:21:16 pm »

Buenas Noches....



Cita de: El_Manco
Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo 2 no es primo...

• Disculpas por entrometerme... pero esto es cierto?.... el natural "2"  como entero de Gauss... «no es primo?»
→ Una última intromición... ¿cómo generamos, conformamos y/o determinamos los enteros de Gauss?


Saludos Cordiales.... (y mis disculpas por mi intromición....)


Este hilo se ha separado de este otro para mayor claridad:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=95531.msg384833#msg384833
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 24/05/2017, 02:32:57 pm »

Hola

• Disculpas por entrometerme... pero esto es cierto?.... el natural "2"  como entero de Gauss... «no es primo?»

Si, es cierto. Pero tampoco son primos el [texx]5,13,17,\ldots[/texx], ni en general ninguno de la forma [texx]4k+3[/texx].

Cita
→ Una última intromición... ¿cómo generamos, conformamos y/o determinamos los enteros de Gauss?

Puedes leer sobre el asunto aquí:

http://www.departamento.us.es/da/planantiguo/notas-ant/algebra/t8.pdf

Saludos.

P.D. Si sigues teniendo dudas sobre enteros Gaussianos que no están directamente relacionadas con lo que plantea Proyecto y quieres preguntar sobre ellos es mejor que abras otro hilo.
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Víctor Luis
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« Respuesta #2 : 24/05/2017, 02:48:43 pm »

Buenas Noches....


• Una consultita mas...  en sus criterios personales, y/o su expresión mas simple, para un afisionado a lo interesante de Teoría de Números.... ¿cómo es que definen y/o consideran a los Números de Gauss?



Gracias...
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Proyecto_dos
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« Respuesta #3 : 24/05/2017, 02:57:18 pm »

Hola,

De aficionado a aficionado (hago un esfuerzo, no es lo mío la enseñanza ni quiero)

¿Por qué  [texx]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/texx]  y sin embargo  [texx]a^2+b^2[/texx]  no tiene factorización en los enteros? ¿Por alguna propiedad del " - " que no tenga el " + "? ¿Por qué te parece a ti?
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
Víctor Luis
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« Respuesta #4 : 24/05/2017, 03:10:37 pm »

Buenas... Proyecto_Dos...


○ Eso ya lo aprendí con Feriva....

[texx](a^{2}-b^{2})[/texx]

Esto es igual a:

[texx](a-b)(a-b)[/texx]

Donde operamos:

[texx]a^{2}-ab-ab+b^{2}[/texx]

Resultando:

[texx]a^{2}-2ab+b^{2}[/texx]



○ En el otro caso de: [texx](a^{2}+b^{2})[/texx] tenemos que es igual a:

[texx](a+b)(a+b)[/texx]

Operando:

[texx]a^{2}+ab+ab+b^{2}[/texx]

Resultando:

[texx]a^{2}+2ab+b^{2}[/texx]


• Observamos que es diferente, la resta y la suma de monomios al cuadrado y ni qué se diga de monomios al cubo y mas....

→ Ahora.... como dominas la resta de cuadrados... ¿cómo es que esto aplica Fermat en su metodología de factorización?





Saludos.....
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Proyecto_dos
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« Respuesta #5 : 24/05/2017, 03:30:40 pm »

Hola,


○ En el otro caso de: [texx](a^{2}+b^{2})[/texx] tenemos que es igual a:

[texx](a+b)(a+b)[/texx]

No.  La factorización de  [texx](3+5)^2[/texx]  No es:  [texx]8\cdot{8}[/texx] . Lo es en sentido trivial, pero no aporta nada. La factorización, por ejemplo, en primos:  [texx]2^6[/texx]  sí que aporta y puede utilizarse algebraicamente. Para demostrar "cosas" se necesitan herramientas. Para cortar una rama me sirve de poco contar con otra rama

Quizás es mejor verlo esto en un hilo a parte. Lo que quería decir con mi entrada anterior es que la razón de por qué  [texx]a^2+b^2[/texx]  no tiene factorización en el sentido que digo, es la misma de por qué  [texx]3-5[/texx]  no tiene respuesta en los números Naturales. Antes de contestar: Medita esto, please


Añadido: Leyendo a Juan Pablo (siguiente respuesta) veo que he entendido mal a Víctor Luis. He creído entender  [texx](a+b)^2=(a+b)(a+b)[/texx]
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  Igual que surgimos no hace mucho como especie por causas naturales, nos extintiguiremos relativamente pronto por ellas. Para asegurar la herencia inteligente de nuestros hijos es urgente encontrar a Dios o, lo que es equivalente, crearlo antes de que esto suceda.  F. Moreno 
Juan Pablo
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« Respuesta #6 : 24/05/2017, 03:34:01 pm »

Buenas... Proyecto_Dos...


○ Eso ya lo aprendí con Feriva....

[texx](a^{2}-b^{2})[/texx]

Esto es igual a:

[texx](a-b)(a-b)[/texx]

Donde operamos:

[texx]a^{2}-ab-ab+b^{2}[/texx]

Resultando:

[texx]a^{2}-2ab+b^{2}[/texx]



Eso no es correcto, lo que está bien es:

[texx]\displaystyle a^2-b^2 = (a-b) \cdot (a+b) [/texx]

[texx]\displaystyle (a-b)^2 = a^2+b^2-2 \cdot ab [/texx]

Tampoco es correcto [texx]a^2+b^2 = (a+b) \cdot (a+b) [/texx]
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Víctor Luis
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« Respuesta #7 : 24/05/2017, 04:02:26 pm »

Buenas Proyecto_Dos y Juan Pablo...



Cita de: Juan Pablo
Eso no es correcto, lo que está bien es:

a^{2}−b^{2}=(a−b)⋅(a+b)

(a−b)^{2}=a^{2}+b^{2}−2⋅ab


• No sé si estoy mal... muy probable que así sea... pero una diferencia de cuadrados:

[texx]a^{2}-b^{2}[/texx]

Es igual a multiplicar esa diferencia por esa misma diferencia:

[texx](a-b) (a-b)[/texx]

Ahora multiplicamos cada término y/o elemento del primer paréntesis, con el primer término del segundo paréntesis:

[texx](a-b) \cdot{}a = a\cdot{}a \, -b\cdot{}a = a^{2}-ab[/texx]


Multiplicando con el segundo término del segundo paréntesis:

[texx](a-b) \cdot{}-b = a\cdot{}-b \, -b\cdot{}-b = -ab \, b^{2}[/texx]


De esta forma tenemos:

[texx]a^{2}-ab-ab+b^{2}[/texx]

Resultando:

[texx]a^{2}-2ab+b^{2}[/texx]


◘ Que no es lo mismo que:

[texx](a^{2}-b^{2})[/texx] sea igual a [texx](a-b)\cdot{}(a+b)[/texx] ya que esto, operando es:

[texx](a-b)\cdot{}a= a^{2}-ab[/texx]

[texx](a-b)\cdot{}b= ab-b^{2}[/texx]

Resultando:

[texx]a^{2}-ab+ab-b^{2}= a^{2}-b^{2}[/texx]


... es así... ó muy quizas estoy equivocado....?




Gracias y Saludos....
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Juan Pablo
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« Respuesta #8 : 24/05/2017, 04:09:30 pm »

Sólo tienes que dar valores:

[texx] a = 5 [/texx] y [texx] b=4 [/texx]

[texx] a^2-b^2 = 25 - 16 = 9 [/texx]

[texx] (a-b) \cdot (a-b) = (5-4) \cdot (5-4) = 1 \cdot 1 = 1 [/texx]

[texx] (a-b) \cdot (a-b) = (a-b) \cdot a + (a-b) \cdot (-b) = a^2 - ba + (a(-b) + (-b)^2) = a^2-2ab + b^2 [/texx]
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Víctor Luis
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« Respuesta #9 : 24/05/2017, 05:54:20 pm »

Buenas Noches Juan Pablo....


☼ ERES GENIAL.... JUAN PABLO....!!!!

Siendo:

[texx]a=5[/texx]

[texx]b=4[/texx]

La diferencia de cuadrados:

[texx]a^{2}-b^{2}[/texx]

Es igual a operar:

[texx](5\cdot{}5)-(4\cdot{}4)[/texx]

Resultando:

[texx]25-16= 9[/texx]


PERO... ¿Qué es una DIFERENCIA de CUADRADOS?

► NO puede ser: [texx]a^{2}-b^{2}[/texx] ... Esto es una: RESTA de CUADRADOS.... o sea, una simple resta de dos naturales, con raiz cuadrada entera... verdad?

◘ Cuando decimos,... DIFERENCIA de CUADRADOS... nos referimos a restar, por supuesto, dos magnitudes, siendo estas:

[texx]a^{2}=(a\cdot{}a)[/texx]

[texx]b^{2}=(b\cdot{}b)[/texx]

Osea Restar:

[texx](a\cdot{}a)-(b\cdot{}b)[/texx]


► Lo cual no es dable... ya que volveríamos a una "resta de naturales" debiendo desarrollar, lo que es la "Diferencia de Cuadrados":

• Como muy bien lo desarrollaste, llegamos a:

[texx]a^{2}-2ab+b^{2}[/texx]

Donde reemplazando valores tenemos:

[texx]5^{2}-2(5\cdot{}4)+4^{2}[/texx]

[texx]25-2(40)+16[/texx]

Tenemos: [texx]25-40+16= 1[/texx]


◘ Es el resultado que estimo racionalmente correcto... aunque, mis criterios, siempre los pondrán en duda... verdad?





GRACIAS AMIGO Juan Pablo....
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Juan Pablo
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« Respuesta #10 : 24/05/2017, 06:57:39 pm »

Es que diferencia es igual a resta.

El "problema" es que hay leyes que hay que "aceptar" cuando es mejor muchas veces explicar.

Verás que por ejemplo te dicen que [texx]a\cdot 0 = 0 [/texx] y tienes que aceptar esta conclusión, que se puede demostrar.

Entonces, suponiendo cierto [texx] a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c [/texx]


Podemos poner [texx] a+b = u [/texx]

Entonces [texx] (a+b) \cdot (a+b) =  u \cdot (a+b) = u \cdot a + u \cdot b =  ((a+b) \cdot a + (a+b) \cdot  b )  =   a \cdot (a+b) \cdot a + b \cdot (a+b) = (a^2+ ab) + (ba + b^2) = a^2+b^2 + 2 \cdot ab [/texx]

En este caso podemos poner:

[texx] (a-b)^2 = (a+(-b))^2 = a^2+ (-b)^2 + 2 \cdot a (-b) =   a^2+ (-b)^2 - 2 \cdot a b [/texx]
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« Respuesta #11 : 24/05/2017, 07:24:12 pm »

Disculpa si me expreso contradictoriamente Juan Pablo... Amigo...


○ La diferencia de cuadrados no puede ser simplemente:

[texx](a-b)^{2}[/texx]

Donde logicamente, tenemos que para:

[texx]a=5[/texx]

[texx]b=4[/texx]

[texx](5-4)^{2}=1^{2}= 1[/texx]



PERO.... si tenemos que:

[texx]a=4[/texx]

[texx]b=5[/texx]

[texx](4-5)^{2}=-1^{2}=-1[/texx]


Y Si operamos:

[texx](-1) \cdot{} (-1) =1[/texx]


►►► ¿por qué sucede esto...?



Saludos....
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« Respuesta #12 : 24/05/2017, 08:25:28 pm »

Esto viene de [texx] (-1)^2 = 1 [/texx] cosa que se puede demostrar(El famosos negativo por negativo, positivo).


[texx] (5-4)^2 = ((-1)(4-5))^2  =  (-1)^2 \cdot (-1)^2 = 1 \cdot 1 = 1 [/texx]



Si lo que preguntas es que negativo por negativo da positivo.


Te pongo una explicación:

Dado un número [texx] \alpha \in \mathbb{R} [/texx] existe un único [texx] -\alpha [/texx] tal que [texx] \alpha + (-\alpha) = 0 [/texx]


Si tenemos el [texx]3 [/texx] sólo existe el [texx] -3 [/texx] tal que [texx]3 + (-3) = 0 [/texx]

Entonces para cualquier   número real [texx] x [/texx]  sólo existe un real [texx] y = -x [/texx] tal que [texx]x+(-x) =  0 [/texx]


Sean [texx]a,b [/texx]  dos números enteros cualesquiera, entonces:

Editado

[texx] ab \color{red}+\color{black} (-a)b = (a+(-a)) \cdot b =    0 [/texx]

 
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« Respuesta #13 : 25/05/2017, 07:32:58 am »


Hola, Víctor Luis. Acabo de ver este hilo que ha separado el_manco; no me había dado cuenta y te he contestado sobre la cuestión en el otro hilo sobre la Relatividad; te pongo el enlace aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=94102.msg384970#msg384970

Un cordial saludo.
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