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Autor Tema: Cota óptima  (Leído 240 veces)
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Luis Fuentes
el_manco
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« : 23/06/2017, 07:30:00 am »

Para un par de variables [texx]X,Y[/texx] con medias [texx]\mu_X,\mu_Y[/texx], varianzas [texx]\sigma_X^2,\sigma_Y^2[/texx] y covarianza nula la cota de Cantelli queda:

[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx]

Para construir un ejemplo donde se alcance la cota habría que proceder asi.

Se construye un vector aleatorio [texx](X,Y)[/texx] definido de la siguiente forma:

[texx]
\begin{pmatrix}X\\Y\\\end{pmatrix}=\dfrac{1}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}\left(\begin{pmatrix}\sigma_X^2\\ \sigma_Y^2\\\end{pmatrix}\cdot Z+\begin{pmatrix}\sigma_Y^2&-\sigma_X^2\\-\sigma_X^2 &\sigma_Y^2\\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A\\B\\\end{pmatrix}\right)[/texx]

Donde [texx]Z[/texx] es la variable discreta en dos puntos que da la cota óptima para una variable de media [texx]\mu_Z=\mu_X+\mu_Y[/texx] y varianza [texx]\sigma_Z^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2[/texx], es decir:

[texx]
P(Z=0)=\dfrac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2},\qquad P(Z=\dfrac{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}{\mu_Z})=\dfrac{\mu_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}[/texx]

Y [texx](A,B)[/texx] son un par de variables cualesquiera aleatorias independientes de [texx]Z[/texx], con covarianza nula y tales que:

[texx]
\mu_A=\mu_X,\quad \mu_B=\mu_Y,\quad \sigma_A^2=\sigma_X^2,\quad \sigma_B^2=\sigma_Y^2[/texx]

Aquí hay infinitas posibilidades de elección. El artículo sugiere tomar por ejemplo ejemplo una Gaussiana, pero ser podría también tomar como [texx]A[/texx] y [texx]B[/texx] un par de variables discretas con probabilidad en dos puntos, independientes entre si y con las medias y varianzas indicadas.

Explicitar más esto es pesado. Por ejemplo si escogemos como te digo [texx]A,B[/texx], discretas, la variable [texx](X,Y)[/texx] tomaría valores en 8 pares de puntos ([texx]2\cdot 2\cdot 2[/texx] ya que cada variable implicada en la fórmula [texx]Z,A,B[/texx] toma valores en dos puntos).

Saludos.
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