Duda elemental sobre enteros gaussianos

[Proyecto_dos]

Hola,

Supongamos:  [texx]x^4+y^4=k[/texx]  ([texx]x,y[/texx]  enteros ý  [texx](x,y)=1[/texx])

Yo puedo decir que:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx]

Mi duda es la siguiente: Entiendo que no sé si  [texx](x^2+y^2i)[/texx]  ó  [texx](x^2-y^2i)[/texx]  son primos gaussianos sin despejar  [texx]x,y[/texx] ;  ¿pero podría determinar si son primos relativos entre sí (coprimos)? Y si es así y sobre todo: ¿Por qué? ¿Cómo lo sé esto?

Gracias de antemano,

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

Supongamos:  [texx]x^4+y^4=k[/texx]  ([texx]x,y[/texx]  enteros ý  [texx](x,y)=1[/texx])

Yo puedo decir que:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx]

Mi duda es la siguiente: Entiendo que no sé si  [texx](x^2+y^2i)[/texx]  ó  [texx](x^2-y^2i)[/texx]  son primos gaussianos sin despejar  [texx]x,y[/texx] ;  ¿pero podría determinar si son primos relativos entre sí (coprimos)? Y si es así y sobre todo: ¿Por qué? ¿Cómo lo sé esto?

Gracias de antemano,

No tienen porque ser primos relativos; basta que tomes [texx]x,y[/texx] coprimos en los enteros pero no en los enteros de Gauss. Por ejemplo: [texx]x=5[/texx] e [texx]y=13[/texx].

Esto está mal, como más adelante apunta Carlos Ivorra. Efectivamente tex]5[/tex] y [texx]13[/texx] no tienen factores comunes en los enteros de Gauss.

Saludos.

CORREGIDO

[Proyecto_dos]

Hola el_manco, gracias, pero me refería a otra cosa (creo)

Lo planteo de otra manera. Si yo tengo por ejemplo:  [texx]w^2-1=l[/texx]  ("w" entero par);  entonces:  [texx](w+1)(w-1)=l[/texx] y yo puedo saber que estos factores son coprimos:

[texx]w+1=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]w-1=v[/texx]

Luego: . . [texx]u-v=2[/texx] . Como "u" y "v" son impares, entiendo que deben ser coprimos y por lo tanto también " [texx]w+1[/texx] "  y " [texx]w-1[/texx] "

Pero si yo tengo " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  y  "[texx]x^2-y^2i[/texx] "; ¿hay alguna manera de saber operando si pueden ser coprimos o no? No sé bien cómo operar (elementalmente) en los enteros gaussianos

Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Hola el_manco, gracias, pero me refería a otra cosa (creo)

Lo planteo de otra manera. Si yo tengo por ejemplo:  [texx]w^2-1=l[/texx]  ("w" entero par);  entonces:  [texx](w+1)(w-1)=l[/texx] y yo puedo saber que estos factores son coprimos:

[texx]w+1=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]w-1=v[/texx]

Luego: . . [texx]u-v=2[/texx] . Como "u" y "v" son impares, entiendo que deben ser coprimos y por lo tanto también " [texx]w+1[/texx] "  y " [texx]w-1[/texx] "

Pero si yo tengo " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  y  "[texx]x^2-y^2i[/texx] "; ¿hay alguna manera de saber operando si pueden ser coprimos o no? No sé bien cómo operar (elementalmente) en los enteros gaussianos

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Voy con prisas y he leído el hilo muy por encima. Ya lo leeré con más calma, pero esto no es cierto:

No tienen porque ser primos relativos; basta que tomes [texx]x,y[/texx] coprimos en los enteros pero no en los enteros de Gauss. Por ejemplo: [texx]x=5[/texx] e [texx]y=13[/texx].

Si dos enteros son coprimos como enteros, también son coprimos como enteros de Gauss, y lo que pones no es un contraejemplo. Si hace falta, lo aclaro más en cuanto pueda.

[Luis Fuentes]

Hola

Voy con prisas y he leído el hilo muy por encima. Ya lo leeré con más calma, pero esto no es cierto:

No tienen porque ser primos relativos; basta que tomes [texx]x,y[/texx] coprimos en los enteros pero no en los enteros de Gauss. Por ejemplo: [texx]x=5[/texx] e [texx]y=13[/texx].

Si dos enteros son coprimos como enteros, también son coprimos como enteros de Gauss, y lo que pones no es un contraejemplo.

Si tienes razón. Si [texx]z[/texx] es un factor no entero puro común a [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx] enteros puros, entonces su conjugado [texx]\bar z[/texx] también lo es y [texx]z\bar z[/texx] sería un factor común a [texx]x[/texx] e [texx]y[/texx].

Entonces continuando a partir de aquí:

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

 Si [texx]x,y[/texx] son coprimos como enteros, los únicos posibles factores primos comunes a  [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx], son [texx]1+i[/texx] y [texx]1-i[/texx].

Saludos.

P.D. Carlos Ivorra: como últimamente participas poco en el foro, cada vez que veo que has intervenido en un hilo donde previamente respondí, me viene a la cabeza: "metedura de pata habemus...". Gracias por estar atento. 

[Proyecto_dos]

Hola,

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

Creo que la diferencia no es ésa, es:  [texx]2y^2i[/texx] ; y ahí es donde tengo el problema de interpretación.

Comento brevemente por qué me ha surgido esta duda. Yo en realidad estoy estudiando en mi tiempo libre sobre cómo meterle mano al caso n = 3 del UTF de alguna forma alternativa. Pero leyendo un libro sobre Fermat me encuentro que existió una llamada Conjetura de Euler ([texx]x^4+y^4+z^4\neq{w^4}[/texx]). La conjetura se resolvió (p.ejp  [texx]95800^4+217519^4+414560^4=422481^4[/texx]); o sea, que no hay tal. Pero me pareció interesante averiguar cómo verificarla en el caso de que una cuarta potencia fuera "1".

Tengo entonces que:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx] . Sin perder generalidad, tanto si considero á  [texx]x,w[/texx]  pares ó á  [texx]x,y,w[/texx]  impares; puesto que puedo entender siempre a un impar como:  [texx]2n-1[/texx] ,  y por lo tanto:  [texx](2n-1)^4[/texx] ; y teniendo en cuenta que los coeficientes del binomio a la cuarta serían de la forma:  [texx]+1,-4,+6,-4,+1[/texx] ;  las paridades no cumplen y por tanto la ecuación no tiene soluciones. Pero ya no me bastan este tipo de razonamientos; no si me tengo que enfrentar al UTF dónde yo sé que esto no tiene efecto (Pues  [texx]x^p+y^p=z^p\,\Rightarrow\,{x+y-z\equiv{0}\,\,(mód\,p)}[/texx] :  ¿cómo diantres voy a poder partiendo de ahí llegar a una contradicción del tipo: par = impar??). Entonces pensé lo siguiente. Como yo sé que la ecuación es errónea, debo poder encontrar otro tipo de argumentación (muchos otros tipos, en realidad) que me den el mismo diagnóstico. Y me planteé lo siguiente:

Si:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares)

[texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=(w\color{red}^2\color{black}+1)(w\color{red}^2\color{black}-1)[/texx]

Suponiendo que ambos factores a cada lado de la igualdad sean coprimos, " [texx]w\color{red}^2\color{black}+1[/texx] " dividirá a parte de " [texx]x^2+y^2i[/texx] " y a parte de " [texx]x^2-y^2i[/texx] "; y lo mismo ocurrirá con " [texx]w\color{red}^2\color{black}-1[/texx] ". De esta manera entiendo que no pierdo generalidad si establezco que:

[texx]x^2+y^2i=\alpha\cdot{\beta}[/texx]

[texx]x^2-y^2i=\gamma\cdot{\delta}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}+1=\alpha\cdot{\gamma}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}-1=\beta\cdot{\delta}[/texx]

, para:  [texx]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/texx]  coprimos.

Pero  [texx]w^2+1+w^2-1=2w^2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma+\beta\delta=2w^2[/texx]

Y además:  [texx]w^2+1-(w^2-1)=2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma-\beta\delta=2[/texx]

Y no podría ser porque " [texx]\alpha\gamma+\beta\delta[/texx] "   [texx]\wedge[/texx]   " [texx]\alpha\gamma-\beta\delta[/texx] "  deberían ser coprimos.

(Bueno, si no me he equivocado..  He querido sobre todo expresar la intención de todo esto)

Corregido

PD. Carlos Ivorra. Ya que estoy de confesiones lo digo todo. La primera introducción a los enteros gaussianos la tuve al leerte. Venías a decir: ¿no es absurdo tener "menos" 2 monedas de oro? También son paradójicos los números negativos y ahí están; así con los imaginarios.. Y eso queda; enterrado bajo toneladas de prejuicios, pero queda. Lo que me ha hecho bucear de nuevo hasta ahí es lo siguiente: Si  [texx]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/texx] ,  ¿por qué diablos no voy a poder factorizar:  [texx]a^2+b^2[/texx] ?? No lo entiendo; pienso ahora que es una limitación que no debe ni puede tenerse. Lo que pasa es que me encuentro muy verde a la hora de manipular los gaussianos; no sé todavía hasta dónde puedo y no puedo


Un cordial saludo a todos,


LA PRUEBA NO ES CORRECTA. Ver Respuesta 25

[Luis Fuentes]

Hola

Puedes hacer un razonamiento análogo.

Si [texx]z[/texx] es un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y [texx]x^2-y^2i[/texx] entonces es un factor común a su suma y a su diferencia, es decir, a:

[texx]2x^2[/texx] y a [texx]2y^2[/texx]

y a partir de ahí continuar argumentando. Tienes que recordar simplemente que los factores con enteros de Gauss no son los mismos que con enteros simplemente. Por ejemplo [texx]2[/texx] no es primo: [texx]2=(1-i)(1+i)[/texx].

Creo que la diferencia no es ésa, es:  [texx]2y^2i[/texx] ; y ahí es donde tengo el problema de interpretación.

No estoy seguro de lo que quieres decir. Si tu problema es la [texx]i[/texx] compleja, es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]2y^2i[/texx], es decir, puedes olvidarte de esa i, en la misma medida que en los enteros usuales es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]-2y^2[/texx].

Es decir el multiplicar un número por una unidad (un elemento inversible) no modifica su factorización en primos.

Comento brevemente por qué me ha surgido esta duda. Yo en realidad estoy estudiando en mi tiempo libre sobre cómo meterle mano al caso n = 3 del UTF de alguna forma alternativa. Pero leyendo un libro sobre Fermat me encuentro que existió una llamada Conjetura de Euler ([texx]x^4+y^4+z^4\neq{w^4}[/texx]). La conjetura se resolvió (p.ejp  [texx]95800^4+217519^4+414560^4=422481^4[/texx]); o sea, que no hay tal. Pero me pareció interesante averiguar cómo verificarla en el caso de que una cuarta potencia fuera "1".

Tengo entonces que:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx] . Sin perder generalidad, tanto si considero á  [texx]x,w[/texx]  pares ó á  [texx]x,y,w[/texx]  impares; puesto que puedo entender siempre a un impar como:  [texx]2n-1[/texx] ,  y por lo tanto:  [texx](2n-1)^4[/texx] ; y teniendo en cuenta que los coeficientes del binomio a la cuarta serían de la forma:  [texx]+1,-4,+6,-4,+1[/texx] ;  las paridades no cumplen y por tanto la ecuación no tiene soluciones. Pero ya no me bastan este tipo de razonamientos; no si me tengo que enfrentar al UTF dónde yo sé que esto no tiene efecto (Pues  [texx]x^p+y^p=z^p\,\Rightarrow\,{x+y-z\equiv{0}\,\,(mód\,p)}[/texx] :  ¿cómo diantres voy a poder partiendo de ahí llegar a una contradicción del tipo: par = impar??). Entonces pensé lo siguiente. Como yo sé que la ecuación es errónea, debo poder encontrar otro tipo de argumentación (muchos otros tipos, en realidad) que me den el mismo diagnóstico. Y me planteé lo siguiente:

Si:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares)

[texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=(w+1)(w-1)[/texx]

Suponiendo que ambos factores a cada lado de la igualdad sean coprimos,

Pero el problema ahí es que como te dije [texx]1+i[/texx] puede ser un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y a [texx]x^2-y^2i[/texx].

Saludos.

[Proyecto_dos]

Hola, gracias por la información.

Me pasa con el caso de los enteros de Gauss que encuentro mucha información acerca de sus propiedades como anillo, factorización única, etc., etc. pero muy poco sobre su aplicación algebraica en casos concretos.

De todas maneras aún ando perdido.

Me dices que:

No estoy seguro de lo que quieres decir. Si tu problema es la [texx]i[/texx] compleja, es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]2y^2i[/texx], es decir, puedes olvidarte de esa i, en la misma medida que en los enteros usuales es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]-2y^2[/texx].

Es decir el multiplicar un número por una unidad (un elemento inversible) no modifica su factorización en primos.

Bien, si eso es así (te agradezco la información), entonces es claro que " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]x^2-y^2i[/texx] " son coprimos por serlo " x " e " y ". Pero a continuación dices:

Pero el problema ahí es que como te dije [texx]1+i[/texx] puede ser un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y a [texx]x^2-y^2i[/texx].

Si " [texx]1+i[/texx] " no es una unidad en [texx]\mathbb{Z(i)}[/texx] ;  entonces ¿cómo puede ser eso? Además no logro entender así a bote pronto cómo sabes que ése es un factor común. ¿Cómo lo has averiguado?

Gracias,

PD. veo Víctor Luis que has contestado antes. Lo que planteas es muy interesante pero creo que es demasiado general y merecería un hilo propio ¿no? El tema de los enteros de Gauss lo merece

PD. veo que también ha contestado el_manco

[Carlos Ivorra]

P.D. Carlos Ivorra: como últimamente participas poco en el foro, cada vez que veo que has intervenido en un hilo donde previamente respondí, me viene a la cabeza: "metedura de pata habemus...". Gracias por estar atento. 

Sí, estoy participando en el foro mucho menos de lo que me gustaría. Estoy bastante liado últimamente, aunque confío en que esto cambie drásticamente en un par de semanas. De hecho, todavía no he podido leerme este hilo con el detalle que quisiera.

PD. Carlos Ivorra. Ya que estoy de confesiones lo digo todo. La primera introducción a los enteros gaussianos la tuve al leerte. Venías a decir: ¿no es absurdo tener "menos" 2 monedas de oro? También son paradójicos los números negativos y ahí están; así con los imaginarios.. Y eso queda; enterrado bajo toneladas de prejuicios, pero queda. Lo que me ha hecho bucear de nuevo hasta ahí es lo siguiente: Si  [texx]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/texx] ,  ¿por qué diablos no voy a poder factorizar:  [texx]a^2+b^2[/texx] ?? No lo entiendo; pienso ahora que es una limitación que no debe ni puede tenerse. Lo que pasa es que me encuentro muy verde a la hora de manipular los gaussianos; no sé todavía hasta dónde puedo y no puedo

Pues no identifico yo a qué cosa dicha por mí haces referencia, pero tanto da.

Un ejemplo de aplicación a la aritmética de los enteros de Gauss la tienes en la página 401 de mi libro de álgebra:

http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra2.pdf

Aquí he encontrado una prueba del caso n = 4 de Fermat con enteros de Gauss. Sólo la he ojeado, pero parece bastante farragosa. No parece que aporte gran cosa frente a los métodos clásicos.

http://fermatslasttheorem.blogspot.com.es/2005/06/proof-for-n4-using-gaussian-integers.html

[Luis Fuentes]

Hola

No estoy seguro de lo que quieres decir. Si tu problema es la [texx]i[/texx] compleja, es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]2y^2i[/texx], es decir, puedes olvidarte de esa i, en la misma medida que en los enteros usuales es "lo mismo" factorizar [texx]2y^2[/texx] que [texx]-2y^2[/texx].

Es decir el multiplicar un número por una unidad (un elemento inversible) no modifica su factorización en primos.

Bien, si eso es así (te agradezco la información), entonces es claro que " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]x^2-y^2i[/texx] " son coprimos por serlo " x " e " y ". Pero a continuación dices:

Es que esa conclusión no es cierta. Si vuelves a revisar mi argumento lo que se deduce de lo expuesto es que los únicos posibles factores comunes a [texx]x^2+y^2i[/texx] e [texx]x^2-y^2i[/texx], supuestos [texx]x,y[/texx] coprimos, son los factores comunes a [texx]2x^2[/texx] y [texx]2y^2[/texx]. Como [texx]x,y[/texx] son coprimos, la única posibilidad son factores del [texx]2[/texx]. Como:

[texx]2=-i(1+i)^2[/texx]

Por eso digo que:

Pero el problema ahí es que como te dije [texx]1+i[/texx] puede ser un factor común a [texx]x^2+y^2i[/texx] y a [texx]x^2-y^2i[/texx].

Saludos.

P.D. En la proposición 8.2.3 de estas notas tienes una descripción precisa de cuáles son los irreducibles (primos) en [texx]\mathbb{Z}[i ].[/texx]

http://www.departamento.us.es/da/planantiguo/notas-ant/algebra/t8.pdf

PD. veo Víctor Luis que has contestado antes. Lo que planteas es muy interesante pero creo que es demasiado general y merecería un hilo propio ¿no? El tema de los enteros de Gauss lo merece

He separado las preguntas de Víctor Luis a un nuevo hilo para mayor claridad.

[Carlos Ivorra]

Todavía no he leído todo lo que escribe Proyecto_dos, pero añado algo:

Si [texx]x, y[/texx] son ambos impares, entonces, no es ya que [texx]\rho= 1+i[/texx] pueda ser un divisor común a [texx]x^2+y^2i,  x^2-y^2i[/texx], sino que lo es necesariamente. Basta tomar congruencias módulo [texx]\rho[/texx]:

[texx]x^2+y^2 i\equiv x^2-y^2\equiv 0(\mbox{mód}\,\rho)[/texx],

donde he usado que [texx]i\equiv -1 (\mbox{mód}\,\rho)[/texx] y que [texx]\rho\mid 2\mid x^2-y^2[/texx].

Igualmente sucede con [texx]x^2-y^2 i[/texx].

He cambiado [texx]\pi[/texx] por [texx]\rho[/texx] por si a alguien piensa en 3.14

[Proyecto_dos]

Hola,

No he podido escribir antes. Creo que contesto a todo el mundo centrandome en lo siguiente:

Analizo esto:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx] 

( Estoy entendiendo " x " par e " y " impar - Respuesta 6:
<< Si:  [texx]x^4+y^4=w^4−1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares) >> )

Supongamos:  [texx]x^2+y^2i=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^2-y^2i=v[/texx] .  Operando:

[texx]2y^2i=u-v[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]2x^2=u+v[/texx]

 " ¿¿ Si  [texx]y^2[/texx]  es impar, lo es también:  [texx]y^2i[/texx] ?? "

(Estas son los tipos de cuestiones que me impiden avanzar con los enteros gaussianos)

Supongamos que sí. Como " u " y " v " son impares; ningún factor de  [texx]u,v[/texx]  divide a " 2 " y tampoco a " x " e " y " por ser ambos coprimos. Luego  [texx]u,v[/texx]  no tienen factores comunes salvo el 1  ý  " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  ý  " [texx]x^2-y^2i[/texx] "  son coprimos.

No entiendo entonces cómo  [texx]1+i[/texx] ,  que es factor de  [texx]2=(1+i)(1-i)[/texx]  puede ser factor común de  " [texx]x^2+y^2i[/texx] " ý " [texx]x^2-y^2i[/texx] ".

Si me estoy equivocando es en algo muy elemental, por lo que pido disculpas de antemano..

Un cordial saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

 No estaba teniendo en cuenta que considerabas [texx]x[/texx] par e [texx]y[/texx] impar. En ese caso si es cierto que [texx]x^2+y^2i[/texx] e [texx]x^2-y^2i[/texx] son coprimos. Como te había comentado la única posibilidad es que su factor común fuese [texx]1+i.[/texx] Pero entonces [texx]2[/texx] sería factor de su producto, es decir, de [texx]x^2+y^2[/texx] que es impar lo cual es imposible.

 De todas formas algún matiz.

No he podido escribir antes. Creo que contesto a todo el mundo centrandome en lo siguiente:

Analizo esto:  [texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=k[/texx] 

( Estoy entendiendo " x " par e " y " impar - Respuesta 6:
<< Si:  [texx]x^4+y^4=w^4−1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares) >> )

Supongamos:  [texx]x^2+y^2i=u[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]x^2-y^2i=v[/texx] .  Operando:

[texx]2y^2i=u-v[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]2x^2=u+v[/texx]

 " ¿¿ Si  [texx]y^2[/texx]  es impar, lo es también:  [texx]y^2i[/texx] ?? "

Si, si [texx]y^2[/texx] no es múltiplo de [texx]2[/texx] entonces [texx]y^2i[/texx] tampoco es múltiplo de [texx]2[/texx]. Vuelvo a repetir que [texx]i[/texx] es una unidad, por tanto mutiplicar por el no modifica sus factores.

Supongamos que sí. Como " u " y " v " son impares; ningún factor de  [texx]u,v[/texx]  divide a " 2 " y tampoco a " x " e " y " por ser ambos coprimos. Luego  [texx]u,v[/texx]  no tienen factores comunes salvo el 1  ý  " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  ý  " [texx]x^2-y^2i[/texx] "  son coprimos.

Aquí hay que tener un poco de cuidado. Lo de par e impar para enteros de Gauss puede ser confuso. ¿[texx]3+3i[/texx] es par o impar?. Si consideramos par como aquel que es divisible por [texx]2[/texx], entonces NO, no es par. Pero ojo porque si es divisible por [texx]1+i[/texx] que es factor de [texx]2[/texx].

Saludos.

[Proyecto_dos]

Hola, muchas gracias

Si, si [texx]y^2[/texx] no es múltiplo de [texx]2[/texx] entonces [texx]y^2i[/texx] tampoco es múltiplo de [texx]2[/texx]. Vuelvo a repetir que [texx]i[/texx] es una unidad, por tanto mutiplicar por el no modifica sus factores.

Supongamos que sí. Como " u " y " v " son impares; ningún factor de  [texx]u,v[/texx]  divide a " 2 " y tampoco a " x " e " y " por ser ambos coprimos. Luego  [texx]u,v[/texx]  no tienen factores comunes salvo el 1  ý  " [texx]x^2+y^2i[/texx] "  ý  " [texx]x^2-y^2i[/texx] "  son coprimos.

Aquí hay que tener un poco de cuidado. Lo de par e impar para enteros de Gauss puede ser confuso. ¿[texx]3+3i[/texx] es par o impar?. Si consideramos par como aquel que es divisible por [texx]2[/texx], entonces NO, no es par. Pero ojo porque si es divisible por [texx]1+i[/texx] que es factor de [texx]2[/texx].

Ok, iré con cuidado. Me ha sido muy útil este hilo. He aprendido mucho y sobre todo lo mejor, tengo una nueva herramienta que me permite factorizar sumas de cuadrados: ¡Fantástico!

Carlos, aquéllo que dijiste sobre los números imaginarios que como he comentado en otra respuesta mis neuronas no han podido destruir, se encuentra aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=82024.msg327751#msg327751

Bueno y ahora la pequeña moraleja de todo esto; para que no sea todo para mi beneficio y yo y yo. Con el argumento de la paridad yo puedo demostrar que:  [texx]x^4+y^4\neq{w^4-1}[/texx]  (x,y,w enteros). Pero con el argumento que he empleado en la Respuesta 6, que no es mucho más sofisticado y emplea los enteros de Gauss, puedo generalizar y decir que:

[texx]\pmb{x^{2n}+y^{2n}\neq{w^{2n}-1}}[/texx]

y llegar a la conclusión, por ejemplo, que nunca voy a poder encontrar unos valores para los que  [texx]x^2+y^2=w^2-1[/texx]  -con lo fácil que sería..-;  cuando sin embargo sí que es posible hallarlos en el caso de por ejemplo " [texx]x^3+y^3=w^3-1[/texx] " :

[texx]6^3+8^3=9^3-1[/texx]

Un cordial saludo,


ESTA PRUEBA NO ES CORRECTA. Ver Respuesta 25

[Proyecto_dos]

Hola,


¿Sería posible esta demostración del n = 4 del UTF que pongo a continuación?


[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

[texx]x^4+y^4=Z^2[/texx] ,  para  [texx]Z=z^2[/texx]

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(u^2+v^2i)^2[/texx] ,  para u,v coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]x^2+y^2i=u^4+v^4i^2+2u^2v^2i[/texx]

[texx]x^2+y^2i=u^4-v^4+2u^2v^2i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=2u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=\sqrt[ ]{2}\,u\,v[/texx]

Lo que es evidentemente una contradicción


Saludos,

[Luis Fuentes]

Hola

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(u^2+v^2i)^2[/texx] ,  para u,v coprimos y de distinta paridad

Pero, ¿por qué escribes [texx]x^2+y^2i=(u^{\color{red}2\color{black}}+v^{\color{red}2\color{black}}i)^2[/texx] y no [texx]\color{blue}x^2+y^2i=(u+vi)^2\color{black}[/texx]?. A priori esto último (la igualdad en azul) es lo único que podemos afirmar del hecho de que [texx]x^2+y^2i[/texx] sea un cuadrado.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.

Ojo, esto no es cierto ni siquiera para enteros ordinarios. Por ejemplo, [texx](-4)(-9)=6^2[/texx] es un producto de dos enteros primos entre sí, pero ninguno de los factores es el cuadrado de un entero.

Con los enteros de Gauss pasa lo mismo. [texx](4i)(9i)= (6i)^2[/texx], pero ninguno de los factores es un cuadrado en los enteros de Gauss.

En tu contexto, sólo puedes concluir que [texx]x^2+y^2 i = \epsilon (u+vi)^2[/texx], donde [texx]\epsilon = \pm1,\pm i[/texx].

[Proyecto_dos]

Hola,

Pero, ¿por qué escribes [texx]x^2+y^2i=(u^{\color{red}2\color{black}}+v^{\color{red}2\color{black}}i)^2[/texx] y no [texx]\color{blue}x^2+y^2i=(u+vi)^2\color{black}[/texx]?. A priori esto último (la igualdad en azul) es lo único que podemos afirmar del hecho de que [texx]x^2+y^2i[/texx] sea un cuadrado.

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.

. . . [texx](4i)(9i)= (6i)^2[/texx], pero ninguno de los factores es un cuadrado en los enteros de Gauss.

En tu contexto, sólo puedes concluir que [texx]x^2+y^2 i = \epsilon (u+vi)^2[/texx], donde [texx]\epsilon = \pm1,\pm i[/texx].

Pues sí, creo que me he equivocado. Tengo que profundizar más en esto. Estoy aprendiendo, disculpas

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.

Ojo, esto no es cierto ni siquiera para enteros ordinarios. Por ejemplo, [texx](-4)(-9)=6^2[/texx] es un producto de dos enteros primos entre sí, pero ninguno de los factores es el cuadrado de un entero..

Carlos no, ahí te has despistado. En los enteros ordinarios claro que se cumple:  [texx]-(2^2)(-(3^2))=6^2[/texx]

Un saludo y gracias a todos por las aclaraciones

[Carlos Ivorra]

Como “ [texx]x^4+y^4[/texx] “ es un cuadrado, lo serán sus factores coprimos.

Ojo, esto no es cierto ni siquiera para enteros ordinarios. Por ejemplo, [texx](-4)(-9)=6^2[/texx] es un producto de dos enteros primos entre sí, pero ninguno de los factores es el cuadrado de un entero..

Carlos no, ahí te has despistado. En los enteros ordinarios claro que se cumple:  [texx]-(2^2)(-(3^2))=6^2[/texx]

No, no me he despistado. Lo que afirmo es que si en los enteros tienes [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, no puedes concluir que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] sean cuadrados, y como ejemplo te pongo el caso en que [texx]a=-4[/texx] y [texx]b=-9[/texx]. Son coprimos, su producto es un cuadrado, pero no son cuadrados.

La afirmación correcta es que si  [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, entonces [texx]a=\epsilon x^2[/texx], para cierto entero [texx]x[/texx] y [texx]\epsilon = \pm 1[/texx], y lo mismo vale en los enteros de Gauss si ahora admites que [texx]\epsilon = \pm 1, \pm  i[/texx].