25/04/2019, 05:16:40 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: 1 [2]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Duda elemental sobre enteros gaussianos  (Leído 5101 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #20 : 29/05/2017, 06:57:50 am »

Hola,

No, no me he despistado. Lo que afirmo es que si en los enteros tienes [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, no puedes concluir que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] sean cuadrados, y como ejemplo te pongo el caso en que [texx]a=-4[/texx] y [texx]b=-9[/texx]. Son coprimos, su producto es un cuadrado, pero no son cuadrados.

La afirmación correcta es que si  [texx]ab=c^2[/texx] con [texx]a, b[/texx] coprimos, entonces [texx]a=\epsilon x^2[/texx], para cierto entero [texx]x[/texx] y [texx]\epsilon = \pm 1[/texx], y lo mismo vale en los enteros de Gauss si ahora admites que [texx]\epsilon = \pm 1, \pm  i[/texx].

Sí, me acuerdo de cuando seguí tu demostración del caso n = 5 del UTF que pusiste mediante enteros ciclotómicos. Teóricamente, en puridad, es lo que dices. Pero admíteme que en la práctica -en la práctica de las demostraciones- pueda actuarse como digo, pues el épsilon de los enteros no gaussianos: " [texx](\pm{1})[/texx] "  es un cuadrado. Luego si  [texx]a=\epsilon x^2[/texx] ; " a " es un cuadrado.

Carlos , no nos vayamos a pelear (dicho coloquialmente) por esta minucia cuando en lo principal -creo- estamos de acuerdo. Los verdaderos " enteros" son los Gaussianos y en todo lo que los docentes hagáis por extender las nociones de los " enterosG " a los simples " enteros " (cojos) yo voy a estar completamente de acuerdo. Así que no estoy caminando por una acera distinta de la tuya. Considéralo un par de segundos antes de responder

Un cordial saludo,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Carlos Ivorra
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 9.014


Ver Perfil WWW
« Respuesta #21 : 29/05/2017, 07:11:19 am »

No es cuestión de pelear. Pero tengo que insistir en que esto:

Pero admíteme que en la práctica -en la práctica de las demostraciones- pueda actuarse como digo, pues el épsilon de los enteros no gaussianos: " [texx](\pm{1})[/texx] "  es un cuadrado. Luego si  [texx]a=\epsilon x^2[/texx] ; " a " es un cuadrado.

no es cierto. No es cierto que [texx]\epsilon = -1[/texx] sea un cuadrado en los enteros usuales, y por eso no es cerito que si [texx]a= -x^2[/texx] entonces [texx]a[/texx] sea un cuadrado.

Lo que pasa en la práctica es que, si ves un número como [texx]-9[/texx], puedes decir que "es un cuadrado" sin contar el menos, pero una demostración teórica puede arruinarse por el hecho de que afirmes que [texx]a=x^2[/texx], con [texx]x[/texx] entero, cuando pueda ocurrir que [texx]a=-9[/texx]. Es algo equiparable a que plantees una fracción sin contemplar la posibilidad de que el denominador sea cero, o algo así.
En línea
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #22 : 29/05/2017, 07:34:51 am »

Hola,

Lo que pasa en la práctica es que, si ves un número como [texx]-9[/texx], puedes decir que "es un cuadrado" sin contar el menos, pero una demostración teórica puede arruinarse por el hecho de que afirmes que [texx]a=x^2[/texx], con [texx]x[/texx] entero, cuando pueda ocurrir que [texx]a=-9[/texx]. Es algo equiparable a que plantees una fracción sin contemplar la posibilidad de que el denominador sea cero, o algo así.

Ok, lo tendré en cuenta. Lo que sí veo claro es que utilizando los enterosG sí que puede arruinarse una demostración si no se tiene en cuenta  [texx]\epsilon[/texx]

Saludos,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #23 : 29/05/2017, 10:45:52 am »

Hola,


Pongo a continuación el inicio de una posible demostración del n = 4 del UTF utilizando " enterosG " (llamo así a los Enteros Gaussianos); no porque aporte algo, sino para explorar el "uso" de estos enteros en las demostraciones de ecuaciones diofánticas. En concreto en el uso de las unidades " [texx]\epsilon[/texx] " que conllevan; que son las que tienen más dificultades para mí. Será bienvenida cualquier sugerencia y/ó aclaración a este respecto. Disculpas si lo hago deprisa. Se trata de una especie de borrador para aprender a escribir, nada más. Ojo, este es un tema muy serio para mí que no quiere llevar aparejada ninguna segunda lectura (por si acaso)


[texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]\epsilon_1\cdot{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia (para  [texx]\epsilon_1=\pm 1)[/texx] , lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=\epsilon_2(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos y de distinta paridad y  [texx]\epsilon_2=(\pm 1\vee\pm i)[/texx]

Operando:

[texx]x^2+y^2i=\epsilon_2(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]x^2+y^2i=\epsilon_2(u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i)[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]u=\epsilon_3u_1^2\wedge v=\epsilon_4v_1^2[/texx] ,  para unos determinados [texx] \epsilon_3\wedge \epsilon_4[/texx]  y además  [texx]\epsilon_3u_1^4-\epsilon_4v_1^4=\epsilon_5A^2[/texx] ,  para un determinado  [texx]\epsilon_5[/texx]  y " A " entero

De esta forma:  [texx]\epsilon_3u_1^4=\epsilon_5A^2+\epsilon_4v_1^4[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u_1^4=A^2+v_1^4[/texx] ,  pues para  [texx]\epsilon_3,\epsilon_4,\epsilon_5[/texx]  no pierdo generalidad si establezco que son iguales ([texx]\pm 1[/texx])

Luego:  [texx]A^2+v_1^4=(A+v_1^2i)(A-v_1^2i)[/texx]

Como  [texx]A^2+v_1^4[/texx]  es una cuarta potencia de la forma  [texx]\epsilon_3u_1^4[/texx]  pues  [texx]\epsilon_3=\pm 1[/texx]

Entonces:  [texx]A+v_1^2i=\epsilon_6(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t enteros coprimos y de distinta paridad y  [texx]\epsilon_6=(\pm 1\vee\pm i)[/texx]

Operando:

[texx]A+v_1^2i=\epsilon_6(s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+s^4i^4)[/texx]

[texx]A^2+v_1^2i=\epsilon_6(s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i)[/texx]

Luego:  [texx]v_1^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]v_1^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]s=\epsilon_7s_1^2\wedge t=\epsilon_8t_1^2[/texx] ,  para unos determinados [texx] \epsilon_7\wedge \epsilon_8[/texx]  y por lo tanto  [texx]\epsilon_7s_1^4-\epsilon_8t_1^4=\epsilon_9B^2[/texx] ,  para un determinado  [texx]\epsilon_9[/texx]  y " B " entero

De esta forma tendré que:  [texx]s_1^4=B^2+t_1^4[/texx] ,  pues para  [texx]\epsilon_7,\epsilon_8,\epsilon_9[/texx]  no pierdo generalidad si establezco que son iguales ([texx]\pm 1[/texx])
 

Pudiendo repetir este proceso sin fin para enteros cada vez más pequeños

Editado


Saludos,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #24 : 31/05/2017, 10:20:31 am »

Hola,

Me he estado buscando la vida por ahí (internet), más en inglés que en castellano acerca del tema de las unidades ("invertibles" en Teoría de Anillos) y he llegado a la siguiente conclusión. Me queda claro que en los dominios de factorización única, es "única" la descomposición en factores primos salvo en el orden de éstos y las unidades.

Con respecto a las unidades en [texx]\mathbb{Z}[/texx] , que son  [texx]\pm{1}[/texx] . Entiendo que en los casos de exponente par del UTF no pierdo generalidad si trabajo en  [texx]\mathbb{Z^+}[/texx] ;  por lo que su "invertible" es 1, que puedo integrar en cualquier cuadrado perfecto como  [texx]1^2[/texx] .  Así que puedo prescindir de éstas.

Respecto de los enterosG, son unidades:  [texx]\pm{1},\pm{i}[/texx] .  En el caso de " -1 " ocurre como antes.  Respecto de " [texx]\pm{i}[/texx] " pasa que puesto que el producto de 2 unidades es también otra unidad, tampoco pierdo generalidad si trabajo con " [texx]i^2[/texx] "  y puesto que trabajo para valores positivos:  " [texx]-i^2[/texx] ". Y por lo tanto puede integrarse también en cualquier cuadrado enteroG por lo que puedo prescindir también de estas unidades.

Hecha estas salvedades; puedo decir entonces que:

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s_1^4-t_1^4=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero

De esta forma:  [texx]s_1^4=A^2+t_1^4[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)[/texx]

Como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u_1^4-v_1^4=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero

De esta forma tendré:  [texx]u_1^4=B^2+v_1^4[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños

(He cambiado el orden empleado en las letras (u,v) por las (s,t) y viceversa de la primera demostración por estética)

Si no me he equivocado en los cálculos, lo relevante (para mí) de esta demostración del caso n = 4 del UTF empleando enterosG es que, como se observa, no da lugar a ningún otro tipo de contradicción que no sea el consabido absurdo por descenso infinito. Aviso, una vez más, a navegantes.. (y por supuesto me "incluyo")

Un saludo,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #25 : 10/06/2017, 01:19:35 pm »

Hola, repasando este hilo me he dado cuenta que la demostración que puse en la Respuesta 6 no debe ser correcta

Cita de: Respuesta 6
Si:  [texx]x^4+y^4=w^4-1[/texx]  ([texx]x\wedge y[/texx]  coprimos;  [texx]x\wedge w[/texx]  pares)

[texx](x^2+y^2i)(x^2-y^2i)=(w\color{red}^2\color{black}+1)(w\color{red}^2\color{black}-1)[/texx]

Suponiendo que ambos factores a cada lado de la igualdad sean coprimos, " [texx]w\color{red}^2\color{black}+1[/texx] " dividirá a parte de " [texx]x^2+y^2i[/texx] " y a parte de " [texx]x^2-y^2i[/texx] "; y lo mismo ocurrirá con " [texx]w\color{red}^2\color{black}-1[/texx] ". De esta manera entiendo que no pierdo generalidad si establezco que:

[texx]x^2+y^2i=\alpha\cdot{\beta}[/texx]

[texx]x^2-y^2i=\gamma\cdot{\delta}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}+1=\alpha\cdot{\gamma}[/texx]

[texx]w\color{red}^2\color{black}-1=\beta\cdot{\delta}[/texx]

, para:  [texx]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/texx]  coprimos.

Pero  [texx]w^2+1+w^2-1=2w^2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma+\beta\delta=2w^2[/texx]

Y además:  [texx]w^2+1-(w^2-1)=2[/texx] .  O sea:  [texx]\alpha\gamma-\beta\delta=2[/texx]

Y no podría ser porque " [texx]\alpha\gamma+\beta\delta[/texx] "   [texx]\wedge[/texx]   " [texx]\alpha\gamma-\beta\delta[/texx] "  deberían ser coprimos.

Si fuera correcta entonces se podría probar que:  [texx]x^2+y^2\neq{z^2-w^2}[/texx]  y está probado que la suma de 3 cuadrados puede dar lugar a un cuarto cuadrado.

Creo que el error está aquí:

[texx]x^2+y^2i=\alpha\cdot{\beta}[/texx]

[texx]x^2-y^2i=\gamma\cdot{\delta}[/texx]

[texx]w^2+1=\alpha\cdot{\gamma}[/texx]

[texx]w^2+1=\beta\cdot{\delta}[/texx]

[texx]\alpha[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]\beta[/texx] ,  por ejemplo, pueden ser coprimos en  [texx]\mathbb{Z(i)}[/texx]  y no serlos en  [texx]\mathbb{Z}[/texx] ,  pues los primos en un conjunto y otro no son los mismos.

Estoy abierto a cualquier otra opinión con fundamento. Gracias

Un saludo,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #26 : 30/06/2017, 05:12:40 pm »

Hola,

Hola,

Me he estado buscando la vida por ahí (internet), más en inglés que en castellano acerca del tema de las unidades ("invertibles" en Teoría de Anillos) y he llegado a la siguiente conclusión. Me queda claro que en los dominios de factorización única, es "única" la descomposición en factores primos salvo en el orden de éstos y las unidades.

Con respecto a las unidades en [texx]\mathbb{Z}[/texx] , que son  [texx]\pm{1}[/texx] . Entiendo que en los casos de exponente par del UTF no pierdo generalidad si trabajo en  [texx]\mathbb{Z^+}[/texx] ;  por lo que su "invertible" es 1, que puedo integrar en cualquier cuadrado perfecto como  [texx]1^2[/texx] .  Así que puedo prescindir de éstas.

Respecto de los enterosG, son unidades:  [texx]\pm{1},\pm{i}[/texx] .  En el caso de " -1 " ocurre como antes.  Respecto de " [texx]\pm{i}[/texx] " pasa que puesto que el producto de 2 unidades es también otra unidad, tampoco pierdo generalidad si trabajo con " [texx]i^2[/texx] "  y puesto que trabajo para valores positivos:  " [texx]-i^2[/texx] ". Y por lo tanto puede integrarse también en cualquier cuadrado enteroG por lo que puedo prescindir también de estas unidades.

Hecha estas salvedades; puedo decir entonces que:

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]x^4+y^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s_1^4-t_1^4=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero

De esta forma:  [texx]s_1^4=A^2+t_1^4[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)[/texx]

Como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos y de distinta paridad

Operando:

[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos; entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u_1^4-v_1^4=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero

De esta forma tendré:  [texx]u_1^4=B^2+v_1^4[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños

(He cambiado el orden empleado en las letras (u,v) por las (s,t) y viceversa de la primera demostración por estética)

Si no me he equivocado en los cálculos, lo relevante (para mí) de esta demostración del caso n = 4 del UTF empleando enterosG es que, como se observa, no da lugar a ningún otro tipo de contradicción que no sea el consabido absurdo por descenso infinito. Aviso, una vez más, a navegantes.. (y por supuesto me "incluyo")

Un saludo,

Repasando y a la luz de los nuevos conocimientos que voy adquiriendo me he dado cuenta que esta demostración de la Respuesta 24 no está bien expresada. La rehago ahora y otro día traslado las modificaciones a la demostración que puse en el hilo que tengo en la Revista del Foro. Espero la opinión de alguien a favor o en contra por si me he vuelto a expresar mal. Mi principal problema con los "enterosG" estriba básicamente en el uso de las "unidades"; el resto la mayoría de las veces no es más que acostumbrarse al uso de las combinaciones lineales y no creo ser el único que encalle particularmente en esto; por lo que nos convendría a muchos lectores dar con el camino (ó uno de los caminos) correctos para expresarse adecuadamente. Os ahorraré un largo discurso filosófico sobre la importancia de los enterosG, al fin y al cabo no soy actualmente más que el típico recién converso; simplemente apuntar que sólo con ellos (con los números complejos) es posible "cuantificar" cualquier ecuación algebraica. Son simplemente "los números".


Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

Entonces:

[texx]x^4+y^4=\,\color{red}\epsilon\color{black}\,(x^2+y^2i)\,(x^2-y^2i)\,\color{red}/\,\epsilon\color{black}[/texx] ,  para " [texx]\epsilon[/texx] " la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]z^4[/texx]  será siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como “ [texx]{x^4+y^4}[/texx] “ es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  “ [texx]x^2+y^2i[/texx] “ [texx]\wedge[/texx] “ [texx]x^2-y^2i[/texx] “

Luego:  [texx]x^2+y^2i=\color{red}\,\epsilon\,\color{black}(s+ti)^4[/texx] ,  para s,t coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso a) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4[/texx]

[texx]x^2+y^2i=s^4+t^4-6s^2t^2+(4s^3t-4st^3)i[/texx]

Luego:  [texx]y^2=4s^3t-4st^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=4st(s^2-t^2)[/texx]

Como " [texx]4st[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]s^2-t^2[/texx] " son coprimos (-y-  [texx]s,t[/texx] también); entonces:  [texx]s=s_1^2\,\wedge\,t=t_1^2[/texx]  y además:  [texx]s^2-t^2=A^2[/texx] ,  para un determinado " A " entero.

De esta forma:  [texx]s_1^4=A^2+t_1^4[/texx]

Luego:  [texx]A^2+t_1^4=\,\color{red}\epsilon\color{black}\,(A+t_1^2i)(A-t_1^2i)\color{red}\,/\,\epsilon\color{black}[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Y como  [texx]A^2+t_1^4[/texx]  es una cuarta potencia; entonces:  [texx]A+t_1^2i=\color{red}\,\epsilon\,\color{black}(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v enteros coprimos, de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible  [texx]1\vee i[/texx]

Operando, en el supuesto de que  [texx]\epsilon=1[/texx]:

[texx]A+t_1^2i=(u+vi)^4[/texx]


[texx]A+t_1^2i=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]t_1^2=4u^3v-4uv^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=4uv(u^2-v^2)[/texx]

Como " [texx]4uv[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]u^2-v^2[/texx] " son coprimos (-y-  [texx]u,v[/texx] también); entonces:  [texx]u=u_1^2\,\wedge\,v=v_1^2[/texx]  y por lo tanto  [texx]u^2-v^2=B^2[/texx] ,  para un determinado " B " entero.

De esta forma tendré:  [texx]u_1^4=B^2+v_1^4[/texx] ; pudiendo repetir este proceso sin fin con enteros cada vez más pequeños.

Y en el caso que  [texx]\epsilon=i[/texx] ,  tendría:

[texx]A+t_1^2i=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]A^2+t_1^2i=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Donde:  [texx]A^2=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]t_1^2=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces habría que cambiar las paridades de  [texx]A^2\,\wedge\,t_1^2[/texx]  y las magnitudes de  [texx]u\,\wedge\,v[/texx]  (pues suponíamos implícitamente que " u " era mayor que " v").  Ambas cosas se pueden hacer sin perder generalidad (la única paridad que no se puede intercambiar sería la de " [texx]s_1^4[/texx] ") .  Pero si lo hiciéramos nos volveríamos a encontrar con otro descenso infinito en esta situación simétrica.


Caso b) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]x^2+y^2i=\color{red}\,i\,(\,\color{black}s^4+4s^3ti+6s^2t^2i^2+4st^3i^3+t^4i^4\,\color{red}\,)\color{black}[/texx]

[texx]x^2+y^2i=(s^4+t^4-6s^2t^2)\color{red}\,i\color{black}+(4s^3t-4st^3)\color{red}\,i^2\color{black}[/texx]

Luego:  [texx]x^2=4st(t^2-s^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y^2=(s^2-t^2)^2-4s^2t^2[/texx]

Pero entonces, al igual que dijimos antes, habría que cambiar las paridades de  [texx]x^2\,\wedge\,y^2[/texx]  y las magnitudes de  [texx]s\,\wedge\,t[/texx] .  Pudiéndose hacer ambas cosas sin perder generalidad. Pero si lo hiciéramos nos volveríamos a encontrar con otro descenso infinito en esta situación perfectamente simétrica.




Espero que ahora todo esté más correcto. Un saludo,


Editado de nuevo, había más errores.
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #27 : 01/07/2017, 11:52:04 am »

Hola, echad un vistazo si queréis a esta otra versión de demostración del n = 4 del UTF mediante enteros gaussianos. Si es correcta, ¡por fin lo haría mediante el absurdo de una contradicción que no se basa exclusivamente en el descenso infinito!

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

a)  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]

Y entonces existirán las ternas pitagóricas solución:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]x^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]y^2=2pq[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]p=p_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=2q_1^2[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]y=2p_1q_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

, para p,q comprimos y de distinta paridad ( q = par).

b)  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

[texx]x^4=\epsilon\,(z+yi)\,(\,(z-yi)\,/\,\epsilon\,)\,(z+y)\,(z-y)[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]x^4[/texx]  es siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como  [texx]x^4[/texx]  es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  [texx]z+yi[/texx] , [texx]z-yi[/texx] , [texx]z+y[/texx] ,
[texx]\wedge[/texx]  [texx]z-y[/texx]

Luego:  [texx]z+yi=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso 1) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]z+yi=(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]z=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=4uv(u^2-v^2)[/texx]

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Pero entonces aquí:  [texx]z=p_1^2-q_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=(p_1^2-q_1^2)^2[/texx] .  Lo que es una manifiesta contradicción, pues en a) vimos que:  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

Caso 2) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]z+yi=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]z+yi=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]z=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces nos veríamos obligados a considerar a " [texx]z[/texx] " como par de magnitud de por lo menos 8, siendo  [texx]x,y[/texx]  impares; cosa que la ecuación de partida no lo permite.

Un saludo,


Editado


¿Es correcto?
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #28 : 08/07/2017, 11:57:01 am »

Hola,

Hola, echad un vistazo si queréis a esta otra versión de demostración del n = 4 del UTF mediante enteros gaussianos. Si es correcta, ¡por fin lo haría mediante el absurdo de una contradicción que no se basa exclusivamente en el descenso infinito!

Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

a)  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]

Y entonces existirán las ternas pitagóricas solución:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]x^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]y^2=2pq[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]p=p_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=2q_1^2[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]y=2p_1q_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

, para p,q comprimos y de distinta paridad ( q = par).

b)  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

[texx]x^4=\epsilon\,(z+yi)\,(\,(z-yi)\,/\,\epsilon\,)\,(z+y)\,(z-y)[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]x^4[/texx]  es siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Como  [texx]x^4[/texx]  es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Como “ x “ e “ y “ son coprimos y de distinta paridad, serán coprimos  [texx]z+yi[/texx] , [texx]z-yi[/texx] , [texx]z+y[/texx] ,
[texx]\wedge[/texx]  [texx]z-y[/texx]

Luego:  [texx]z+yi=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso 1) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]z+yi=(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]z=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=4uv(u^2-v^2)[/texx]

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Pero entonces aquí:  [texx]z=p_1^2-q_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=(p_1^2-q_1^2)^2[/texx] .  Lo que es una manifiesta contradicción, pues en a) vimos que:  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

Caso 2) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]z+yi=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]z+yi=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]z=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces nos veríamos obligados a considerar a " [texx]z[/texx] " como par de magnitud de por lo menos 8, siendo  [texx]x,y[/texx]  impares; cosa que la ecuación de partida no lo permite.

Un saludo,


Editado


¿Es correcto?

Analizando con un poco más de profundidad la demostración de la respuesta anterior, creo que no es correcta. Es claro que  [texx]z+yi\,\wedge\,z-yi[/texx]  son coprimos y que también lo son  [texx]z+y\,\wedge\,z-y[/texx] ; pero otra cosa es extender la coprimalidad a los cuatro entre sí cuando no son los mismos primos los que hay en  [texx]Z(i)[/texx]  y en  [texx]Z[/texx] . Ya he cometido este tipo de error antes en este hilo.

No ocurre lo mismo con la demostración de la Respuesta 26, en la que sólo se hace referencia a la coprimalidad entre  [texx]"\,x^2+y^2i\,"\,\wedge\,"x^2-y^2i"[/texx] ; por lo que considero qué ésta sí es correcta.

Un saludo,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #29 : 09/07/2017, 11:32:31 am »

Hola, me he dado cuenta que con una pequeña modificación que se haga a esta última demostración que ayer veía como "no correcta" sí podría serlo. La reescribo a continuación. Pido disculpas por el lío pero como nadie me contesta, he de hacer unas veces de proponente y a renglón seguido de corrector.


Si:  [texx]x^4+y^4=z^4[/texx]  (x,y,z enteros coprimos 2 a 2 -y- “ y “ par)

a)  [texx](z^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2[/texx]

Y entonces existirán las ternas pitagóricas solución:

[texx]z^2=p^2+q^2[/texx]

[texx]x^2=p^2-q^2[/texx]

[texx]y^2=2pq[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]p=p_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]q=2q_1^2[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]y=2p_1q_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

, para p,q comprimos y de distinta paridad ( q = par).

b)  [texx]x^4=z^4-y^4[/texx]

[texx]x^4=(z^2+y^2)(z^2-y^2)[/texx]

Como  [texx]x^4[/texx]  es una cuarta potencia -y-  " [texx]z^2+y^2[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]z^2-y^2[/texx] "  son coprimos, entonces:  [texx]z^2+y^2=A^4[/texx] , para un  [texx]A[/texx]  entero.

Entonces:  [texx]A^4=z^2+y^2\,=\,\epsilon\,(z+yi)\,\dfrac{z-yi}{\epsilon}[/texx] ,  para  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva (puesto que  [texx]A^4[/texx]  es siempre positivo) :  [texx]\{1\vee i\}[/texx]

Y como  [texx]A^4[/texx]  es una cuarta potencia, lo serán sus factores coprimos. Y al ser  “ x “ e “ y “ coprimos y de distinta paridad, serán coprimos " [texx]z+yi[/texx] "  [texx]\wedge[/texx]  " [texx]z-yi[/texx] "


Luego:  [texx]z+yi=\,\epsilon\,(u+vi)^4[/texx] ,  para u,v coprimos; de distinta paridad y  [texx]\epsilon[/texx]  la unidad invertible positiva  [texx]1\vee i[/texx]

Caso 1) :  [texx]\epsilon=1[/texx]

[texx]z+yi=(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4[/texx]

[texx]z+yi=u^4+v^4-6u^2v^2+(4u^3v-4uv^3)i[/texx]

Luego:  [texx]z=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=4uv(u^2-v^2)[/texx]

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Pero entonces aquí:  [texx]z=p_1^2-q_1^2[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]z^2=(p_1^2-q_1^2)^2[/texx] .  Lo que es una manifiesta contradicción, pues en a) vimos que:  [texx]z^2=p_1^4+4q_1^4[/texx]

Caso 2) :  [texx]\epsilon=i[/texx]

[texx]z+yi=\,i\,(u+vi)^4[/texx]

[texx]z+yi=i\,(u^4+4u^3vi+6u^2v^2i^2+4uv^3i^3+v^4i^4)[/texx]

[texx]z+yi=(u^4+v^4-6u^2v^2)\,i+(4u^3v-4uv^3)\,i^2[/texx]

Luego:  [texx]z=4uv(v^2-u^2)[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]y=(u^2-v^2)^2-4u^2v^2[/texx]

Pero entonces nos veríamos obligados a considerar a " [texx]z[/texx] " como par de magnitud de por lo menos 8, siendo  [texx]x,y[/texx]  impares; cosa que la ecuación de partida no lo permite.


Si nadie tiene nada que objetar en un par de días pongo esta demostración como colofón del hilo que tengo en la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg385737#msg385737">Revista del Foro</a>. La verdad es que me cuesta mucho trabajo pensar que se pueda llegar a una contradicción distinta de la del descenso infinito en este asunto del n = 4 del UTF. Pero también tengo que reconocer que esto podría ser una de esas pistas que siempre ando buscando para abordar con alguna garantía el caso más complicado del " n = 3 ". Y ya voy con mucho atraso.


Saludos,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 44.105


Ver Perfil
« Respuesta #30 : 10/07/2017, 05:42:27 am »

Hola

En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Eso está mal. Que [texx]ab=cd[/texx] con [texx](a,b)=1[/texx] y [texx](c,d)=1[/texx] no significa que [texx]a=c[/texx] y [texx]b=d[/texx] ó [texx]a=d[/texx] y [texx]b=c.[/texx] Los diferentes factores primos de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] pueden repartirse unos en [texx]c[/texx] y otros en [texx]d[/texx].

Cita
Si nadie tiene nada que objetar en un par de días pongo esta demostración como colofón del hilo que tengo en la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg385737#msg385737">Revista del Foro</a>.

La no respuesta, al menos por mi parte, no indica que esté de acuerdo con lo escrito. Indica que no lo he leído o que no he tenido tiempo o que no he sabido verificarlo. Sé que puede ser desesperante cierto tiempo donde los mensajes no son respondidos; pero insisto en la idea, en matemáticas no vale el: "quien calla otorga".

Saludos.
En línea
Proyecto_dos
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 447


Ver Perfil
« Respuesta #31 : 10/07/2017, 09:59:18 am »

Hola,


En a) vimos que:  [texx]y=2p_1q_1[/texx] .  Luego:  [texx]2p_1q_1=4uv(u^2-v^2)[/texx]  y como  [texx]2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]u^2-v^2[/texx]  son coprimos y de distinta paridad, entonces no pierdo generalidad si establezco que:  [texx]q_1=2uv[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]p_1=u^2-v^2[/texx]

Eso está mal. Que [texx]ab=cd[/texx] con [texx](a,b)=1[/texx] y [texx](c,d)=1[/texx] no significa que [texx]a=c[/texx] y [texx]b=d[/texx] ó [texx]a=d[/texx] y [texx]b=c.[/texx] Los diferentes factores primos de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] pueden repartirse unos en [texx]c[/texx] y otros en [texx]d[/texx].

Efectivamente, un error trivial por mi parte. En parte me alivia, en el fondo sigo pensando que no es posible otro tipo de contradicción que la del descenso infinito.

Cita
Si nadie tiene nada que objetar en un par de días pongo esta demostración como colofón del hilo que tengo en la <a href="http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=80158.msg385737#msg385737">Revista del Foro</a>.

La no respuesta, al menos por mi parte, no indica que esté de acuerdo con lo escrito. Indica que no lo he leído o que no he tenido tiempo o que no he sabido verificarlo. Sé que puede ser desesperante cierto tiempo donde los mensajes no son respondidos; pero insisto en la idea, en matemáticas no vale el: "quien calla otorga".

Completamente de acuerdo. Disculpas por si te has sentido en algo presionado. Sólo una aclaración. En ningún momento he pensado que si no hablabas era porque estabas otorgando; simplemente no sabía por qué y en ese espacio caben muchos demonios. No es ésa mi condición. Me refería literalmente a que lo iba a poner en la Revista del Foro; allí iba a indicar naturalmente que "creía" que era correcto -con ese importante matiz-. Disculpas de nuevo por mi ansiedad en todos estos temas. Trabajo un poco acelerado debido al alto grado de exposición de mis ideas, muy cercano al 100% de todo lo que tengo en cada momento en la cabeza; es como si "razonara" on-line. Ésa virtud, también, tiene este Foro

Un cordial saludo,
En línea

  La individualidad es el engaño útil del verdadero objetivo general.  F. Moreno 
Páginas: 1 [2]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!