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Autor Tema: convergencia en probabilidad  (Leído 266 veces)
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irenesevillana
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« : 23/05/2017, 06:53:20 pm »

Buenas noches, tengo una duda en un ejercicio de convergencia en probabilidad lo hice de una forma y es la única que se me ocurre pero no llego a lo que me pide el ejercicio ...espero vuestra ayuda y sugerencia
Sea[texx]{X_n}[/texx] una sucesión vv.aa. independientes e idénticamente distribuidas con distribución Exponencial de parámetro 1. Sean [texx]Y_n= X_n/ log n, n = 2, 3,....[/texx] Prueba que [texx]Y_n[/texx] converge en probabilidad a 0.
Sabemos por un teorema que la convergencia en probabilidad implica la convergencia en distribución cuando el límite es constante, es decir
[texx]Y_n \xrightarrow{d{}  }0   \Longrightarrow{} Y_n \xrightarrow{P{}  }0 [/texx]
Por definición de convergencia en distribución [texx]Y_n[/texx]
[texx]F_{Y_n}(X)\longrightarrow{F_{Y}(X)}=0  \forall{x}[/texx]punto descontinuidad de[texx]F_{Y_n}(X) [/texx] Sea[texx]{X_n}[/texx] una sucesión vv.aa. independientes e idénticamente distribuidas con distribución Exponencial de parámetro 1,luego
[texx]F(x)=\begin{cases} 1-e^-x & \text{si}& x\geq{0}\\0 & \text{si}& x<0\end{cases}[/texx]
Entonces [texx]F_{Y_n}(t)=P(Y_n\leq{T})=1-P(Y_2>t,Y_3>t,.....,Y_n>t)=1-\bigcap_{i=1}^{i=n}P(x_i/log n)=1- \displaystyle\prod_{i=1}^n P(x_i/log n)=[/texx]
[texx]1-(P(x_2/log2))^n[/texx]

veamos qué pasa en la función de distribución cuando[texx]x\neq{0}[/texx] es decir en todo punto de continuidad
si t<0 [texx]\longrightarrow{F(t)=0}[/texx] luego [texx](F(t))^n =0\longrightarrow{F_{Y_n}(t)\longrightarrow{0}}[/texx]
si t>0 [texx]F_{Y_n} = 1- (F((t/log2)>t))^n =(1- (1-e^-t)/log2)^n  [/texx] pero esto no converge a cero !!!!! aquí también me tendría que salir limite 0 para así concluir que converge en distribución por lo cual también en probabilidad!!!
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« Respuesta #1 : 23/05/2017, 07:23:04 pm »

Hola irenesevillana.

 No entiendo bien lo que haces en lo que intentaste. Al inicio tienes un error (de tipeo me imagino) en el resultado que mencionas. Cuando una sucesión de variables aleatorias converge a una constante en distribución, entonces esta sucesión converge en probabilidad (anotaste el recíproco que siempre es verdad, incluso cuando las variables no convergen a una constante). Por otro lado, me parece que has interpretado mal la pregunta, no veo la razón de hacer el siguiente cálculo

[...]
Entonces [texx]F_{Y_n}(t)=P(Y_n\leq{T})=1-P(Y_2>t,Y_3>t,.....,Y_n>t)=1-\bigcap_{i=1}^{i=n}P(x_i/log n)=1- \displaystyle\prod_{i=1}^n P(x_i/log n)=[/texx]
[texx]1-(P(x_2/log2))^n[/texx]
[...]

Como las variables [texx]X_{n}[/texx] está idénticamente distribuidas tenemos simplemente que [texx]\mathbb{P}[Y_{n}\leq T]=\mathbb{P}[X_{1}/\log n\leq T]=\mathbb{P}[X_{1}\leq T\log n]=\int_{0}^{T\log n}e^{-t}\,dt=\dots.[/texx] Y podemos continuar los cálculos.

 Sin embargo, no es necesario proceder de esta forma para probar el ejercicio. Podemos usar directamente la definición de convergencia en probabilidad. Nota que

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[|Y_{n}-0|>\varepsilon]=\mathbb{P}[X_{n}>\varepsilon\log n]=\mathbb{P}[X_{1}\in(\varepsilon\log n,+\infty)],[/texx]

donde la última probabilidad tiende a cero cuando [texx]n\to\infty[/texx] (y [texx]\varepsilon>0[/texx] es fijo), ya que los conjuntos [texx](\varepsilon\log n,+\infty)[/texx] están encajados y tienen intersección vacía. También se puede hacer el cálculo explícito de [texx]\mathbb{P}[X_{1}>\varepsilon\log n][/texx] usando la densidad de la variable exponencial. De todas formas el anterior argumento muestra directamente que [texx]\mathbb{P}[|Y_{n}-0|>\varepsilon]\to 0[/texx] cuando [texx]n\to\infty.[/texx]

 Si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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irenesevillana
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« Respuesta #2 : 24/05/2017, 05:05:17 am »

Hola EnRlquE, primero muchas gracias por tu aclaración,explicación y tu tiempo.
Si me ha quedado claro tienes razón he aplicado el complementario pero realmente se puede hacer de manera directa...yo casi siempre recurro a estos resultados porque no manejo muy bien la de definición de convergencia en probabilidad pero la verdad que a veces sale casi inmediato.Te lo agradezco
Un saludo
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