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Autor Tema: Conjunto de nivel de una función diferenciable  (Leído 536 veces)
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alucard
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« : 22/05/2017, 08:47:51 pm »

Hola , me pueden orientar con este enunciado 

Sabiendo que [texx]\forall k\geq{0}\quad x^2+3y^2+2z^2=k[/texx] es un cunjunto de nivel de la función diferenciable

[texx]j: R^3\to R/j(t,2t,t)=t^2[/texx]

a) deducir el valor de [texx]j(3,1,-2)[/texx]

Lo que planteé fue lo siguiente

[texx]x=t\\\dfrac{y}{2}=t\\z=t[/texx]

de donde deduzco que la ecuación de la recta 

[texx]x=\dfrac{y}{2}=z[/texx]

b) deducir la expresión del polinomio de  Taylor de grado 1 de j en (2,4,2)

para a) claramente el punto no esta en esa recta, la verdad no sé como seguir

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 23/05/2017, 04:56:06 am »

Hola

Sabiendo que [texx]\forall k\geq{0}\quad x^2+3y^2+2z^2=k[/texx] es un cunjunto de nivel de la función diferenciable

[texx]j: R^3\to R/j(t,2t,t)=t^2[/texx]

a) deducir el valor de [texx]j(3,1,-2)[/texx]

Lo que planteé fue lo siguiente

[texx]x=t\\\dfrac{y}{2}=t\\z=t[/texx]

de donde deduzco que la ecuación de la recta 

[texx]x=\dfrac{y}{2}=z[/texx]

b) deducir la expresión del polinomio de  Taylor de grado 1 de j en (2,4,2)

para a) claramente el punto no esta en esa recta, la verdad no sé como seguir

 Ten en cuenta que sobre todos los puntos de un conjunto de nivel de una función, la función toma el mismo valor.

 Entonces el valor de [texx]j[/texx] en [texx](3,1-2)[/texx] es el mismo que en cualquier punto [texx](x,y,z)[/texx] cumpliendo:

[texx] x^2+3y^2+2z^2=3^2+3(1)^2+2(-2)^2[/texx]

 Interseca la recta [texx]x=y/2=z[/texx] con esa superficie y tendrás un punto de la recta donde puedes hallar el valor de la función y coincidirá con el valor pedido.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 23/05/2017, 06:47:00 pm »

gracias el manco , unas preguntas

Hola

Sabiendo que [texx]\forall k\geq{0}\quad x^2+3y^2+2z^2=k[/texx] es un cunjunto de nivel de la función diferenciable

[texx]j: R^3\to R/j(t,2t,t)=t^2[/texx]

a) deducir el valor de [texx]j(3,1,-2)[/texx]


 Ten en cuenta que sobre todos los puntos de un conjunto de nivel de una función, la función toma el mismo valor.

 Entonces el valor de [texx]j[/texx] en [texx](3,1-2)[/texx] es el mismo que en cualquier punto [texx](x,y,z)[/texx] cumpliendo:

[texx] x^2+3y^2+2z^2=3^2+3(1)^2+2(-2)^2[/texx]

de ahi se deduce que [texx]k=20[/texx] ¿correcto?

 
Cita
Interseca la recta [texx]x=y/2=z[/texx] con esa superficie y tendrás un punto de la recta donde puedes hallar el valor de la función y coincidirá con el valor pedido.

Saludos.

seria equivalente a hacer  [texx]t^2+12t^2+2t^2=20\to t^2=\dfrac{20}{15}[/texx]

entonces [texx]j(t,2t,t)=t^2=\dfrac{20}{15}[/texx]

¿Es así?

b) para el plano tangente pensé en calcular el gradiente de la función j en su conjunto de nivel y evaluarlo en el punto que se me pide, ¿es correcto?
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« Respuesta #3 : 24/05/2017, 05:48:12 am »

Hola

de ahi se deduce que [texx]k=20[/texx] ¿correcto?

 
Cita
Interseca la recta [texx]x=y/2=z[/texx] con esa superficie y tendrás un punto de la recta donde puedes hallar el valor de la función y coincidirá con el valor pedido.

Saludos.

seria equivalente a hacer  [texx]t^2+12t^2+2t^2=20\to t^2=\dfrac{20}{15}[/texx]

entonces [texx]j(t,2t,t)=t^2=\dfrac{20}{15}[/texx]

¿Es así?

Bien.

Cita
b) para el plano tangente pensé en calcular el gradiente de la función j en su conjunto de nivel y evaluarlo en el punto que se me pide, ¿es correcto?

No estoy seguro de lo que te propones. Te piden además el polinomio de Taylor de grado uno y no el plano tangente, que aun estando relacionados no es exactamente lo mismo.

Entonces el polinomio de Taylor es:

[texx]j(x,y,z)=j(2,4,2)+\dfrac{\partial j}{\partial x}(2,4,2)(x-2)+\dfrac{\partial j}{\partial y}(2,4,2)(y-4)+\dfrac{\partial j}{\partial z}(2,4,2)(z-2)[/texx]

Sabemos que el vector gradiente:

[texx]\left(\dfrac{\partial j}{\partial x}(2,4,2),\dfrac{\partial j}{\partial y}(2,4,2),\dfrac{\partial j}{\partial z}(2,4,2)\right)[/texx]

es paralelo al vector normal de la correspondiente superficie de nivel (que puedes hallar).

Además como [texx]j(t,2t,t)=t^2[/texx], derivando y por la regla de la cadena sabemos que:

[texx]\dfrac{\partial j}{\partial x}(t,2t,t)\cdot 1+\dfrac{\partial j}{\partial y}(t,2t,t)\cdot 2+\dfrac{\partial j}{\partial z}(t,2t,t)\cdot 1=2t[/texx]

Evaluando para [texx]t=2[/texx] puedes concluir.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 13/05/2018, 05:14:24 pm »

Perdón que reviva , una consulta , para la parte b , para poder hallar el vector normal a la superficie , a ese vector lo tengo que evaluar en el Punto "nuevo" que me dan , no? Y con es
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« Respuesta #5 : 14/05/2018, 11:18:08 am »

Hola

Perdón que reviva , una consulta , para la parte b , para poder hallar el vector normal a la superficie , a ese vector lo tengo que evaluar en el Punto "nuevo" que me dan , no? Y con es


No entiendo la pregunta. En mi respuesta ya he trabajado con  el punto [texx](2,4,2)[/texx]. ¿Exactamente cuál es la duda?.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 15/05/2018, 06:53:35 pm »

Luis como estas, perdón por el mensaje medio confuso  , lo escribí desde el celular bueno respecto al ejercicio , si defino las componentes del gradiente en el punto como [texx](a,b,c)[/texx]

Cuando
[texx]
\dfrac{\partial j}{\partial x}(t,2t,t)\cdot 1+\dfrac{\partial j}{\partial y}(t,2t,t)\cdot 2+\dfrac{\partial j}{\partial z}(t,2t,t)\cdot 1=2t[/texx]

obtengo [texx]a+2b+c=4\quad (1)[/texx]

Hola


Entonces el polinomio de Taylor es:

[texx]j(x,y,z)=j(2,4,2)+\dfrac{\partial j}{\partial x}(2,4,2)(x-2)+\dfrac{\partial j}{\partial y}(2,4,2)(y-4)+\dfrac{\partial j}{\partial z}(2,4,2)(z-2)[/texx]

Sabemos que el vector gradiente:

[texx]\left(\dfrac{\partial j}{\partial x}(2,4,2),\dfrac{\partial j}{\partial y}(2,4,2),\dfrac{\partial j}{\partial z}(2,4,2)\right)[/texx]

es paralelo al vector normal de la correspondiente superficie de nivel (que puedes hallar).

Ahí me enquilombe un poco, el vector gradiente a la superficie es 

[texx]\nabla S(x,y,z)=(2x,6y,4z)[/texx]

¿en que punto tengo que evaluarlo? ¿en el (2,4,2)? o en el (3,1,-2)

me quedaría que  [texx](a,b,c)=\alpha (2x,6y,4z)[/texx]

de donde 

[texx]a=2x\alpha\quad b=6y\alpha\quad c=4z\alpha[/texx]

Reemplazando en (1) puedo obtener el valor del parametro y encontrar el gradiente , ¿es así, o me fui por las ramas?





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« Respuesta #7 : 16/05/2018, 04:54:46 am »

Hola

¿en que punto tengo que evaluarlo? ¿en el (2,4,2)? o en el (3,1,-2)

¡En el [texx](2,4,2)[/texx]!. El punto [texx](3,1,-2)[/texx] no pinta nada en el segundo apartado.

Lo demás está bien.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 21/05/2018, 09:40:56 pm »

Gracias Luis
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