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Autor Tema: Punto fijo  (Leído 685 veces)
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Estudiantee
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« : 22/05/2017, 02:45:41 pm »

Hola tengo dudas a la hora de resolver el siguiente problema

 Nos proponemos encontrar la solución de la siguiente ecuación en el intervalo [texx][0,\pi][/texx]:
   
   [texx]\displaystyle\int_{0}^{x}(\sen s)^2 ds=1[/texx]

1. Se pide demostrar que el problema es equivalente a hallar un punto fijo de la ecuación
 [texx]g(x)=2+ \displaystyle\frac{\sen(2x)}{2}[/texx] en [texx][0,\pi][/texx]

 2.Comprobar que la función g satisface las hipótesis del teorema del punto fijo en el intervalo [texx][1.6,2]\subset{(\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{3\pi}{4})}[/texx]

 3. Determinar el número de iteraciones para las que el error cometido sea menor que [texx]10^{-8}[/texx]

 La verdad es que el 1 no sé resolverlo, y para el 2 no entiendo por qué cambia de intervalo

 Saludos y gracias.
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mathtruco
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« Respuesta #1 : 22/05/2017, 04:10:05 pm »

Hola Estudiantee.

    [texx]\displaystyle\int_0^x\sin^2t\,dt=\frac{{\color{red}-}\sin2x}{4}+\frac{x}{2}[/texx]

de donde

    [texx]\displaystyle\int_0^x\sin^2s\,ds=1\Leftrightarrow \frac{{\color{red}-}\sin2x}{4}+\frac{x}{2}=1[/texx]

y al multiplicarla por dos y reordenar:

    [texx]x=2+\dfrac{\sin2x}{2}[/texx]

por lo que definiendo [texx]g(x):=2+\dfrac{\sin2x}{2}[/texx], el problema inical es igual a encontrar un punto fijo de la ecuación [texx]g(x)=x[/texx].

Claramente tenemos que [texx]-1\leq g'(x)\leq 1[/texx], falta verificar que [texx]g(x)\in [0,\pi][/texx], y si no es así hallar un intervalo donde [texx]g(x)\in[a,b][/texx] para todo [texx]x\in[a,b][/texx]. Seguramente el intervalo dado en la pregunta dos se halla calculando esto (no hice la cuenta).

La parte tres seguro es llegar y aplicar algún resultado que tienes en el cuaderno.

P.D. En rojo corregí una errata en el signo de la integral.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #2 : 22/05/2017, 04:43:23 pm »

Una pequeña errata:

por lo que definiendo [texx]g(x):=2 \color{red} - \color{black} \dfrac{\sin2x}{2}[/texx], el problema inical es igual a encontrar un punto fijo de la ecuación [texx]g(x)=x[/texx].


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El punto fijo no corresponde con el ejercicio , está mal.

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mathtruco
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« Respuesta #3 : 22/05/2017, 05:02:36 pm »

Gracias por estar atento Juan Pablo. En rojo corregí una errata en el signo, pero era en un paso intermedio (la integral) así que la función [texx]g[/texx] para la cual se aplica el método es la misma. El punto fijo estaría próximo a [texx]1.78882[/texx].
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« Respuesta #4 : 22/05/2017, 06:00:17 pm »

Vale gracias.
 Para el apartado 2 lo que tengo que hacer es lo siguiente no?


Ver que [texx]g([1.6,2])[/texx] está contenido en [texx](\displaystyle\frac{\pi}{2},\displaystyle\frac{3\pi}{2})[/texx] y que g es contractiva no?
 Es decir sustituir g(1.6) y g(2) solo? o tengo que ver que es monótona?
Gracias.
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« Respuesta #5 : 22/05/2017, 07:54:05 pm »

- No se necesita que [texx]g[/texx] sea contractiva, sino que [texx]1\leq g'(x)\leq 1[/texx] en el intervalo de estudio, y esto se cumple pues [texx]g'(x)=\cos(2x)[/texx] para cualquier [texx]x[/texx].

- Necesitamos hallar [texx]R=[a,b]\subseteq [0,\pi][/texx] donde [texx]g(R)=R[/texx].

- Notamos que [texx]g[/texx] es decreciente en [texx][\pi/4,3\pi/4]\subset [0,\pi][/texx], pero [texx]g([\pi/4,3\pi/4])[/texx] es más grande que [texx][\pi/4,3\pi/4][/texx], por lo que hay que achicarlo un poco. ¿Cuán poco? Te dan [texx]R=[a,b]=[0.6,2][/texx]

    [texx]g(R)=[g(b),g(a)]\approx [1.62,1.97]\subseteq R[/texx]

donde en la primera igualdad usamos que [texx]g[/texx] es decreciente.

No obtenemos exactamente que [texx]g(R)=R[/texx] y eso me choca, pero quizás es "suficiente parecido" para poder aplicar el método. No veo razón para justificar este paso, más que aplicar el método y ver que aproxima a un punto fijo.
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Juan Pablo Sancho
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« Respuesta #6 : 23/05/2017, 06:24:46 pm »

Gracias por estar atento Juan Pablo. En rojo corregí una errata en el signo, pero era en un paso intermedio (la integral) así que la función [texx]g[/texx] para la cual se aplica el método es la misma. El punto fijo estaría próximo a [texx]1.78882[/texx].

Entonces nada  :sonrisa_amplia:
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