Foros de matemática
16/12/2017, 12:32:07 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: particular divisibilidad  (Leído 543 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
alicenujan
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Italy Italy

Mensajes: 71


Ver Perfil
« : 20/05/2017, 05:20:51 pm »

Escribe todos los triples (x,y,z) de los números enteros x,y,z con 1 <x <y <z tal que el producto (x - 1)
(y - 1)(z - 1) es un divisor defunción xyz-1 (producto de x por y por z, disminuido de un 1).
Escribe 0 si no hay soluciones.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.608


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 20/05/2017, 07:05:36 pm »

Hola

Escribe todos los triples (x,y,z) de los números enteros x,y,z con 1 <x <y <z tal que el producto (x - 1)
(y - 1)(z - 1) es un divisor defunción xyz-1 (producto de x por y por z, disminuido de un 1).
Escribe 0 si no hay soluciones.

Un camino:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
En línea
alicenujan
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Italy Italy

Mensajes: 71


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 18/06/2017, 04:43:41 pm »

Perdon por el retraso Manco... :triste:
Solucion muy clara y elegante, gracias!!! :sonrisa:
En línea
mathosc
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 10/11/2017, 02:55:35 pm »

Hola

Escribe todos los triples (x,y,z) de los números enteros x,y,z con 1 <x <y <z tal que el producto (x - 1)
(y - 1)(z - 1) es un divisor defunción xyz-1 (producto de x por y por z, disminuido de un 1).
Escribe 0 si no hay soluciones.

Un camino:

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.

Hola, una pregunta de tu resolución, ¿por qué tomas al principio valores a, b y c como 1,2 y 3? Habría salido igualmente tomando otros valores iniciales para a,b y c?
Gracias, un saludo
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.608


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 11/11/2017, 06:12:00 am »

Hola

Hola, una pregunta de tu resolución, ¿por qué tomas al principio valores a, b y c como 1,2 y 3? Habría salido igualmente tomando otros valores iniciales para a,b y c?
Gracias, un saludo

Supongo que te refieres a esta parte:

Se trata de estudiar enteros [texx]0<a<b<c[/texx] tal que [texx]\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)-1}{abc}=k[/texx] sea entero.

En primer lugar es claro que [texx]k>1[/texx]. Además:

[texx]k<\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\dfrac{2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}=4[/texx]

Es decir [texx]k=2[/texx] ó [texx]k=3[/texx].

Ten en cuenta que la función [texx]\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}[/texx] es decreciente en [texx]a,b,c[/texx]; para verlo claro puedes reescribirlo como:

 [texx]\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)[/texx]

Entonces dado que estamos con las hipótesis [texx]0<a<b<c[/texx], los valores más pequeños posibles de las tres variables en esas condiciones son [texx]a=1, b=2, c=3[/texx] y así:

[texx]k<\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\dfrac{2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}=4[/texx]

Saludos.
En línea
mathosc
Nuevo
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 11/11/2017, 09:38:51 am »

Hola

Hola, una pregunta de tu resolución, ¿por qué tomas al principio valores a, b y c como 1,2 y 3? Habría salido igualmente tomando otros valores iniciales para a,b y c?
Gracias, un saludo

Supongo que te refieres a esta parte:

Se trata de estudiar enteros [texx]0<a<b<c[/texx] tal que [texx]\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)-1}{abc}=k[/texx] sea entero.

En primer lugar es claro que [texx]k>1[/texx]. Además:

[texx]k<\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\dfrac{2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}=4[/texx]

Es decir [texx]k=2[/texx] ó [texx]k=3[/texx].

Ten en cuenta que la función [texx]\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}[/texx] es decreciente en [texx]a,b,c[/texx]; para verlo claro puedes reescribirlo como:

 [texx]\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)[/texx]

Entonces dado que estamos con las hipótesis [texx]0<a<b<c[/texx], los valores más pequeños posibles de las tres variables en esas condiciones son [texx]a=1, b=2, c=3[/texx] y así:

[texx]k<\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=\dfrac{2\cdot 3\cdot 4}{1\cdot 2\cdot 3}=4[/texx]

Saludos.

Esa era la duda sí!! Gracias :cara_de_queso:
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!