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Autor Tema: Sobre conjunto cuadrático convexo  (Leído 1250 veces)
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lindtaylor
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« : 18 Mayo, 2017, 00:56 »

Es verdad que[texx] \left\{x\in\mathbb{R}: ax^2+bx+c\leq 0\right\}[/texx] es convexo si y sólo si [texx]a\geq 0?[/texx] Y si es verdad. Cómo lo pruebo?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 18 Mayo, 2017, 06:09 »

Hola

Es verdad que[texx] \left\{x\in\mathbb{R}: ax^2+bx+c\leq 0\right\}[/texx] es convexo si y sólo si [texx]a\geq 0?[/texx] Y si es verdad. Cómo lo pruebo?

¿Segura qué es así el enunciado? ¿Es un subconjunto de los reales?.

Si es así no es cierto. Por ejemplo:

[texx]\{x\in\mathbb{R}: -x^2-1\leq 0\}=\mathbb{R}[/texx]

es convexo.

Tal como lo tienes llamando [texx]A[/texx] a tu conjunto:

- Si [texx]a=0[/texx] entonces: [texx]A=\{x\in  \mathbb{R}|bx+c\leq 0\}[/texx]. Esto es una semirrecta o todo [texx]\mathbb{R}[/texx] o el vacío dependiendo de [texx]b[/texx] y [texx]c[/texx]. Sea como sea convexo.

- Si [texx]a>0[/texx] entonces [texx]A=[x_1,x_2][/texx] siendo [texx]x_1\leq x_2[/texx] las raíces de la ecuación [texx]ax^2+bx+c=0[/texx]. Si las raíces son complejas sería el vacío. Sea como sea convexo.

- Si [texx]a<0[/texx] entonces [texx]A=(-\infty,x_1]\cup [x_2,+\infty)[/texx] siendo [texx]x_1< x_2[/texx] las raíces de la ecuación [texx]ax^2+bx+c=0[/texx] si las ráices son reales y distintas  y en se caso NO es convexo. En otro caso el conjunto queda [texx]\mathbb{R}[/texx] y es convexo.

Saludos.
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