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Autor Tema: Factorización de Cholesky, duda rápida  (Leído 490 veces)
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« : 09/05/2017, 08:24:52 am »

En el siguiente problema:

 Dada la matriz
   

[texx]\begin{pmatrix}
4& \alpha & 4 & 0  \\
\alpha & 3 &\alpha & 1  \\
4 & \alpha  & 5  & -1\\
0 & 1 & -1 & 3\\
\end{pmatrix}[/texx]

 Me piden calcular la factorización de Cholesky en función de [texx]\alpha\in{\mathbb{R}}[/texx] y concretar valores de [texx]\alpha\in{\mathbb{R}}[/texx] para los que es posible una factorización en aritmética real.

 Al calcular la factorización de Cholesky hallo las matrices que verifican que [texx]A=BB^T[/texx] con B matriz triangular inferior ( Es decir hallo B igualando la matriz A a B multiplicado por su traspuesta.)
 Mi duda cuando tengo que concretar los valores de [texx]\alpha[/texx] Para ello tengo que ver que es simétrica (lo es ) y definida positiva. Mirando lo que es definida positiva puedo hallar los menores principales y ver  para qué valores son positivos. Con eso bastaría?
 Saludos y gracias.
 
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Si alguien me invita a forocoches, se lo agradecería.
mathtruco
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El gran profesor inspira


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« Respuesta #1 : 09/05/2017, 11:43:26 am »

Correcto, para aplicar Cholesky la matriz debe ser simétrica (que lo es) y definida positiva, y una matriz es positiva definida si sus menores principales son positivos.

Si no me fallan las cuentas,

    [texx]\textrm{det}(4)=4>0[/texx].

    [texx]\textrm{det}\left(\begin{bmatrix}4&x\\ x&3\end{bmatrix}\right)=12-x^2>0\Leftrightarrow x\in]-\sqrt{12},\sqrt{12}[[/texx]

    [texx]\textrm{det}\left(\begin{bmatrix}4&x&4\\ x&3&x\\ 4&x&5\end{bmatrix}\right)=12-x^2>0\Leftrightarrow x\in]-\sqrt{12},\sqrt{12}[[/texx]

    [texx]\textrm{det}\left(M\right)=2(10-x^2)>0\Leftrightarrow x\in]-\sqrt{10},\sqrt{10}[[/texx]

Luego [texx]M[/texx] es definida positiva cuando [texx]x\in]-\sqrt{10},\sqrt{10}[[/texx].

Por lo tanto, sólo puedes aplicar Cholesky cuando [texx]x\in]-\sqrt{10},\sqrt{10}[[/texx].

P.D. Creo que el primer paso era analizar si era posible aplicar el método, pero en este caso tuviste suerte, sí era posible.
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« Respuesta #2 : 10/05/2017, 11:16:20 am »

Muchas gracias
 Saludos.
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