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Autor Tema: Bases ortonormales en L^{2}  (Leído 365 veces)
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DeisyF.
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« : 27/04/2017, 05:46:34 pm »

Buen dia.

Quisiera ayuda en un ejercicio el cual no he podido manejar con mucha destreza.

En [texx]L^{2}(0,1)[/texx] demuestre que la base ortonormal [texx] \{ e_{k}(x) = e^{-2 i \pi k x} \} [/texx] es completa. Sea [texx] f_{k}(x)= \langle f,e_{k} \rangle [/texx], demuestre que:
[texx] \displaystyle\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} f_{k}(x) = (K_{n} \ast f) (x)), [/texx] con
[texx] K_{n}(x)=\sum_{-k}^{k} (1-\displaystyle\frac{\vert k \vert}{n+1}) e_{k}(x) [/texx].

He probado que esta base es completa.

Espero de su ayuda, mil gracias.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 28/04/2017, 04:55:52 am »

Hola

 Bienvenida al foro.

Buen dia.

Quisiera ayuda en un ejercicio el cual no he podido manejar con mucha destreza.

En [texx]L^{2}(0,1)[/texx] demuestre que la base ortonormal [texx] \{ e_{k}(x) = e^{-2 i \pi k x} \} [/texx] es completa. Sea [texx] f_{k}(x)= \langle f,e_{k} \rangle [/texx], demuestre que:
[texx] \displaystyle\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} f_{k}(x) = (K_{n} \ast f) (x)), [/texx] con
[texx] K_{n}(x)=\color{red}\sum_{-k}^{k}\color{black} (1-\displaystyle\frac{\vert k \vert}{n+1}) e_{k}(x) [/texx].

He probado que esta base es completa.

Revisa el enunciado. Especialmente esos límites del sumatorio que he marcado en rojo. No me queda claro exactamente cuál es el índice y de donde a donde van.

Saludos.
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