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Autor Tema: Método de Newton y convergencia.  (Leído 956 veces)
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« : 22/04/2017, 12:41:51 pm »

Tengo dudas en el siguiente problema
 Sea [texx]f(x)=e^x-5x^2-5[/texx]
 1. Ver que sólo tiene una raíz.
 Como idea me dan que estudie el crecimiento de la función y veo que su máximo local es negativo.
 Yo lo que he hecho es hallar la derivada primera y segunda  de f
 [texx]f'(x)=e^x-25x[/texx] y [texx]f''(x)=e^x-25[/texx]
 
 Como [texx]f(0)<0<f(5)[/texx] entonces en [texx][0,5][/texx] existe una raíz, veamos que es única.
 Para ello CREO que tengo que estudiar si [texx]f'(x)>0[/texx] si es así entonces la raíz es única no?

 Si no es así, debería de aplicar la idea dada antes

 2. Demostrar que el método de Newton  es convergente para [texx]x_0=7[/texx]

 Me dan como idea que aplique la regla de Fourier.
 No sé como resolverlo.

 Saludos y gracias.
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« Respuesta #1 : 22/04/2017, 03:16:53 pm »

Tengo dudas en el siguiente problema
 Sea [texx]f(x)=e^x-5x^2-5[/texx]
 1. Ver que sólo tiene una raíz.
 Como idea me dan que estudie el crecimiento de la función y veo que su máximo local es negativo.
 Yo lo que he hecho es hallar la derivada primera y segunda  de f
 [texx]f'(x)=e^x-25x[/texx] y [texx]f''(x)=e^x-25[/texx]

Las derivadas no están bien, son :

[texx]f'(x)=e^x-10x\textrm{ y }f''(x)=e^x-10[/texx]

Tu en lugar de multiplicar 5 por 2, lo elevaste al cuadrado. Pero eso no cambia nada sustancial.


Como [texx]f(0)<0<f(5)[/texx] entonces en [texx][0,5][/texx] existe una raíz, veamos que es única.
 Para ello CREO que tengo que estudiar si [texx]f'(x)>0[/texx] si es así entonces la raíz es única no?

Te piden demostrar que hay una sola raíz en todo [texx]\mathbb{R}[/texx], no solo en [0, 5]. Si ves que es siempre derivable (sencillo), que tiene un solo máximo local (no tan sencillo) y que es negativa en el máximo (complicado) y que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty[/texx] (sencillo), lo tienes hecho.

Pero para estudiar sus mínimos hay que ver donde se anula la derivada primera:

[texx]f'(x)=e^x-10x = 0 \;\Rightarrow{}\;e^x=10x[/texx]

Para calcularlo con una buena aproximación, habrá que emplear a su vez algún método numérico. Pero en realidad puede hacerse apenas calculando un par de valores de [texx]e^x[/texx]:

Lo que debemos hacer numéricamente. Como [texx]f'(0) = 1 > 0, f'(1 = e - 10 < 0, f'(3) = e^3 - 30 < 0\textrm{ y }f'(4) = e^4 - 40 > 0[/texx], sabemos que se hay un cero de la derivada en [texx](0, 1)\textrm{ y otro en }(3, 4)[/texx].

Pero en todo el el intervalo [texx](0, 1)\textrm{ es claramente }f''(x) < 0,\textrm{ y en todo el intervalo }(3, 4)\textrm{ es }f''(8x) > 0[/texx], por lo que el primer valor corresponde a un máximo y el segundo a un mínimo. Y para [texx]x \in{} (0, 1)\textrm{ es claramente }f(x) < 0[/texx].


Si no es así, debería de aplicar la idea dada antes

 2. Demostrar que el método de Newton  es convergente para [texx]x_0=7[/texx]

 Me dan como idea que aplique la regla de Fourier.
 No sé como resolverlo.

 Saludos y gracias.

¿Y que problema hay? ¿Conoces la regla de Fourier? Si no, puedes verla por ejemplo aquí (Teorema 4.2). Escogiendo [texx][a, b] = [4, 7]\textrm{ y }x_0 = 7[/texx] se verifican fácilmente todas las condiciones con lo dicho anteriormente.

Puedes ver como funciona con el applet de este mensaje: Método de Newton.

Saludos,
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« Respuesta #2 : 24/04/2017, 11:11:28 am »

Tengo dudas en el siguiente problema
 Sea [texx]f(x)=e^x-5x^2-5[/texx]
 1. Ver que sólo tiene una raíz.
 Como idea me dan que estudie el crecimiento de la función y veo que su máximo local es negativo.
 Yo lo que he hecho es hallar la derivada primera y segunda  de f
 [texx]f'(x)=e^x-25x[/texx] y [texx]f''(x)=e^x-25[/texx]

Las derivadas no están bien, son :

[texx]f'(x)=e^x-10x\textrm{ y }f''(x)=e^x-10[/texx]

Tu en lugar de multiplicar 5 por 2, lo elevaste al cuadrado. Pero eso no cambia nada sustancial.


Como [texx]f(0)<0<f(5)[/texx] entonces en [texx][0,5][/texx] existe una raíz, veamos que es única.
 Para ello CREO que tengo que estudiar si [texx]f'(x)>0[/texx] si es así entonces la raíz es única no?

Te piden demostrar que hay una sola raíz en todo [texx]\mathbb{R}[/texx], no solo en [0, 5]. Si ves que es siempre derivable (sencillo), que tiene un solo máximo local (no tan sencillo) y que es negativa en el máximo (complicado) y que [texx]\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty[/texx] (sencillo), lo tienes hecho.

Pero para estudiar sus mínimos hay que ver donde se anula la derivada primera:

[texx]f'(x)=e^x-10x = 0 \;\Rightarrow{}\;e^x=10x[/texx]

Para calcularlo con una buena aproximación, habrá que emplear a su vez algún método numérico. Pero en realidad puede hacerse apenas calculando un par de valores de [texx]e^x[/texx]:

Lo que debemos hacer numéricamente. Como [texx]f'(0) = 1 > 0, f'(1 = e - 10 < 0, f'(3) = e^3 - 30 < 0\textrm{ y }f'(4) = e^4 - 40 > 0[/texx], sabemos que se hay un cero de la derivada en [texx](0, 1)\textrm{ y otro en }(3, 4)[/texx].

Pero en todo el el intervalo [texx](0, 1)\textrm{ es claramente }f''(x) < 0,\textrm{ y en todo el intervalo }(3, 4)\textrm{ es }f''(8x) > 0[/texx], por lo que el primer valor corresponde a un máximo y el segundo a un mínimo. Y para [texx]x \in{} (0, 1)\textrm{ es claramente }f(x) < 0[/texx].


Si no es así, debería de aplicar la idea dada antes

 2. Demostrar que el método de Newton  es convergente para [texx]x_0=7[/texx]

 Me dan como idea que aplique la regla de Fourier.
 No sé como resolverlo.

 Saludos y gracias.

¿Y que problema hay? ¿Conoces la regla de Fourier? Si no, puedes verla por ejemplo aquí (Teorema 4.2). Escogiendo [texx][a, b] = [4, 7]\textrm{ y }x_0 = 7[/texx] se verifican fácilmente todas las condiciones con lo dicho anteriormente.

Puedes ver como funciona con el applet de este mensaje: Método de Newton.

Saludos,

Y en qué resultados te basas para hacer el primer ejercicio, quiero decir, que teoría utilizas?. De todos modos gracias por la explicación. Voy a por el segundo ejercicio y te cuento.
 Saludos.
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« Respuesta #3 : 24/04/2017, 11:27:42 am »

Para el intervalo [texx][4,7][/texx] se verifica la regla de Fourier pues:
 [texx]f(4)\cdot{f(7)}<0[/texx]
 [texx]f'(x)\neq{0}  x\in{[4,7]}[/texx] pues es creciente estrictamente. (cómo lo pruebo?)
 [texx]f''(x)\neq{0} x\in{[4,7]}[/texx] pues es creciente estrictamente. (cómo lo pruebo?)
 Si partimos de [texx]x_0=7[/texx] se cumple que [texx]f(7)\cdot{f''(x)>0}[/texx] así pues el Método de Newton es Convergente.


 Otro apartado que me piden es el siguiente.
 determinar el número de iteraciones necesarias partiendo de [texx]x_0=7[/texx] obtener una aproximación de la solución con error de [texx]e=10^-11[/texx]
 La fórmula que me  dan es la siguiente sobre la estimación del error.
 [texx]|x_{k+1}-x_k|\leq{\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}|x_{k+1}-x_k|}[/texx] pero por más que intento no sé que es cada incógnita.
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« Respuesta #4 : 24/04/2017, 01:45:13 pm »


Y en qué resultados te basas para hacer el primer ejercicio, quiero decir, que teoría utilizas?. De todos modos gracias por la explicación. Voy a por el segundo ejercicio y te cuento.
 Saludos.

Creo que estaba todo ahí, pero como hay un par de errores de escritura y además lo escribí, como de costumbre ..., algo aprisa, vamos a repetirlo desde cero.

Tengo dudas en el siguiente problema
 Sea [texx]f(x)=e^x-5x^2-5[/texx]
 1. Ver que sólo tiene una raíz.

Las derivadas son :

[texx]f'(x)=e^x-10x\textrm{ y }f''(x)=e^x-10[/texx]

Se pide demostrar que hay una sola raíz en todo [texx]\mathbb{R}[/texx]. Vamos a ver que: i) es siempre continua y derivable; ii) tiene un solo máximo local; iii) que es negativa en el máximo y iv) que [texx] \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=-\infty,\;\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty[/texx]. En estas condiciones tiene que tener una raíz, por el Teorema de Bolzano, y es única al ser monótona en el intervalo en el que puede haber raíces.

i) Es continua y derivable infinitas veces en todo [texx]\mathbb{R}[/texx] por ser suma de una exponencial y un polinomio que lo son.


ii) Como es derivable en todo [texx]\mathbb{R}[/texx], los extremos los alcanza únicamente donde se anula la derivada:

[texx]f'(x)=e^x-10x = 0 \;\Rightarrow{}\;e^x=10x[/texx]

Como [texx]f'(0) = 1 > 0, f'(1) = e - 10 < 0, f'(3) = e^3 - 30 < 0\textrm{ y }f'(4) = e^4 - 40 > 0[/texx], sabemos que se hay un cero de la derivada, que es continua, en [texx](0, 1)\textrm{ y otro en }(3, 4)[/texx] en virtud del teorema de Bolzano. Hay que calcular que [texx]e^3 \approx{} 20\textrm{ y }e^4 \approx{55}[/texx]. Sean [texx]x = a\textrm{ y }x = b[/texx] esos valores en que se anula la derivada, [texx]0 < a < 1\textrm{ y }3 < b < 4[/texx].

Como [texx] \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f'(x)}=+\infty,\;\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f'(x)}=+\infty[/texx], tenemos que [texx]f'(x) >0\textrm{  en }(-\infty, a)\textrm{ y en }(b, +\infty),\textrm{ y }f'(x) < 0\textrm{ en }(a, b)[/texx]. Por tanto, sin necesidad de estudiar la derivada segunda, sabemos que hay un máximo relativo en [texx]x = a\textrm{ y un mínimo relativo en }x = b[/texx], y que no hay otros.


iii) [texx]x\in{}(0, 1) \;\Rightarrow{}\;1 < e^x < e \;\Rightarrow{}\;e^x - 5 < 0 \;\Rightarrow{}\;f(x) = e^x - 5x^2 - 5 < 0[/texx]


iv) Los límites de [texx]f(x)\textrm{ en  } \pm{\infty}[/texx] creo que no ofrecen dudas.

Saludos,
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« Respuesta #5 : 24/04/2017, 01:56:44 pm »

  Entendido, gracias por los aportes.
 Cómo hago la estimación del error?







 Otro apartado que me piden es el siguiente.
 determinar el número de iteraciones necesarias partiendo de [texx]x_0=7[/texx] obtener una aproximación de la solución con error de [texx]e=10^-11[/texx]
 La fórmula que me  dan es la siguiente sobre la estimación del error.
 [texx]|x_{k+1}-x_k|\leq{\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}|x_{k+1}-x_k|}[/texx] pero por más que intento no sé que es cada incógnita.
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« Respuesta #6 : 24/04/2017, 02:03:34 pm »

Para el intervalo [texx][4,7][/texx] se verifica la regla de Fourier pues:
 [texx]f(4)\cdot{f(7)}<0[/texx]
 [texx]f'(x)\neq{0}  x\in{[4,7]}[/texx] pues es creciente estrictamente. (cómo lo pruebo?)
  Ya vimos antes que la deriva es positiva en [texx](b, +\infty),\textrm{ para un cierto }b\in{}(3, 4)[/texx].

[texx]f''(x)\neq{0} x\in{[4,7]}[/texx] pues es creciente estrictamente. (cómo lo pruebo?)

[texx]f''(x) = e^x - 10[/texx]

Es [texx]f''[/texx] estrictamente creciente por serlo [texx]e^x\textrm{ y }e^4 \approx{}55[/texx].

Si partimos de [texx]x_0=7[/texx] se cumple que [texx]f(7)\cdot{f''(x)>0}[/texx] así pues el Método de Newton es Convergente.
Se cumplen todas las condiciones de la regla de Fourier, luego será convergente.


Otro apartado que me piden es el siguiente.
 determinar el número de iteraciones necesarias partiendo de [texx]x_0=7[/texx] obtener una aproximación de la solución con error de [texx]e=10^-11[/texx]
 La fórmula que me  dan es la siguiente sobre la estimación del error.
[texx]|x_{k+1}-x_k|\leq{\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}|x_{k+1}-x_k|}[/texx] pero por más que intento no sé que es cada incógnita.

Más bien debe ser:

[texx]|x_k-\alpha|\leq{\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}|x_{k}-x_{k-1}|^2}[/texx]

(Ver por ejemplo Método de Newton, Teorema 4.3)

Donde [texx]M_2[/texx] es el máximo de la derivad segunda y [texx]m_1[/texx] el mínimo de la derivada primera en el intervalo, pero eso debería figurar en tus apuntes en alguna parte. Inténtalo y comenta las dificultades que encuentres.

Saludos,

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« Respuesta #7 : 25/04/2017, 10:49:22 am »

Y no puedo elegir para la estimación del error el intervalo [texx][4,7][/texx]?
 Si es así, podría hallar el máximo y el mínimo de la segunda y primera derivada y me quedaría saber hasta cuántas iterracciones tengo que hacer para sustituir el [texx]x_k[/texx]. Pero cómo sé cuántas iteraciones tengo que hacer?
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« Respuesta #8 : 25/04/2017, 02:08:15 pm »

Y no puedo elegir para la estimación del error el intervalo [texx][4,7][/texx]?
 Si es así, podría hallar el máximo y el mínimo de la segunda y primera derivada y me quedaría saber hasta cuántas iterracciones tengo que hacer para sustituir el [texx]x_k[/texx]. Pero cómo sé cuántas iteraciones tengo que hacer?

Tenemos que en [texx][4, 7] M_2 = e^7 - 25 \approx 1072,\textrm{ por exceso, y }m_1 = e^4 - 40 \approx 14,\textrm{ por defecto, lo que nos da }\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}\approx 39[/texx], por exceso.

Empezando con [texx]x_0 = 7,\textrm{ tienes que }x_1 = 6.175...,\textrm{ de manera que }|x_1- x_0| < 0.825[/texx]

Por tanto,

[texx]E_1 \leq{} |x_1-\alpha|\leq{}39·0.825^2 \approx 32[/texx]

Acotación perfectamente inútil. Pero aún sin recalcular [texx]\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}[/texx], podemos volver a iterar y utilizar el nuevo intervalo:

[texx]x_2 \approx 5.495\;\;\Rightarrow{}\;\;E_2 \leq{} 39·0.68^2 \approx 18[/texx]

Igualmente insuficiente. Seguimos

[texx]x_3 \approx 5.031\;\;\Rightarrow{}\;\;E_3 \leq{} 39·0.464^2 \approx 8.4[/texx]

[texx]x_4 \approx 4.821\;\;\Rightarrow{}\;\;E_4 \leq{} 39·0.210^2 \approx 1.72[/texx]

[texx]x_5 \approx 4.783\;\;\Rightarrow{}\;\;E_5 \leq{} 39·0.038^2 \approx 0.056[/texx]

Esto ya es otra cosa, pues podemos asegurar que

[texx]E_6 \leq{}39 E_5^2[/texx]

[texx]E_7 \leq{}39 E_6^2 = (39 E_5^2)^2[/texx]

[texx]\ldots[/texx]

[texx]E_{5+k} \leq{} (39 E_5^2)^k[/texx]

Ahí arriba eliminé un igual que sobraba.

Y ahora ya se puede determinar, sin hacerlas, cuantas iteraciones más se necesitan en el peor de los casos para llegar a la precisión deseada. Si se actualizan [texx]M_2\textrm{ y }m_2[/texx] de cada vez, los resultados serán mejores, claro.

Saludos,


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« Respuesta #9 : 26/04/2017, 11:26:33 am »

[texx]E_{5+k} \leq{} = (39 E_5^2)^k
[/texx]
 Entonces ahí impongo que sea menor que [texx]10^{-11}[/texx]?? y cómo lo hago para resolverlo?
 Sustituyo el valor de [texx]E_5[/texx] e igualo no?
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« Respuesta #10 : 26/04/2017, 02:15:23 pm »

[texx]E_{5+k} \leq{} = (39 E_5^2)^k
[/texx]
 Entonces ahí impongo que sea menor que [texx]10^{-11}[/texx]?? y cómo lo hago para resolverlo?
 Sustituyo el valor de [texx]E_5[/texx] e igualo no?

En mi anterior mensaje, la última línea estaba mal,. Sustituyendo sucesivamente, queda

[texx]E_{5+k} \leq{} 39^{2^k-1} E_5^{2^k} = \displaystyle\frac{1}{39}\left(39\cdot{}E_5\right)^{2^k}[/texx]

Como [texx]39\cdot{}0.056 \approx{}2.184[/texx], necesitamos ir un poco más lejos para poder estimar el número de pasos necesario. Una vez que consigas que [texx]\displaystyle\frac{M_2}{2m_1}E_k < 10^{-1}[/texx], cada nueva iteración duplicará el número de cifras exactas. Es decir, que con tres iteraciones más estaríamos en un error del orden de [texx]10^{-8}\textrm{ y con 4 de }10^{-16}[/texx]. Debes calcular entonces [texx]E_6, E_7, \ldots[/texx] hasta que ese producto sea menor que 0.1, y ya sabes que con otros cuatro pasos adicionales sería más que suficiente.

Saludos,

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