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Autor Tema: Difeomorfismo 2  (Leído 50 veces)
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Julio_fmat
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« : 21/04/2017, 05:00:00 am »

Decida si las superficies [texx]S_1[/texx] y [texx]S_2[/texx] dadas por [texx]S_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: (x/a)^2+(y/b)^2+z^2=3\}[/texx] con [texx](a,b\ne 0, a,b\in \mathbb{R})[/texx] y [texx]S_2=S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}[/texx] son difeomorfas o no. Justifique.

Hola, la duda que tengo es, para empezar... ¿Cuál de los dos [texx]z^2[/texx] despejo? Claro, lo necesito para sacar [texx]f(x,y)=z.[/texx]
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el_manco
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« Respuesta #1 : 21/04/2017, 05:14:23 am »

Hola

Decida si las superficies [texx]S_1[/texx] y [texx]S_2[/texx] dadas por [texx]S_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: (x/a)^2+(y/b)^2+z^2=3\}[/texx] con [texx](a,b\ne 0, a,b\in \mathbb{R})[/texx] y [texx]S_2=S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2=1\}[/texx] son difeomorfas o no. Justifique.

Hola, la duda que tengo es, para empezar... ¿Cuál de los dos [texx]z^2[/texx] despejo? Claro, lo necesito para sacar [texx]f(x,y)=z.[/texx]

No tienes que despejar nada. La primera superficie es un elipsoide centrado en el origen. Puedes escribirlo así:

[texx]\left(\dfrac{x}{\sqrt{3}a}\right)^2+\left(\dfrac{y}{\sqrt{3}b}\right)^2+\left(\dfrac{z}{\sqrt{3}}\right)^2=1[/texx]

La segunda la esfera unidad.

Son claramente difeomorfas; podemos transformar la esfera deformándola adecuadamente. Teniendo en cuenta que los radios principales del elipsoide son [texx]\sqrt{3}a,\sqrt{3}b[/texx] y [texx]\sqrt{3}[/texx], puedes definir:

[texx]f:S_2\longrightarrow{}S_1,\quad f(x,y,z)=(a\sqrt{3}x,b\sqrt{3}y,\sqrt{3}z)[/texx]

y ver que es un difeomorfismo. Su inversa es:

[texx]f^{-1}:S_1\longrightarrow{}S_2,\quad f(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{a\sqrt{3}},\dfrac{y}{b\sqrt{3}},\dfrac{z}{\sqrt{3}}\right)[/texx]

Saludos.
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