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Autor Tema: Plano Tangente  (Leído 59 veces)
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Julio_fmat
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« : 21/04/2017, 04:23:49 am »

Sea [texx]S=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2-z^2=1\}[/texx]. Determine los planos tangentes [texx]T_p S[/texx] en los puntos de la forma [texx]p=(x,y,0)[/texx] y muestra que son todos paralelos al eje [texx]Z.[/texx]

Hola, hay un resultado en mi cuaderno que pienso que sirve. Dice, el plano tangente en el punto [texx]p[/texx] se puede calcular como [texx]T_p S=\{\nabla f(p)\}^{\perp}[/texx]. Por otro lado, yo se de Análisis en Varias Variables que podíamos calcular dicho plano como [texx]\nabla f(P)\cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0.[/texx] Aunque claro, mi Profesor busca que lo resuelva como por lo primero...
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« Respuesta #1 : 21/04/2017, 04:35:04 am »

¿Pero no es exactamente lo mismo? ¿Que se supone que es [texx]T_p S=\{\nabla f(p)\}^{\perp}[/texx]?

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por mucho menos ...
Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 21/04/2017, 04:51:36 am »

¿Pero no es exactamente lo mismo? ¿Que se supone que es [texx]T_p S=\{\nabla f(p)\}^{\perp}[/texx]?

Saludos,

Hola, gracias por responder. Pero te refieres al complemento ortogonal?

Es que me resulta confuso... Sea [texx]f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-1[/texx], se tiene que:

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x[/texx]

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2y[/texx]

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-2z[/texx]

Entonces, si reemplazamos en la segunda forma nos queda...

[texx](2x,2y,-2z)\cdot (0,0,z)=0\implies -2z^2=0\implies z=0.[/texx]

Así, todos los planos tangentes de la forma [texx]T_p S: z=0[/texx] son paralelos al eje [texx]Z[/texx]. ¿Correcto?
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« Respuesta #3 : 21/04/2017, 04:58:25 am »

¿Pero no es exactamente lo mismo? ¿Que se supone que es [texx]T_p S=\{\nabla f(p)\}^{\perp}[/texx]?

Saludos,

Hola, gracias por responder. Pero te refieres al complemento ortogonal?

Es que me resulta confuso... Sea [texx]f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2-1[/texx], se tiene que:

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x[/texx]

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2y[/texx]

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-2z[/texx]

Entonces, si reemplazamos en la segunda forma nos queda...

[texx](2x,2y,-2z)\cdot (0,0,z)=0\implies -2z^2=0\implies z=0.[/texx]

Así, todos los planos tangentes de la forma [texx]T_p S: z=0[/texx] son paralelos al eje [texx]Z[/texx]. ¿Correcto?

No, te queda

[texx](2x_0, 2y_0, 0)·(x - x_0, y - y_0, z - 0) = 0 \Rightarrow{}2x_0(x-x_0) + 2y_0(y - y_0) = 0[/texx]

[texx]x_0x + y_0y - (x_0^2 + y_0^2) = 0[/texx]

que es la ecuación de un plano que pasa por [texx](x_0, y_0, 0)\textrm{ y es paralelo al eje }Oz[/texx].

Saludos,
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