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Autor Tema: Espacio proyectivo es una variedad topológica. (Dudas)  (Leído 30 veces)
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Luxeet
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« : 21/04/2017, 03:41:12 am »

Se ha definido el espacio proyectivo como:
[texx]\mathbb{RP}^n=\dfrac{ {\mathbb{R}^{n+1}}-\left\{0\right\}}{\sim}=  \left\lbrace \left[x\right]  / x \in  \mathbb{R}^{n+1} \right\rbrace[/texx]

[texx]\cdot{}[/texx] Para cualquier [texx]x \in \mathbb{R}^{n+1}[/texx], [texx]\left[x\right] [/texx] denota la clase de equivalencia de "[texx]x[/texx]'' en [texx]\mathbb{RP}^n[/texx]

[texx]\cdot{}[/texx] La relación de equivalencia "[texx]\sim[/texx]'' está definida como: [texx]u \sim v \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R}-\left\{0\right\} \ \ / \ \  u=\lambda v \ , \ \ \forall u, v \in \mathbb{R}-\left\{0\right\}[/texx]

[texx]\cdot{}[/texx] Quiero probar primero que [texx]\mathbb{RP}^n[/texx] sea Segundo numerable, Hausdorrf y localmente euclidiano

Para esto quiero entender bien los siguientes lemas:

Lema 1.- Una relación de equivalencia [texx]\sim[/texx] sobre [texx]X[/texx] es abierta si y sólo si [texx]\pi[/texx] es un mapeo abierto.

Cuando [texx]\sim[/texx] es abierto y [texx]X[/texx] tiene una base numerable de conjuntos abiertos, entonces [texx]X/ \sim[/texx] tiene una base numerable también

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Demostración.-

Sea [texx]A[/texx] subconjunto abierto cualquiera de [texx]X[/texx].

Como [texx]\left[A\right]=\pi^{-1}(\pi(A))[/texx] (No entiendo por qué está igualdad dada en el libro, escaneado adjunto, entiendo que [texx]\pi^{-1}(\pi(A))=\left\{{x \in X \ / \ \pi(x) \in A}\right\}[/texx] ....(1) )

Luego por la definición de la topología cociente sobre [texx]X/ \sim[/texx] notamos que si [texx]\pi[/texx] es abierta entonces [texx]\left[A\right][/texx] es abierto  y recíprocamente si [texx]\left[A\right][/texx] es abierto implica que [texx]\pi(A)[/texx] es abierta.

Ahora supongamos que [texx]\sim[/texx] es abierta y que [texx]X[/texx] tiene una base contable  [texx]\left\{{U_i}\right\}[/texx] de conjuntos abiertos. Si [texx]W[/texx] es un subconjunto abierto de [texx]X/ \sim[/texx], entonces [texx]\pi^{-1}(W)=\cup_{j \in J}{U_j}[/texx] para alguna subfamilia de [texx]\left\{{U_i}\right\}[/texx] y [texx]W=\pi(\pi^{-1}(W))=\cup_{j \in J}{\pi(U_j)}[/texx].

Por lo tanto se sigue que [texx]\left\{{\pi(U_j)}\right\}[/texx] es una base de conjuntos abiertos para [texx]X/ \sim[/texx].



Lema 2.- Sea [texx]\sim[/texx] una relación de equivalencia abierta sobre un espacio topológico [texx]X[/texx]

[texx]R= \left\lbrace (x,y) \ / \ x \sim y \right\rbrace[/texx] es un subconjunto cerrado del espacio [texx]X\times X[/texx] [texx]\Longleftrightarrow[/texx] El espacio cociente [texx]X/ \sim[/texx] es Hausdorff

No quisiera alargar más el post, de momento la dudas que tengo son en el item 1  y en la demostración del lema 2: Según el texto, para probar que [texx]R [/texx] sea cerrado me parece que toma un elemento cualquiera [texx](x,y)[/texx] de [texx]R[/texx] tal que [texx]x \nsim y[/texx] y luego llega a una contradicción. ¿Aquí para probar que [texx]R[/texx] sea cerrado  todo elemento [texx](x,y)[/texx] de [texx]R[/texx] debe cumplir que [texx]x \sim y[/texx] y con eso [texx]R[/texx] es cerrado?

Gracias por la ayuda que me puedan brindar  :BangHead:

Saludos.

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« Respuesta #1 : 21/04/2017, 06:03:15 am »

Hola

Como [texx]\left[A\right]=\pi^{-1}(\pi(A))[/texx] (No entiendo por qué está igualdad dada en el libro, escaneado adjunto, entiendo que [texx]\pi^{-1}(\pi(A))=\left\{{x \in X \ / \ \pi(x) \in \color{red}A\color{black}}\right\}[/texx] ....(1) )

Ojo. Es:

[texx]\pi^{-1}(\pi(A))=\left\{{x \in X \ / \ \pi(x) \in \color{red}\pi(A)\color{black}}\right\}[/texx]

Ahora:

[texx]\pi(x)\in \pi(A)[/texx] significa que [texx][x ]=[a ][/texx] para algún [texx]a\in A[/texx], es decir, que [texx]x\in [a ][/texx] para algún [texx]a\in A.[/texx]

Pero [texx][A ][/texx] es por definición el conjunto de todos los elementos [texx]x\in X[/texx] que están el la clase de algún elemento [texx]a\in A[/texx], es decir:

[texx][A ]=\displaystyle\bigcup_{a\in A}[a ][/texx]

De ahí la igualdad.

Cita
No quisiera alargar más el post, de momento la dudas que tengo son en el item 1  y en la demostración del lema 2: Según el texto, para probar que [texx]R [/texx] sea cerrado me parece que toma un elemento cualquiera [texx](x,y)[/texx] de [texx]R[/texx] tal que [texx]x \nsim y[/texx] y luego llega a una contradicción. ¿Aquí para probar que [texx]R[/texx] sea cerrado  todo elemento [texx](x,y)[/texx] de [texx]R[/texx] debe cumplir que [texx]x \sim y[/texx] y con eso [texx]R[/texx] es cerrado?

No. Para probar que [texx]R[/texx] es cerrado, demuestra que su complementario es abierto.

Para ello toma un elemento [texx](x,y)[/texx] en el complementario de [texx]R[/texx], es decir, tal que [texx]x\not\sim y[/texx] y va a intentar encontrar un abierto que lo contenga y que siga dentro del complementario a [texx]R[/texx]. Usando la hipótesis de Hausdorff tiene abiertos [texx]U,V[/texx] que separan [texx]\pi(x)[/texx] e [texx]\pi(y)[/texx]. Entonces comprueba que el abierto [texx]\pi^{-1}(U)\times \pi^{-1}(V)[/texx] contiene a [texx](x,y)[/texx] y no corta a [texx]R[/texx] (en esta última comprobación donde razona por reducción al absurdo).

Saludos.
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