Foros de matemática
11/12/2017, 06:28:06 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Puedes practicar LATEX con el cómodo editor de Latex online
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Diferenciales  (Leído 242 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Julio_fmat
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.618



Ver Perfil WWW
« : 21/04/2017, 03:06:53 am »

Sean [texx]S_1,S_2[/texx] dos superficies regulares y sea [texx]f: S_1\to S_2[/texx] una aplicación suave. Verifique que la definición de [texx]df(p): T_p S_1\to T_p S_2[/texx] es de verdad una generalización de la noción de diferencial usual tomando [texx]S_1=S_2=\mathbb{R}^2[/texx] y muestra que [texx]df=Df[/texx], donde [texx]Df[/texx] es la matriz de derivadas y [texx]Df(X)=Df\cdot X[/texx] para un vector [texx]X\in \mathbb{R}^2.[/texx]

Bueno, de lo que se, se tiene que...

[texx]df(p)(x)=\dfrac{d}{dt}(f(c(t))\in T_{f(p)}S_2[/texx]
En línea

"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.578


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 21/04/2017, 04:58:47 am »

Hola

Sean [texx]S_1,S_2[/texx] dos superficies regulares y sea [texx]f: S_1\to S_2[/texx] una aplicación suave. Verifique que la definición de [texx]df(p): T_p S_1\to T_p S_2[/texx] es de verdad una generalización de la noción de diferencial usual tomando [texx]S_1=S_2=\mathbb{R}^2[/texx] y muestra que [texx]df=Df[/texx], donde [texx]Df[/texx] es la matriz de derivadas y [texx]Df(X)=Df\cdot X[/texx] para un vector [texx]X\in \mathbb{R}^2.[/texx]

Bueno, de lo que se, se tiene que...

[texx]df(p)(x)=\dfrac{d}{dt}(f(c(t))\in T_{f(p)}S_2[/texx]

Una vez más Julio tienes que decirnos con precisión que definición de espacio tangente y de aplicación diferencial entre superficies regulares manejas.

En lo que escribes al final no se sabe quien es [texx]c(t)[/texx]; uno intuye que es una curva con vector tangente [texx]X[/texx], pero eso me hace dudar sobre el concepto de tangente que estás manejando (clases de equivalencia de curvas diferenciables sobre la superficie por el punto ó subespacio vectorial de [texx]\mathbb{R}^3 [/texx] ortogonal al gradiente de la ecuación local de la superficie inmersa en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] ó alguna otra posibilidad).

Saludos.
En línea
Julio_fmat
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Chile Chile

Mensajes: 1.618



Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 21/04/2017, 05:18:03 am »

Hola

Sean [texx]S_1,S_2[/texx] dos superficies regulares y sea [texx]f: S_1\to S_2[/texx] una aplicación suave. Verifique que la definición de [texx]df(p): T_p S_1\to T_p S_2[/texx] es de verdad una generalización de la noción de diferencial usual tomando [texx]S_1=S_2=\mathbb{R}^2[/texx] y muestra que [texx]df=Df[/texx], donde [texx]Df[/texx] es la matriz de derivadas y [texx]Df(X)=Df\cdot X[/texx] para un vector [texx]X\in \mathbb{R}^2.[/texx]

Bueno, de lo que se, se tiene que...

[texx]df(p)(x)=\dfrac{d}{dt}(f(c(t))\in T_{f(p)}S_2[/texx]

Una vez más Julio tienes que decirnos con precisión que definición de espacio tangente y de aplicación diferencial entre superficies regulares manejas.

En lo que escribes al final no se sabe quien es [texx]c(t)[/texx]; uno intuye que es una curva con vector tangente [texx]X[/texx], pero eso me hace dudar sobre el concepto de tangente que estás manejando (clases de equivalencia de curvas diferenciables sobre la superficie por el punto ó subespacio vectorial de [texx]\mathbb{R}^3 [/texx] ortogonal al gradiente de la ecuación local de la superficie inmersa en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] ó alguna otra posibilidad).

Saludos.

Muchas Gracias el_manco.

Sí, la verdad es que estos conceptos son nuevos para mi. Bueno, si me doy a entender tenemos que:

Sea [texx]S[/texx] una superficie y [texx]p\in S.[/texx] Se define el plano tangente [texx]T_p S[/texx] en el punto [texx]p[/texx] como el conjunto

[texx]T_p S=\{c'(0)|\, c:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S\, \text{una curva parametrizada y}\, c(0)=p\}=DF(\mathbb{R}^2).[/texx]

La aplicación diferencial [texx]Df: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^{k}[/texx] es la usual. O sea,

[texx]Df=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \ldots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_k} \\
\vdots&&&\vdots \\
\dfrac{\partial f_k}{\partial x_1} &\ldots & \dfrac{\partial f_k}{\partial x_n}
\end{bmatrix}[/texx]

PD.: Mi libro guía es el Do Carmo. Differential Geometry.
En línea

"Haz de las Matemáticas tu pasión".
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 40.578


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 21/04/2017, 06:41:53 am »

Hola

 Bien. En ese caso desde el punto de vista de las superficies regulares, dar un vector tangente en [texx]T_p\mathbb{R}^2[/texx] en un punto [texx]p=(x_0,y_0)[/texx] equivale a dar una curva diferenciable:

[texx]c:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow{}\mathbb{R}^2,\quad c(0)=p[/texx]

que está representando el vector [texx]x=c'(0).[/texx]

 Por definición de aplicación diferencial para superficies regulares [texx]df(x)[/texx] equivale a la curva [texx]f\circ c[/texx]. El vector tangente que representa es:

[texx](f\circ c)'(0)[/texx]

Aplicando la regla de la cadena para diferenciación de funciones en [texx]\mathbb{R}^n[/texx] queda:

[texx](f\circ c)'(0)=Df(c(0))\cdot c'(0)[/texx]

y probamos lo que queríamos.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!