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Autor Tema: Transformación de integral mediante cambio de variable  (Leído 333 veces)
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RhoAdonis
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« : 20/04/2017, 11:58:55 pm »

Agradecería que alguien pudiera ayudarme con una explicación para éste ejercicio, está extraído del Apóstol, VII. Y no entiendo exactamente la idea, gracias.

20. Establecer la igualdad que se propone mediante un conveniente cambio de variable.

[texx]\int\int_S f(x+y)\, dxdy[/texx]=[texx]\int_{-1}^{1} f(u)\, du[/texx] donde [texx]S=\{(x,y): |x| + |y|\leq 1\}[/texx] es decir un rombo unitario.
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« Respuesta #1 : 21/04/2017, 01:01:32 am »

Hola RhoAdonis, bienvenido al foro.

¡Con esta respuesta no se llega a la solución buscada! Por eso la dejo en spoiler.

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« Respuesta #2 : 21/04/2017, 01:17:27 am »

Te agradezco que tomaras el tiempo para ayudarme.
Si, tenía en mente el cambio de variable, mi única duda es en qué momento se transforma de una tridimensional a una bidimensional, porque se supone que como la primera función no es constante, genera un volumen, la segunda debe generar un área a lo más, entonces, siento que el proceso que me das es como para expresar la doble integral en otras dobles integrales definiendo sus límites, pero te agradecería si me dieras esa idea que no me parece muy intuitiva, de cómo una doble se transforma en una bidimensional, aunque sea sin números, la pura idea creo que me dará los suficientes recursos.
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« Respuesta #3 : 21/04/2017, 01:55:02 am »

Tienes razón, con esa respuesta nos pisamos la cola (eso me pasó por no hacer la cuentas hasta el final) porque quedan dos variables:

    [texx]\displaystyle\int_S f(x,y)dxdy=\int_{\textrm{constante}}^\textrm{constante}\int_{h_1(u)}^{h_2(u)}\textrm{ (algo funcion solo de v) }dvdu[/texx]

(...)
pero te agradecería si me dieras esa idea que no me parece muy intuitiva, de cómo una doble se transforma en una bidimensional, aunque sea sin números, la pura idea creo que me dará los suficientes recursos.

Mirando la expresión que acabo de escribir si los límites de integración en la integral de la deracha fueran constantes (por ejemplo, si estamos sobre un rectángulo) como la función sólo depende de de una de las dos nuevas variables entonces sería constante con respecto de la otra variable y podríamos calcular una de las integrales.

Y de hecho, ahora que vuelvo a mirar el problema es mucho más natural llevar el rombo al cuadrado unitario.

Si haces el dibujo verás que el rombo está limitado por las cuatro rectas

    [texx]\left\{\begin{array}{c}x-y=-1\\ x+y=1\\ x-y=1\\ x+y=-1\end{array}\right.[/texx]

lo que sugiere definir las variables

    [texx]\left\{\begin{array}{c}u=x-y\\ v=x+y\end{array}\right.[/texx]

y del dibujo es claro que [texx]-1\leq u,v\leq 1[/texx]. Con esto

    [texx]\displaystyle\int_S f(x+y)dxdy=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\int_{-1}^1f(v)dudv=\int_{-1}^1f(u)du[/texx]

donde el primer [texx]1/2[/texx] es el jacobiano de la transformación,
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« Respuesta #4 : 21/04/2017, 02:06:14 am »

Tienes razón, con esa respuesta nos pisamos la cola (eso me pasó por no hacer la cuentas hasta el final) porque quedan dos variables:

    [texx]\displaystyle\int_S f(x,y)dxdy=\int_{\textrm{constante}}^\textrm{constante}\int_{h_1(u)}^{h_2(u)}\textrm{ (algo funcion solo de v) }dvdu[/texx]

(...)
pero te agradecería si me dieras esa idea que no me parece muy intuitiva, de cómo una doble se transforma en una bidimensional, aunque sea sin números, la pura idea creo que me dará los suficientes recursos.

Mirando la expresión que acabo de escribir si los límites de integración en la integral de la deracha fueran constantes (por ejemplo, si estamos sobre un rectángulo) como la función sólo depende de de una de las dos nuevas variables entonces sería constante con respecto de la otra variable y podríamos calcular una de las integrales.

Y de hecho, ahora que vuelvo a mirar el problema es mucho más natural llevar el rombo al cuadrado unitario.

Si haces el dibujo verás que el rombo está limitado por las cuatro rectas

    [texx]\left\{\begin{array}{c}x-y=-1\\ x+y=1\\ x-y=1\\ x+y=-1\end{array}\right.[/texx]

lo que sugiere definir las variables

    [texx]\left\{\begin{array}{c}u=x-y\\ v=x+y\end{array}\right.[/texx]

y del dibujo es claro que [texx]-1\leq u,v\leq 1[/texx]. Con esto

    [texx]\displaystyle\int_S f(x+y)dxdy=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\int_{-1}^1f(v)dudv=\int_{-1}^1f(u)du[/texx]

donde el primer [texx]1/2[/texx] es el jacobiano de la transformación,

Excelente, de hecho dándole tratamiento al problema, noté ese detalle haciendo analogía con lo que sucede transformando a coordenadas cilíndricas donde muchas veces la variable theta no aparece en la integral y pueden colocarse naturalmente los/el valor de los límites como una constante y trabajar con una menor.
Realmente te lo agradezco, fuiste de gran ayuda!
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