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Autor Tema: Base para una topología inicial.  (Leído 373 veces)
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AlanC
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« : 20/04/2017, 05:24:45 pm »

Buen día. Agradecería que me ayudaran con la solución del siguiente problema.

Considere las aplicaciones

 [texx]f_1:\mathbb{R}^2-\left\{{(0,0)}\right\}\longrightarrow{(\mathbb{R},\tau_{usual})} [/texx]
               [texx] (x,y)\longrightarrow{f_1(x,y)=x^2+y^2}[/texx]

 [texx]f_2:\mathbb{R}^2-\left\{{(0,0)}\right\}\longrightarrow{(S',\tau_{cofinita})} [/texx]
               [texx] (x,y)\longrightarrow{f_2(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)}[/texx]

* Describa una base para la Topología inicial asociada a [texx]\left\{{f_1,f_2}\right\}[/texx] y compararla con la topología usual de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]

* Hallar la adherencia, interior y frontera de los conjuntos

                      [texx]A=\left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|+|y|\leq 1}\right\}\cup{\left\{{(x,0)\in\mathbb{R}^2:x\in\mathbb{R}}\right\}}[/texx]
                      [texx]B=\left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=2}\right\}[/texx]

Nota: [texx]S'[/texx] es el circulo de radio 1

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 21/04/2017, 05:48:23 am »

Hola

 Bienvenido al foro.


Considere las aplicaciones

 [texx]f_1:\mathbb{R}^2-\left\{{(0,0)}\right\}\longrightarrow{} [/texx]
               [texx] (x,y)\longrightarrow{f_1(x,y)=x^2+y^2}[/texx]

 [texx]f_2:\mathbb{R}^2-\left\{{(0,0)}\right\}\longrightarrow{(S',\tau_{cofinita})} [/texx]
               [texx] (x,y)\longrightarrow{f_2(x,y)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)}[/texx]

* Describa una base para la Topología inicial asociada a [texx]\left\{{f_1,f_2}\right\}[/texx] y compararla con la topología usual de [texx]\mathbb{R}^2[/texx]

La topología inicial es la menor topología de [texx]\mathbb{R}^2-\left\{{(0,0)}\right\}[/texx] que hace continuas las dos aplicaciones dadas.

Si tenemos bases [texx]B_1[/texx] y [texx]B_2[/texx] respectivamente de [texx](\mathbb{R},\tau_{usual})[/texx] y [texx](S',\tau_{cofinita})[/texx] una base de la topología inicial es:

[texx]B=\{f_1^{-1}(U_1)\cap f_2^{-1}(U_2)|U_1\in B_1,\quad U_2\in B_2\}[/texx]

Como base [texx]B_1[/texx] podemos tomar los intervalos abiertos de [texx]\mathbb{R}[/texx]. En particular como la imagen de [texx]f_1[/texx] sólo toma valores positivos podemos centrarnos en intervalos abiertos positivos.

Como base [texx]B_2[/texx] los complementarios de subconjuntos finitos de la circunferencia.

Dado [texx](a,b)\in \mathbb{R}^+[/texx] se tiene que:

[texx]f_1^{-1}(a,b)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}|a<x^2+y^2<b\}[/texx] (una corona circular).

Dado [texx]U_2=S'-\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)\}[/texx]

[texx]f_2^{-1}(U_2)=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2-\{(0,0)\}|(x,y)\textsf{ no paralelo a }(x_i,y_i),\,\forall i\}[/texx]

Por tanto la intersección [texx]f_1^{-1}(U_1)\cap f_2^{-1}(U_2)[/texx] corresponde a coronas circulares abiertas a las que quitamos algunos diámetros algunas semirrectas que salen del origen.[/color]



Por otra parte dado que las aplicaciones son continuas con la topología usual, y la topología inicial es la más pequeña que las hace continuas, la usual es más fina que la inicial.

Cita
* Hallar la adherencia, interior y frontera de los conjuntos

                      [texx]A=\left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|+|y|\leq 1}\right\}\cup{\left\{{(x,0)\in\mathbb{R}^2:x\in\mathbb{R}}\right\}}[/texx]
                      [texx]B=\left\{{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y=2}\right\}[/texx]

¿Te refieres con la topología usual o con la inicial dada antes?. En el segundo caso no deberían de ser subconjuntos de [texx]\mathbb{R^2}[/texx] sino de [texx]\mathbb{R^2}-\{(0,0)\}[/texx].

Saludos.

CORREGIDO

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« Respuesta #2 : 21/04/2017, 11:18:59 am »

Buen día, me refiero a encontrar la adherencia, el interior y la frontera con la topología inicial. Gracias por tu colaboración.

Por cierto a que te refieres con [texx](x,y)[/texx] no paralelo a [texx](x_i,y_i)[/texx]

Saludos desde Colombia.
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« Respuesta #3 : 21/04/2017, 12:37:40 pm »

Hola

Buen día, me refiero a encontrar la adherencia, el interior y la frontera con la topología inicial. Gracias por tu colaboración.

Pues con la descripción de los abiertos básicos de esa topología que te he indicado intenta hacerlo tu. Recuerda que tienes que eliminar el [texx]\{(0,0)\}[/texx]. Por ejemplo para el conjunto [texx]A[/texx]:

- Dibújalo. Se trata de un rombo de diagonales sobre los ejes unión el eje [texx]OX[/texx].
- Comprueba que su interior es un círculo abierto inscrito en el rombo.
- Comprueba que su adherencia es el círculo cerrado circusncrito al rombo unión el eje.
- La frontera es la diferencia de ambas.

Cita
Por cierto a que te refieres con [texx](x,y)[/texx] no paralelo a [texx](x_i,y_i)[/texx]

Me refiero a que ambos puntos no estén sobre la misma semirrecta que sale desde el origen.

Ten en cuenta que la aplicación [texx]f_2[/texx] lleva un punto del plano sobre el punto de la circunferencia unidad que está en la semirrecta que lo une con el origen.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 23/04/2017, 05:24:35 pm »

Buen día, lo que pasa es que la adherencia del conjunto A me da todo [texx]\mathbb{R}^2 [/texx] puesto que cualquier abierto de la topología inicial que corresponden a coronas circulares abiertas centradas en el origen corta al eje x y por lo tanto corta a A. El razonamiento es valido?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #5 : 24/04/2017, 05:38:13 am »

Hola

Buen día, lo que pasa es que la adherencia del conjunto A me da todo [texx]\mathbb{R}^2 [/texx] puesto que cualquier abierto de la topología inicial que corresponden a coronas circulares abiertas centradas en el origen corta al eje x y por lo tanto corta a A. El razonamiento es valido?

No. Relee mis hilos anteriores. Los abiertos de la topología inicial son coronas circulares abiertas a las que podemos quitar un número finito de semirectas que salen desde el origen.

Por tanto una corona circular abierta sin el eje [texx]X[/texx] es un abierto de la topología inicial.

Saludos.
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AlanC
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« Respuesta #6 : 24/04/2017, 11:34:00 am »

Muchas gracias. Ahora si ya.
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