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Autor Tema: matriz invertible multiplicada por escalar da otra matriz invertible  (Leído 368 veces)
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follonic
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« : 20/04/2017, 03:46:16 pm »

Demostrar que una matriz invertible multiplicada por un escalar  [texx]c\neq{0}[/texx] da otra matriz invertible. O sea,

[texx]cA=B[/texx] siendo [texx]B[/texx] otra matriz invertible

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mathtruco
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« Respuesta #1 : 20/04/2017, 03:51:38 pm »

Hola follonic. Como la inversa de una matriz de existir es única, basta probar que para [texx]B=cA[/texx], [texx]B^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}[/texx], es decir, basta que compruebes que [texx]BB^{-1}=I[/texx].
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« Respuesta #2 : 20/04/2017, 05:15:39 pm »

Vale, pero ¿no estás presuponiendo que [texx]B[/texx] es invertible?

¿Y si se dice que, siendo [texx]A[/texx] invertible, la matriz [texx]B[/texx] resultante de [texx](cA)[/texx] también ha de serlo porque es una matriz equivalente, dado que multiplicar la matriz [texx]A[/texx] por un escalar es, en definitiva, una transformación lineal de filas y columnas de dicha matriz [texx]A[/texx] ? (no estoy seguro de no estar diciendo un disparate)
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« Respuesta #3 : 20/04/2017, 05:37:03 pm »

Hola

Multiplica la ecuación original por la derecha por la inversa de A.

[texx]c(A\cdot A^{-1})={\bf cI}=B\cdot A^{-1}[/texx]

Entonces si multiplicamos B por la inversa de A obtenemos obtenemos una matriz diagonal cuyos elementos son todos iguales a c. Podemos multiplicar esta matriz resultante por 1/c y nos dará la matriz identidad y entonces obtenemos los resultados dados por mathtruco

Hola follonic. Como la inversa de una matriz de existir es única, basta probar que para [texx]B=cA[/texx], [texx]\bf \color{blue} B^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}[/texx], es decir, basta que compruebes que [texx]BB^{-1}=I[/texx].

Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
mathtruco
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« Respuesta #4 : 20/04/2017, 09:11:31 pm »

Creo haber visto otra pregunta, donde se pedía probar que [texx]\frac{1}{c}A^{-1}[/texx] era la inversa de [texx]cA[/texx] sabiendo que [texx]A[/texx] era una matriz invertible. ¿Hubo una edición posterior al envío del mensaje o me equivoco?

Es por eso que respondí lo que respondí, aunque la respuesta sirve para ambas versiones de la pregunta.

Vamos a la pregunta del primer mensaje en su versión actual:

Demostrar que una matriz invertible multiplicada por un escalar  [texx]c\neq{0}[/texx] da otra matriz invertible. O sea,

[texx]cA=B[/texx] siendo [texx]B[/texx] otra matriz invertible

Yo estoy candidateando como inversa de [texx]B=cA[/texx] a la matriz [texx]\frac{1}{c}A^{-1}[/texx].

Vale, pero ¿no estás presuponiendo que [texx]B[/texx] es invertible?

Muy interesante tu observación. Normalmente no se puede partir una demostración presuponiendo que exista cierto elemento, siempre hay que tener cuidado con que todos los elementos que consideramos efectivamente existen.

Pero en este caso, se dice que una matriz [texx]B[/texx] cualquiera es invertible cuando existe otra matriz [texx]\bar{B}[/texx], tal que [texx]B\bar{B}=\bar{B}B=I[/texx]. Si [texx]\bar{B}[/texx] existe entonces se denota por [texx]B^{-1}:=\bar{B}[/texx].

Con esto claro, dada la matriz [texx]cA[/texx], como [texx](cA)\left(\frac{1}{c}A^{-1}\right)=c\frac{1}{c}AA^{-1}=I[/texx], tenemos que [texx]\left(\frac{1}{c}A^{-1}\right)[/texx] es la inversa de [texx]cA[/texx], lo cual denotamos (sólo es notación):

    [texx](cA)^{-1}=\left(\frac{1}{c}A^{-1}\right)[/texx].

¿Y si se dice que, siendo [texx]A[/texx] invertible, la matriz [texx]B[/texx] resultante de [texx](cA)[/texx] también ha de serlo porque es una matriz equivalente, dado que multiplicar la matriz [texx]A[/texx] por un escalar es, en definitiva, una transformación lineal de filas y columnas de dicha matriz [texx]A[/texx] ? (no estoy seguro de no estar diciendo un disparate)

Como expliqué, podemos afirmar tranquilamente que [texx]cA[/texx] es invertible ya que acabamos de hallar su inversa.

Pero si quedemos determinar si  [texx]cA[/texx]  es invertible evitando hallar su inversa, tu argumento es correcto. Yo preferiría usar el argumento "una matriz es invertible si y sólo si su determinante es no nulo". Con eso:

    [texx]det(cA)=c^n\det(A)\neq 0[/texx]  pues [texx]c\neq 0[/texx] y [texx]det(A)\neq 0[/texx]

por tant [texx]cA[/texx] es invertible.
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follonic
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« Respuesta #5 : 21/04/2017, 01:49:15 pm »

Ahora sí lo he cogido. Gracias
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