funcion estrictamente positiva

[adhemir]

Hola alguna sugerencia para el ejercicio, gracias .


Determine el valor de [texx]k[/texx] para que la funcion [texx]F(x)=x+(3k+2)x-(2k+3)[/texx] sea estrictamente
positiva .

[mathtruco]

Hola adhemir. Suponiendo que hay una errata, y la ecuación debía ser [texx]F(x)=x^{\color{red}2}+(3k+2)x-(2k+3)[/texx], basta que no tenga raíces reales (esto es: no corte al eje [texx]X[/texx]).

Si la ecuación era efectivamente lineal, debe ser una recta horizontal que no esté sobre las abcisas.

[adhemir]

Hola es lineal entonces

Si [texx]x=0[/texx] tenemos [texx]y=F(0)=-(2k+3)[/texx] pregunta cual seria el valor de k que hace a esa funcion positiva estrictamente???
pienso deve ser valores [texx]k>-3/2[/texx] .

[mathtruco]

Analicemos un caso más general: [texx]L(x)=\alpha x+\beta[/texx].

Explicación gráfica:
Seguro estamos claros que es la ecuación de una recta, así que si no es horizontal sí o sí cortará al eje [texx]X[/texx] en un punto, y a la derecha de este punto [texx]L(x)[/texx] será positiva (o negativa) y a la izquierda será negativa (o positiva).

Explicación analítica (tediosa e innecesaria si te convence la anterior):
Si [texx]\boxed{\alpha>0}[/texx], entonces [texx]\alpha x+\beta=0\Rightarrow x=\frac{-\beta}{\alpha}[/texx]  (en ese punto la recta [texx]L[/texx] se intersecta con el eje [texx]X[/texx]). Entonces

- para [texx]x>\frac{-\beta}{\alpha}[/texx], [texx]L(x)=\alpha x+\beta>0[/texx] (¿obvio? es llegar y reemplazar)
- y si [texx]x<\frac{-\beta}{\alpha}[/texx], [texx]L(x)=\alpha x+\beta<0[/texx] (también es llegar y reemplazar)

Algo análogo pasa cuando [texx]\boxed{\alpha<0}[/texx].

En resumen, si [texx]\alpha\neq 0[/texx] la recta intersectará al eje X.
Luego, para que [texx]L(x)=\alpha x+\beta[/texx] sea estrictamente positiva, debe cumplirse al menos que [texx]\alpha=0[/texx], es decir, debe ser paralela al eje X.


Vamos ahora a tu problema: [texx]F(x)=x+(3k+2)x-(2k+3)=3(k+1)x-{\color{red}{(}}2k+3{\color{red})}[/texx].

Por lo explicado antes, debe cumplirse [texx]\alpha=3(k+1)=0[/texx], esto es, [texx]k=-1[/texx].
Con eso, [texx]F(x)=\color{blue}-\color{red}1[/texx], una recta horizontal (que no está sobre el eje X), y claramente positiva negativa para todo [texx]x[/texx].

P.D. En rojo edité la errata que adivirtió Juan Pablo.
P.D. En azul edité el segundo error que adivirtió adhemir.

[Juan Pablo]

No tiene que ser para un valor particular de [texx]x [/texx] debe ser para todo [texx]x \in \mathbb{R} [/texx] debe ocurrir [texx]F(x) > 0 [/texx]

Tienes [texx] F(x) = (3 \cdot k + 3) \cdot x - (2 \cdot k + 3) [/texx]

¿qué valor debe tener [texx] k [/texx] para que sea horizontal la recta?

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No se verifica para ningún [texx] k [/texx], el único [texx]k[/texx] que hace que la recta sea horizontal provoca que sea negativa siempre.

Tengo que admitir que seguro habrá un error de tipeo en el problema original y es como menciona mathtruco:

[texx] F(x) = x^2 + (3k+2) \cdot x - (2k+3) [/texx]

Editado

El spoiler está mal.

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En este caso [texx] F [/texx] será positiva para [texx]k\in ]\dfrac{-2-2 \cdot \sqrt{19}}{19},\dfrac{-2+2 \cdot \sqrt{19}}{19}[ [/texx]

Cuidado mathtruco que es [texx] -(2k+3) [/texx] no [texx] -2k + 3 [/texx]

[adhemir]

En la correcion al final para [texx]k=-1[/texx] tenemos [texx]F(x)=-1<0[/texx] y la funcion nao es estrictamente positiva, en resumen , no existe ese tal [texx]k[/texx] e el problema deve ser corregido???

[Juan Pablo]

Para [texx]k=-1 [/texx] daría [texx] F(x) = -1 [/texx] por eso supongo que se refiere el enunciado a [texx] F(x) = x^2 + (3 \cdot k+2) \cdot x -(2 \cdot k+3) [/texx]

[mathtruco]

Soy horriblemente malo para las cuentas, por más cuidado que le pongo, ambas correcciones son correctas, edité mi mensaje anterior.

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Yo, cada vez que me equivoco en una cuenta:

[Juan Pablo]

Me pasa lo mismo con las cuentas 

Y acudo a la calculadora más de lo que querría aceptar. 

[sugata]

Soy horriblemente malo para las cuentas, por más cuidado que le pongo, ambas correcciones son correctas, edité mi mensaje anterior.

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Yo, cada vez que me equivoco en una cuenta:

Lo del spoiler es más habitual de lo que la gente cree.

[adhemir]

yo tambien soy malo en las cuentas, si la funcion fuese cuadratica  no consigo llegar
a :
[texx]k\ in \left(\dfrac{-2-2\sqrt{19}}{19}  , \dfrac{-2+2\sqrt{19}}{19} \right)[/texx] yo consigo los [texx]k[/texx] complejos

 

[adhemir]

Note que queremos las raizes de [texx]\Delta=(3k+2)^2-4.1.-(2k+3)<0 [/texx]
o sea [texx](3k+2)^2+4.1.(2k+3)<0 [/texx]
asi tenemos
[texx]9k^2+20k+16<0 [/texx] y las raices son complejas

[Juan Pablo]

Editado

Tienes razón adhemnir me comí el menos en rojo.

[texx](3k+2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\color{red}-\color{black}(2k+3)) [/texx]

[adhemir]

lo gracioso es que no existiria un valor k real tambien en ese caso. Pienso deve ser para que valores de k la funcion deve ser estrictamente cresciente.

[Juan Pablo]

Si para todo [texx]k [/texx] habrá valores negativos.

La función [texx] F(x) = x^2 + (3k+2) \cdot x - (2k+3) [/texx] no será estrictamente creciente para ningún [texx]k[/texx]

La función [texx] F(x) = x + (3k+2) \cdot x - (2k+3) = (3k+3) \cdot k - (2k+3) [/texx] lo será para [texx] k > - 1[/texx]

Cuidado con la ortografía.