27/05/2018, 12:25:21 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Problema de los múltiplos de 2004  (Leído 544 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
alicenujan
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Italy Italy

Mensajes: 108


Ver Perfil
« : 08/05/2017, 10:54:02 am »

El número entero positivo más pequeño (exactamente)
divisible por 2004 y que está escrito con sólo los dígitos 2 y 4
 es 222444.
¿Cuál es el siguiente? y el siguiente el siguiente?

No se como resolverlo pero si estos números son múltiplos de 2004 la cifra de las unidad tiene que ser 4
asi la dos últimas cifras ceran 24 o 44 después no sé qué hacer... :triste: (pero creo que tengo que usar la congruencias para resolverlo...)
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.235


Ver Perfil WWW
« Respuesta #1 : 08/05/2017, 02:39:25 pm »

El número entero positivo más pequeño (exactamente)
divisible por 2004 y que está escrito con sólo los dígitos 2 y 4
 es 222444.
¿Cuál es el siguiente? y el siguiente el siguiente?

No se como resolverlo pero si estos números son múltiplos de 2004 la cifra de las unidad tiene que ser 4
asi la dos últimas cifras ceran 24 o 44 después no sé qué hacer... :triste: (pero creo que tengo que usar la congruencias para resolverlo...)

Como [texx]2004 = 3\cdot{}4\cdot{}167[/texx], estos números deben ser múltiplos de 4, por lo que al estar formados solo por 2 y 4 deben acabar en 24 o 44 efectivamente, lo que exige que el multiplicador acabe en 1 o 6. Además deben ser múltiplos de 3, por lo que el número de doses y cuatros que contengan deben ser iguales módulo 3.

Sospecho que el siguiente es [texx]222444·1000001[/texx], y en general los números

[texx]S(k) = 2004\cdot{}111\cdot{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{10^{6i}}[/texx]

están formados solo por 2 y 4 y obviamente son múltiplos de 2004. Hay que ver que no hay otros. Supongo que se tendrá que usar el dato de que 111*2004 = 222444 es el primero.

Creo que paso bola ...

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.235


Ver Perfil WWW
« Respuesta #2 : 08/05/2017, 02:47:59 pm »

Sospecho que el siguiente es [texx]222444·1000001[/texx],

Falso, los siguientes son [texx]2004\cdot{}21080061 = 42244442244\textrm{ y }2004\cdot{}22078056 = 44244424224[/texx], que no son múltiplos de [texx]222444[/texx].

Sigo pasando bola ...

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.235


Ver Perfil WWW
« Respuesta #3 : 08/05/2017, 03:31:27 pm »

Sospecho que el siguiente es [texx]222444·1000001[/texx],

Falso, los siguientes son [texx]2004\cdot{}21080061 = 42244442244\textrm{ y }2004\cdot{}22078056 = 44244424224[/texx], que no son múltiplos de [texx]222444[/texx].

Sigo pasando bola ...

Saludos,

Y el siguiente ya si, es el esperado (por mi ...):

[texx]2004\cdot{}111000111 = 222444\cdot{}1000001 = 222444222444[/texx]

Pero mi ordenador, DERIVE y yo nos negamos a continuar la búsqueda 'brute force' a ver si hay más 'intrusos' o solo los esperados que presupuse antes. A la espera de alguien que aporte alguna idea nueva ...

Saludos,
En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
alicenujan
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Italy Italy

Mensajes: 108


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 08/05/2017, 03:40:19 pm »

Gracias ilarrosa :sonrisa:
 El problema también se puede resolver sin programas pero no se como... (como dije creo tenemos que utilizar las congruencias...)
En línea
Ignacio Larrosa
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 2.235


Ver Perfil WWW
« Respuesta #5 : 08/05/2017, 05:04:20 pm »

Gracias ilarrosa :sonrisa:
 El problema también se puede resolver sin programas pero no se como... (como dije creo tenemos que utilizar las congruencias...)

No es que hay que resolverlo por otros procedimientos. La fuerza bruta solo vale para apuntar alguna idea o descartar otras, pero en este caso, la verdad, no parece que ayude mucho. Bueno al menos ha valido para saber que aparte de las infinitas soluciones paramétricas [texx]S(k) = 2004\cdot{}111\cdot{}\displaystyle\sum_{i=0}^k{10^{6i}}[/texx], hay otras aparentemente esporádicas. Seguire en ello, pero de momento no se me ocurren más cosas de las que apunte anteriormente, a las que tampoco veo claro como sacarles partido.

Saludos,

En línea

Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
alicenujan
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Italy Italy

Mensajes: 108


Ver Perfil
« Respuesta #6 : 11/05/2017, 01:37:17 pm »

Alguien que puede ayudar con este problema? gracias :sonrisa:
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!