Circunferencia inscrita

[Michel]

Sea P un punto dado del segmento dado BC.
Construir un triángulo rectángulo ABC (A=90º) cuya circunferencia inscrita sea tangente a la hipotenusa en P.

[Abdulai]

Sea P un punto dado del segmento dado BC.
Construir un triángulo rectángulo ABC (A=90º) cuya circunferencia inscrita sea tangente a la hipotenusa en P.

Hice el dibujo pero me faltan las explicaciones (creo que se entiende igual  )

[sugata]

La construcción se entiende, lo que no veo es por qué funciona.

[Abdulai]

La clave está en que el lugar geométrico de los incentros de un triángulo inscripto, fijado un lado, es una circunferencia.

Si no estoy confundido, un problema viejo de Michel fué precisamente hallar ese LG.

[sugata]

Entendido.

[ilarrosa]

Un poco más general:

"Construir un triángulo dado el lado BC, un punto D en él y el ángulo opuesto α, si la circunferencia inscrita es tangente a BC en D."


El ángulo BIC, donde I es el incentro del triángulo, es igual a 90º + α/2 (ver Círculo incentro-excentro), por lo que debe estar en el arco capaz del segmento BC de ángulo 90º + α/2 (Construcción del Arco Capaz). También debe estar en la perpendicular por D al segmento BC, lo que ya nos da su construcción.



Saludos,

[Michel]

Creo que no basta enviar el dibujo, hay que enviar también la explicación del problema; no todo el mundo entiende el problema sólo con la figura.

Envío mi solución del problema propuesto, sin considerar la generalización que tan maravillosamente expone ilarrosa, como siempre.


Supongamos el problema resuelto (también como siempre).

Hallamos en primer lugar el valor del ángulo BIC, siendo I el incentro del triángulo ABC, punto de intersección de las bisectrices.

ángulo BIC=180º-(B+C)/2=180º-90º/2=135º; entonces I está en el arco capaz de 135º sobre el segmento BC.

La construcción será la siguientr:

1. Construido el segmento BC, se sitúa el punto dado P.

2. Se construye el arco capaz citado (ver CONSTRUCCIONES BÁSICAS).

3. Se traza la perpendicular por P a BC, cuya interseción con el arco determina el incentro.

4. Se construye la circunferencia inscrita (centro I y radio IP).

5. Se trazan las tangentes por B y C a la circunferencia; su intersección es el vértice A del ángulo recto.


Saludos.