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Autor Tema: Método del discriminante para obtener ternas solución  (Leído 5325 veces)
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« : 27/03/2017, 07:23:03 pm »

Hola,


Estos días que vienen voy a tener menos tiempo para escribir, así que lo escribo ahora pero de manera un poco más esquemática que de costumbre.


Primero vayamos al caso más sencillo para obtener ternas solución; el caso del UTF para n = 2.


A) Sea  "[texx]\alpha[/texx]"  entero;  [texx]a,b[/texx]  enteros también, coprimos y uno de ellos (b) par,  [texx](n\in{\mathbb{N}})[/texx] :

Si:  [texx]\alpha^{2n}=a^2+b^2[/texx] ;  entonces:

Supongamos que  [texx]\alpha^{2n}=\Delta[/texx] ,  para  [texx]\Delta=B^2-4AC[/texx] ,  el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes y resultado enteros: 

[texx]Ac^2+Bc+C=0[/texx] .

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]c^2+ac-\dfrac{b^2}{4}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=a^2-4(1)(-\dfrac{b^2}{4})[/texx]

Suponemos que  "[texx]c[/texx]"  es par, puesto que  [texx]\dfrac{b^2}{4}[/texx]  es par, al ser  [texx]b^2[/texx]  el resultado de  [texx]\alpha^{2n}-a^2[/texx]  y tener por tanto como mínimo una magnitud par de 8; y puesto que  "[texx]0[/texx]"  es siempre par.

Entonces:

[texx]c^2+ac=\dfrac{b^2}{4}[/texx]

[texx]c(c+a)=(\dfrac{b}{2})^2[/texx]

Llamemos:  [texx]d=c+a[/texx]

Como  " [texx]c[/texx] "  divide á  [texx]b^2[/texx] ,  no divide á  [texx]a[/texx] ,  su coprimo, siendo por tanto coprimo con  " [texx]d[/texx] ".

Luego:

[texx](\dfrac{b}{2})^2=cd\,\,\wedge\,\,c=c_1^2\,\,\wedge\,\,d=d_1^2[/texx]

[texx]b^2=4cd\,\,\wedge\,\,\pmb{b=2c_1d_1}[/texx]

Como:  [texx]d=c+a\,\,\wedge\,\,d_1^2=c_1^2+a[/texx] ;  entonces:  [texx]\pmb{a=d_1^2-c_1^2}[/texx] .  Y sustituyendo  estos  " [texx]a\wedge b[/texx] "  en la ecuación de partida, obtenemos:

[texx]\pmb{\alpha^n=d_1^2+c_1^2}[/texx]


B) Vayamos a otro caso fácil. El del caso del UTF para n = 4:


Si:  [texx]\alpha^{2n}=a^4+b^4[/texx]   ([texx]a,b[/texx]  coprimos, enteros, b = par)

Supongo  [texx]\alpha^{2n}=\Delta[/texx] ,  el discriminante de la cuadrática:  [texx]c^2+a^2c-\dfrac{b^4}{4}=0[/texx]   

Suponemos  que  "[texx]c[/texx]"  es par. Pues  [texx]\dfrac{b^4}{4}[/texx]  es claramente par:

[texx]c(c+a^2)=(\dfrac{b^2}{2})^2[/texx] 

Llamo:  [texx]d=c+a^2[/texx]

[texx](\dfrac{b^2}{2})^2=cd[/texx]  (coprimos); luego:  [texx]c=c_1^2\,\,\wedge\,\,d=d_1^2[/texx]

Entonces:

[texx]b^4=4c_1^2d_1^2\,\,\wedge\,\,\pmb{b^2=2c_1d_1}[/texx]

Como:  [texx]d=c+a^2[/texx] ;  entonces:  [texx]\pmb{a^2=d_1^2-c_1^2}[/texx] .  Y sustituyendo en la ecuación de partida:  [texx]\pmb{\alpha^n=d_1^2+c_1^2}[/texx]  ¿Os suena todo esto? (Basta suponer que n = 2)


C) Ahora el caso interesante. Yo lo entiendo así porque por el método tradicional no soy capaz de hallar la terna solución y sin embargo por este método del discriminante sí. (Obviamente esto sólo se puede aplicar en algunos casos)


Esquemáticamente:


[texx]\pmb{a^2+b^3=c^2}[/texx]


( [texx]a,b,c[/texx]  enteros; [texx]a,b[/texx]  coprimos y  [texx]b[/texx]  par )


Supongo que  [texx]c=\Delta[/texx] ,  el discriminante de la ecuación cuadrática:

[texx]d^2+ad-\dfrac{b^3}{4}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=a^2-4(1)(-\dfrac{b^3}{4})[/texx]

Suponemos  "[texx]d[/texx]" par;  [texx]\dfrac{b^3}{4}[/texx]  es claramente par:

[texx]d(d+a)=\dfrac{b^3}{4}[/texx]

Llamo:  "[texx]e[/texx]"[texx]=d+a[/texx]

Como  " [texx]d[/texx] "  divide a  [texx]b^3[/texx] ,  es coprimo con  " [texx]a[/texx] "  y por tanto con  " [texx]e[/texx] ".

Luego:

[texx]b^3=4de[/texx] .  Como  [texx]d[/texx]  es par:  [texx]d=2d_1[/texx]

[texx]b^3=8d_1e\,\,\wedge\,\,d_1=d_2^3\,\,\wedge\,\,e=e_1^3[/texx]

(Llamo a partir de ahora por elegancia:  [texx]d_2=\delta\,\,\wedge\,\,e_1=\epsilon[/texx] )

[texx]\pmb{b=2\delta\epsilon}[/texx]

Tenemos que:  [texx]e=d+a[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]a=e-d[/texx]

[texx]\pmb{a=\epsilon^3-2\delta^3}[/texx]

Y sustituyendo en la ecuación de partida:  [texx]\pmb{c=\epsilon^3+2\delta^3}[/texx]


Conclusión:  " [texx]a^2+b^3=c^2[/texx] "  es factible para  [texx]a,b,c[/texx]  enteros.

Comprobación: Escojo lo más simple:  [texx]\delta=2\,\,\wedge\,\,\epsilon=3[/texx] .  Y entonces:  [texx]a=11\,\,\wedge\,\,b=12\,\,\wedge\,\,c=43[/texx]



(Todo esto lo podéis utilizar como queráis dónde queráis, siempre que se cite a este Foro como la fuente. Si no es así, no será con mi consentimiento..)

PD. Estoy teniendo en cuenta que probablemente mañana me señale el_manco que esto no es nada original y lo que fuere -y tendrá razón, como siempre-. Pero por si acaso digo lo anterior  :guiño:


Un saludo,
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« Respuesta #1 : 28/03/2017, 05:30:35 am »

Hola

 A mi el método que llamas del discriminante me sigue pareciendo poco natural.

 Hay una forma standard de resolver todos los casos que planteas y se basa simplemente en la representación de un número [texx]N[/texx] como diferencia de cuadrados.

 [texx]a^2-b^2=N\quad \Leftrightarrow{}\quad (a-b)(a+b)=N[/texx]

 Basta expresar [texx]N[/texx] como producto de dos factores [texx]N=n_1n_2[/texx] de la misma paridad y resovler:

[texx] a-b=n_1,\qquad a+b=n_2[/texx]

 de donde:

 [texx]a=\dfrac{n_1+n_2}{2},\qquad b=\dfrac{n_2-n_1}{2}[/texx].

 Si se quieren conseguir que [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] sean coprimos basta tomar [texx]n_1[/texx] y [texx]n_2[/texx] coprimos si [texx]N[/texx] es impar ó uno de ellos [texx]2p[/texx] y el otro otro [texx]2^sq[/texx] con [texx]p,q[/texx] coprimos impares.

 Los tres casos que planteas se deducen directamente de esto.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 30/03/2017, 06:12:47 pm »

Hola,


Sean  [texx]a,b,c[/texx]  enteros,  [texx]a\wedge b[/texx]  coprimos y uno de ellos (b) par.

Supongamos que:  [texx]\pmb{a^6+b^6=c^2}[/texx]

Si:  [texx]c^2=\Delta[/texx] ,  para  [texx]\Delta=B^2-4AC[/texx] ,  el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes y resultado enteros: 

[texx]Ad^2+Bd+C=0[/texx] .

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]d^2+(a^3+b^3)d+\dfrac{a^3b^3}{2}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(a^3+b^3)^2-4(1)(\dfrac{a^3b^3}{2})[/texx]

Suponemos, sin perder generalidad, que  " [texx]d[/texx] "  es par y negativo  [texx](d=-d_1)[/texx]

Entonces:

[texx]-d_1(-d_1+a^3+b^3)=-\displaystyle\frac{a^3b^3}{2}[/texx]

Llamemos:  [texx]e=-d_1+a^3+b^3[/texx]

Como  " [texx]d_1[/texx] "  divide á  [texx]a^3b^3[/texx]  y éstos son coprimos, divide a uno u a otro y por tanto es coprimo con  [texx]a^3+b^3[/texx]  y con  " [texx]e[/texx] ".

Luego:

[texx]\dfrac{a^3b^3}{2}=d_1e\,\,\wedge\,\,d_1=4d_2^3\,\,\wedge\,\,e=e_1^3[/texx]

Tengo entonces que:  [texx]ab=2d_2e_1[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]e_1^3+4d_2^3=a^3+b^3[/texx]

De esta forma:  [texx]a(\dfrac{b}{2})=d_2e_1[/texx] ;  por lo que  " [texx]b[/texx] " debe ser par de magnitud 4 como mínimo para mantener la paridad de la ecuación. Y como si  [texx]e_1[/texx]  es mayor que  [texx]a[/texx] ,  entonces  [texx]\dfrac{b}{2}[/texx] ,  en correspondencia, debe ser mayor que  [texx]d_2[/texx]  y viceversa, entonces puedo establecer que:

[texx]a=a_1a_2[/texx]

[texx]\dfrac{b}{2}=b_1b_2[/texx]

[texx]d_2=a_1b_1[/texx]

[texx]e_1=a_2b_2[/texx]

Consideremos, por ejemplo, á  [texx]b_1[/texx] como el factor par de  [texx]\dfrac{b}{2}[/texx]  y  [texx]d_2[/texx]

Luego si:  [texx]e_1^3-a^3=b^3-4d_2^3[/texx] ;  entonces:

[texx]a_2^3b_2^3-a_1^3a_2^3=8b_1^3b_2^3-4a_1^3b_1^3[/texx]

[texx]a_2^3(b_2^3-a_1^3)=4b_1^3(2b_2^3-a_1^3)[/texx]

De esta manera: 

[texx]2b_2^3-a_1^3=ka_2^3[/texx]

[texx]b_2^3-a_1^3=4kb_1^3[/texx]

Y sustituyendo en ambas ecuaciones:

[texx]a_1^3=ka_2^3-8kb_1^3[/texx]

[texx]b_2^3=ka_2^3-4kb_1^3[/texx]

Pero  " [texx]k[/texx] "  sólo puede ser 1, porque  [texx]a_1^3\,\wedge\,b_2^3[/texx]  son coprimos.

Luego tenemos que:

[texx]a_1^3=a_2^3-2^3b_1^3[/texx]

Y sabemos que esa ecuación no es posible para  [texx]a_1,a_2,2b_1[/texx]  enteros.


¿Seguro que existe otra forma más directa de resolverlo? -me pregunto


Un saludo,
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« Respuesta #3 : 31/03/2017, 06:46:27 am »

Hola


¿Seguro que existe otra forma más directa de resolverlo? -me pregunto

Me voy a ceñir a la parte donde usas lo que tu llamas "método del discriminante". El resto ya lo miraré con más calma.

En general lo que haces es que, para trabajar con una ecuación del tipo:

[texx]x^2-y^2=N[/texx]

en lugar de usar el razonamiento estándar (y en mi opinión más natural):

Spoiler: Razonamiento estándar (click para mostrar u ocultar)

Consideras la ecuación de segundo grado:

[texx]d^2+2xd+N=0[/texx]

y haces tu "método del discriminante"; pero para llegar exactamente a lo mismo que se llega con el razonamiento estándar.

En tu último mensaje lo haces para [texx]x=\dfrac{a^3+b^3}{2}[/texx], [texx]y=\dfrac{c}{2}[/texx] y [texx]N=\dfrac{a^3b^3}{2}[/texx].

Tu obtienes que:

[texx]\dfrac{a^3b^3}{2}=d_1e[/texx]

y

[texx]e=-d_1+a^3+b^3[/texx] es decir [texx]a^3+b^3=e+d_1[/texx]

que con el razonamiento estándar es lo mismo que decir:

[texx]\dfrac{a^3b^3}{2}=N=n_1n_2[/texx]

[texx]\dfrac{a^3+b^3}{2}=x=\dfrac{n_1+n_2}{2}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 31/03/2017, 10:12:40 am »

Hola, así a bote pronto no lo pillo

No soy matemático y no conozco los métodos estándar; pero naturalmente estoy dispuesto a aprender.

Yo parto de:  [texx]a^6+b^6=c^2[/texx]

Y tú llegas, según he creído entender a:

[texx]d^2+2xd+N=0[/texx] .  Para:  [texx]x=\displaystyle\frac{a^3+b^3}{2}[/texx]  [texx]y=\displaystyle\frac{c}{2}[/texx]  [texx]N=\displaystyle\frac{a^3b^3}{2}[/texx]

¿Puedes indicar algunos puntos concretos del camino?

Un saludo,
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« Respuesta #5 : 31/03/2017, 11:54:42 am »

Hola

No soy matemático y no conozco los métodos estándar; pero naturalmente estoy dispuesto a aprender.

El método estándar está en el Spoiler y en mi primera respuesta; no me he dejado nada en el tintero. Puedes leerlo.

Cita
Yo parto de:  [texx]a^6+b^6=c^2[/texx]

Y tú llegas, según he creído entender a:

[texx]d^2+2xd+N=0[/texx] .  Para:  [texx]x=\displaystyle\frac{a^3+b^3}{2}[/texx]  [texx]y=\displaystyle\frac{c}{2}[/texx]  [texx]N=\displaystyle\frac{a^3b^3}{2}[/texx]

No, no. Eso es lo que tu escribes tal cual. Sustituyes los valores de [texx]x[/texx] y [texx]N[/texx] que indico y te queda esto:

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]d^2+(a^3+b^3)d+\dfrac{a^3b^3}{2}=0\,\,\wedge\,\,\Delta=(a^3+b^3)^2-4(1)(\dfrac{a^3b^3}{2})[/texx]

Lo que yo digo es que tu haces esa "parafernalia" del discriminante y la ecuación de segundo grado "ad" hoc, para al final llegar a esto:

[texx]\dfrac{a^3b^3}{2}=d_1e[/texx]

y

[texx]e=-d_1+a^3+b^3[/texx] es decir [texx]a^3+b^3=e+d_1[/texx]

Se puede llegar a lo mismo. Si la ecuación

[texx]a^6+b^6=c^2[/texx]

la escribes como:

[texx]\left(\dfrac{a^3+b^3}{2}\right)^2-\dfrac{a^3b^3}{2}=c^2[/texx]

[texx]\left(\underbrace{\dfrac{a^3+b^3}{2}}_{x}\right)^2-{\underbrace{c}_y}^2=\underbrace{\dfrac{a^3b^3}{2}}_N[/texx]

y ahora le aplicas lo que llamo razonamiento estándard. Te lo escribo por tercera vez en este hilo:

Expresas [texx]N[/texx] como producto de dos factores [texx]N=n_1n_2[/texx] de la misma paridad y resolvemos:

[texx] x-y=n_1,\qquad x+y=n_2[/texx]

 de donde:

 [texx]x=\dfrac{n_1+n_2}{2},\qquad y=\dfrac{n_2-n_1}{2}[/texx].

 Si se quieren conseguir que [texx]x[/texx] e [texx]t[/texx] sean coprimos basta tomar [texx]n_1[/texx] y [texx]n_2[/texx] coprimos si [texx]N[/texx] es impar ó uno de ellos [texx]2p[/texx] y el otro otro [texx]2^sq[/texx] con [texx]p,q[/texx] coprimos impares.[/spoiler]

 En concreto en nuestro caso obtenemos:

[texx]\dfrac{a^3b^3}{2}=N=n_1n_2[/texx]

[texx]\dfrac{a^3+b^3}{2}=x=\dfrac{n_1+n_2}{2}[/texx]

 Es decir lo mismo que tu con tu "discriminante".

Saludos.
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« Respuesta #6 : 31/03/2017, 02:43:07 pm »

Hola,

Para mí no es evidente ni intuitivo pasar de:  " [texx]a^6+b^6=c^2[/texx] "  á aquí:  " [texx]\left(\underbrace{\dfrac{a^3+b^3}{2}}_{x}\right)^2-{\underbrace{c}_y}^2=\underbrace{\dfrac{a^3b^3}{2}}_N[/texx] " .  Entiendo que para ti eso sea natural, para mí no lo es. Yo por mi parte renuncio a hablar más del término "Método del discriminante"; me trae al fresco. Yo lo que trato es de acceder de alguna manera a las tripas de  " [texx]a^6+b^6=c^2[/texx] "  con objeto de averiguar si es factible o no para  [texx]a,b,c[/texx]  enteros. Es mi único objetivo, buscar una bella demostración de eso y de otras igualdades similares


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« Respuesta #7 : 31/03/2017, 03:12:39 pm »

Hola

Para mí no es evidente ni intuitivo pasar de:  " [texx]a^6+b^6=c^2[/texx] "  á aquí:  " [texx]\left(\underbrace{\dfrac{a^3+b^3}{2}}_{x}\right)^2-{\underbrace{c}_y}^2=\underbrace{\dfrac{a^3b^3}{2}}_N[/texx] " .  Entiendo que para ti eso sea natural, para mí no lo es.

¡OJO!. Es que para mi ese paso...¡tampoco es natural!. A lo que me refiero que es natural, es que una vez que decidimos como presentar la ecuación inicial como diferencia de dos cuadrados igualada a un número, resolver la ecuación como te he indicado.

En cuanto a ese primera manipulación que te indiqué es tan "artificial", como tu elección cuando planteas la ecuación de segundo grado. Es decir a partir de [texx]a^6+b^6=c^2[/texx] y llamando [texx]c^2=\Delta[/texx] podías haber escrito:

[texx]d^2+a^3d-\dfrac{\color{red}b^6\color{black}}{4}=0[/texx]

en lugar lo que escribiste, correcto pero más rebuscado:

[texx]d^2+(a^3+b^3)d+\dfrac{a^3b^3}{2}=0[/texx]

Cita
Yo por mi parte renuncio a hablar más del término "Método del discriminante"; me trae al fresco.


El único motivo por el cual yo me he centrado en eso, es porque es así como tu titulaste en hilo y me pareció que era el razonamiento que querías enfatizar en él.

Cita
Yo lo que trato es de acceder de alguna manera a las tripas de  " [texx]a^6+b^6=c^2[/texx] "  con objeto de averiguar si es factible o no para  [texx]a,b,c[/texx]  enteros. Es mi único objetivo, buscar una bella demostración de eso y de otras igualdades similares

Y eso está muy bien. Como te de he dicho esa segunda parte no la he mirado aun en detalle; quería cotejar con los resultados conocidos que hay al respecto; la cosa es que no tengo el libro que dan como referencia en la mayor parte de los sitios que he mirado:

"Pythagorean Triangles".  Waclaw Sierpinski. Dover Books on Mathematics

Saludos.

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« Respuesta #8 : 01/04/2017, 05:39:25 pm »

Hola el_manco, ante todo muchas gracias por intentar comprobar mi demostración; un lujo de este Foro


Es decir a partir de [texx]a^6+b^6=c^2[/texx] y llamando [texx]c^2=\Delta[/texx] podías haber escrito:

[texx]d^2+a^3d-\dfrac{b^3}{4}=0[/texx]

en lugar lo que escribiste, correcto pero más rebuscado:

[texx]d^2+(a^3+b^3)d+\dfrac{a^3b^3}{2}=0[/texx]


Dices de escoger esto:  [texx]d^2+a^3d-\dfrac{b^3}{4}=0[/texx] ;  entiendo que quisiste decir más bien:  [texx]d^2+a^3d-\dfrac{b^6}{4}=0[/texx] .  No es lo mismo. Obtendría 2 factores coprimos (que es lo que busco siempre) iguales a una sexta potencia y no podría relacionarlos linealmente con la tercera potencia de  " [texx]a[/texx] ".  No me sirve.

Lo que tú llamas "rebuscado" es necesario (hasta donde he podido comprender) para poder acceder a las tripas de la ecuación y tener alguna posibilidad (una), para poder resolverla. Tanto es así que este modo de hacerlo me permite incluso generalizar en algunos casos. Pongo a continuación un caso de generalización posible para una igualdad calculadamente sencilla para poder hacerlo:


Supongamos para  [texx]a,b,c[/texx]  enteros, coprimos,  " [texx]a[/texx] "  par y  " [texx]n[/texx] "  natural y mayor que 2; que:  [texx]\pmb{c^2=4a^n+b^{2n}}[/texx]

Si:  [texx]c^2=\Delta[/texx] ;  el discriminante de una ecuación cuadrática de coeficientes y resultado enteros como:

[texx]d^2+b^nd-a^n=0[/texx]    ( [texx]\Delta=(b^n)^2-4(1)(-a^n)[/texx] )

Y suponemos que  " [texx]d[/texx] "  es par.

Entonces:

[texx]d(d+b^n)=a^n[/texx]

Si llamo:  [texx]e=d+b^n[/texx]

Como  " [texx]d[/texx] "  divide á  [texx]a^n[/texx] ;  es coprimo con  [texx]b^n[/texx]  y, por tanto, con  " [texx]e[/texx] "

Luego:  [texx]a^n=d\,e\,\,\wedge\,\,d=d_1^n\,\,\wedge\,\,e=e_1^n[/texx]

Pero entonces tendré que:

[texx]e_1^n=d_1^n+b^n[/texx]

Lo que conocemos que para  [texx]n\,>\,2[/texx]  no es cierto para  [texx]b,d_1,e_1[/texx]  enteros.


Un saludo,


PD. Sobre la demostración de la Respuesta 2 creo que se resuelve mejor (sobre todo en lo que concierne a los signos) si en vez de tomar la ecuación cuadrática:  " [texx]d^2+(a^3+b^3)d+\dfrac{a^3b^3}{2}=0[/texx] " ;  se tomara:  [texx]d^2+(a^3-b^3)d-\dfrac{a^3b^3}{2}=0[/texx]
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« Respuesta #9 : 01/04/2017, 05:49:24 pm »

Hola

Dices de escoger esto:  [texx]d^2+a^3d-\dfrac{b^3}{4}=0[/texx] ;  entiendo que quisiste decir más bien:  [texx]d^2+a^3d-\dfrac{b^6}{4}=0[/texx] .

Si, fue una errata.

Cita
  No es lo mismo. Obtendría 2 factores coprimos (que es lo que busco siempre) iguales a una sexta potencia y no podría relacionarlos linealmente con la tercera potencia de  " [texx]a[/texx] ".  No me sirve.

Bien; yo no me puse analizar si luego podía servir o no. A lo que voy, y debería de haber quedado claro a estas alturas es que todo lo que haces tu con el artificio del discriminante se consigue igualmente gestionando una ecuación del tipo [texx]x^2-y^2=N[/texx]; normalmente habrá muchas formas de presentar la ecuación de partida en esa forma de diferencia de cuadrados (al igual, que hay muchas formas de plantear con una misma ecuación tu método del discriminante). El elegir una otra, como bien dices, dependerá de lo que queramos y podamos hacer a posteriori con las soluciones obtenidas.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 04/04/2017, 08:12:51 am »

Hola,


Esta utilización del discriminante de las ecuaciónes cuadráticas o bicuadráticas para analizar posibles resultados de ecuaciones diofánticas también se puede hacer utilizando el discriminante de las ecuaciones cúbicas; aunque con resultados más limitados. Pongo un ejemplo:


Supongamos para  [texx]a,b,c[/texx]  enteros;  [texx]a,b[/texx]  coprimos,  " [texx]a[/texx] "  par y  [texx]n,m[/texx]  naturales y " [texx]n[/texx] "  mayor que 2; que:  [texx]\pmb{4a^{3n}=c^{2m}+27b^{2n}}[/texx]

Si:  [texx](c^m)^2=\Delta[/texx] , para [texx]\Delta=-4C^3-27D^2[/texx] , el discriminante de una ecuación (mónica) cúbica sin término cuadrático de coeficientes y resultado enteros:

[texx]d^3+Cd+D=0[/texx] .

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]d^3-a^nd-b^n=0\,\,\wedge\,\,\Delta=-4(-a^n)^3-27(-b^n)^2[/texx]

Suponemos que  " [texx]d[/texx] "  es impar.

Entonces:

[texx]d(d^2-a^n)=b^n[/texx]

Si llamo:  [texx]e=d^2-a^n[/texx]

Como  " [texx]d[/texx] "  divide á  [texx]b^n[/texx] ;  es coprimo con  [texx]a^n[/texx]  y, por tanto, con  " [texx]e[/texx] "

Luego:  [texx]b^n=d\,e\,\,\wedge\,\,d=d_1^n\,\,\wedge\,\,e=e_1^n[/texx]

Pero entonces tendría que:

[texx]e_1^n=d_1^{2n}-a^n[/texx]

Lo que sabemos que para  [texx]n\,>\,2[/texx]  no es cierto para  [texx]a,d_1,e_1[/texx]  enteros.


Un saludo,
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« Respuesta #11 : 04/04/2017, 08:44:28 am »

Hola

Supongamos para  [texx]a,b,c[/texx]  enteros;  [texx]a,b[/texx]  coprimos,  " [texx]a[/texx] "  par y  [texx]n,m[/texx]  naturales y " [texx]n[/texx] "  mayor que 2; que:  [texx]\pmb{4a^{3n}=c^{2m}+27b^{2n}}[/texx]

Si:  [texx](c^m)^2=\Delta[/texx] , para [texx]\Delta=-4C^3-27D^2[/texx] , el discriminante de una ecuación (mónica) cúbica sin término cuadrático de coeficientes y resultado enteros:

[texx]d^3+Cd+D=0[/texx] .

Siempre podrá decirse que se trata de:

[texx]d^3-a^nd-b^n=0\,\,\wedge\,\,\Delta=-4(-a^n)^3-27(-b^n)^2[/texx]

Suponemos que  " [texx]d[/texx] "  es impar.

Pero ahí no sé como estás razonando. Que el discriminante de una cúbica sea un cuadrado perfecto no garantiza que sus soluciones sean enteras.

Saludos.
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« Respuesta #12 : 04/04/2017, 09:08:46 am »

¡Vaya! pues sí, no lo garantiza completamente; me he precipitado. El razonamiento (de ser posible) tendría que ser más complicado

Sdos
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« Respuesta #13 : 05/04/2017, 10:19:42 am »

Hola,


Lo que sigue es un poco más complicado que en otras ocasiones; pero siempre dentro del rango de lo trivial en que me muevo. Es sólo un "divertimento". Espero no haberme equivocado y que os lo paséis tan bien como yo encontrándole sentido.


Se trata de demostrar que no es posible:  [texx](3^2x^3)^3+2(2y^2)^3=(z^2)^3[/texx] ;  para  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 ý  " [texx]y[/texx] "  par.

Para ello voy a utilizar el caso general de las ecuaciones cúbicas según el Método de Tartaglia (Cardano):


Si:  [texx]w^3 + a_1 w^2 + a_2w + a_3 = 0[/texx]

Y :  [texx]Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}[/texx]

Y :  [texx]S_1= \sqrt[3]{ R + \sqrt{Q^3+R^2}}[/texx]   [texx]\wedge[/texx]   [texx]S_2= \sqrt[3]{ R - \sqrt{Q^3+R^2}}[/texx]

Entonces:

[texx]w_1 = S_1 + S_2 - \dfrac{a_1}{3}[/texx]

[texx]w_2 = -\dfrac{S_1+S_2}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]

[texx]w_3 = -\dfrac{S_1+S_2}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]


Empecemos:

Tenemos que:  [texx]729x^9+16y^6=z^6[/texx]

Luego:

[texx]729x^9=z^6-16y^6[/texx]

[texx]729x^9=(z^3+4y^3)(z^3-4y^3)[/texx]

Como:  [texx]z^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}[/texx]

[texx]729x^9=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3)[/texx]

Como:  [texx]4y^3\,\wedge\,z^3[/texx]  son coprimos; entonces:

[texx](9x^3)^3=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3)[/texx]

Y :

[texx]A^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3[/texx]

[texx]B^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3[/texx]

Para  [texx]A,B[/texx]  enteros.

Supongamos ahora esta ecuación cúbica (en  [texx]w[/texx])  sin término cuadrático:

[texx]w^3+27x^3w-8y^3=0[/texx]

Probaremos que tiene al menos una raíz entera, que será la que utilicemos y que por lo tanto siempre podrá suponerse dicha ecuación dada la ecuación diofántica de partida.

Procedemos según el método de Tartaglia:

[texx]R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}=\dfrac{-27a_3}{54}=\dfrac{-27(-8y^3)}{54}=4y^3[/texx]

[texx]Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}=\dfrac{3a_2}{9}=\dfrac{3(27x^3)}{9}=9x^3[/texx]

[texx]S_1^3= R + (Q^3+R^2)^{\frac{1}{2}}=4y^3+(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}=A^3[/texx]

[texx]S_2^3= R - (Q^3+R^2)^{\frac{1}{2}}=4y^3-(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}=-B^3[/texx]

Luego:  [texx]w_1 = S_1 + S_2 - \dfrac{a_1}{3}=A-B[/texx]    ( [texx]w_1=\,Par[/texx] )

De esta forma:  [texx]w_1^3+27x^3w_1-8y^3=0[/texx]  será una ecuación de resultado entero que siempre voy a poder deducir.

Y operando:

[texx]w_1(w_1^2+27x^3)=8y^3[/texx]

Llamo:  [texx]v=w_1^2+27x^3[/texx]

Como  " [texx]w_1[/texx] "  divide á  [texx]8y^3[/texx] ;  no divide á  [texx]27x^3[/texx] ,  su coprimo, siendo por tanto coprimo con  " [texx]v[/texx] ".

Luego:

[texx]8y^3=w_1\cdot{v}[/texx]  [texx]\wedge[/texx]  [texx]w_1=w_2^3[/texx]  [texx]\wedge[/texx] [texx]v=v_1^3[/texx]

Pero entonces:  [texx]v_1^3=(w_2^2)^3+27x^3[/texx]

Lo que sabemos que no es posible para  [texx]3x,v_1,w_2^2[/texx]  enteros.


Un saludo,
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« Respuesta #14 : 05/04/2017, 12:03:17 pm »

Hola

Lo que sigue es un poco más complicado que en otras ocasiones; pero siempre dentro del rango de lo trivial en que me muevo. Es sólo un "divertimento". Espero no haberme equivocado y que os lo paséis tan bien como yo encontrándole sentido.

Vaya por delante: creo que está bien y es muy ingenioso.  Aplauso

Ahora dos comentarios (uno de ellos en mi empeño por "evitar" tu método del discriminante: ¡no te enfades conmigo!).

COMENTARIO 1.

Desde aquí:

Cita
Como:  [texx]4y^3\,\wedge\,z^3[/texx]  son coprimos; entonces:

[texx](9x^3)^3=((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3)((729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3)[/texx] (*)

Y :

[texx]A^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}+4y^3[/texx]   (1)

[texx]B^3=(729x^9+16y^6)^{\frac{1}{2}}-4y^3[/texx]    (2)

Para  [texx]A,B[/texx]  enteros.

Fíjate que de (*) tienes que [texx]AB=9x^3[/texx]. Restando (1) y (2):

[texx]A^3-B^3=8y^3[/texx]
[texx](A-B)(A^2+AB+B^2)=8y^3[/texx]
[texx](A-B)((A-B)^2+3AB)=8y^3[/texx]
[texx](A-B)((A-B)^2+3AB)=8y^3[/texx]
[texx](A-B)((A-B)^2+27x^3)=8y^3[/texx]

Llama [texx]w_1=A-B[/texx] y tienes lo mismo que tu obtuviste con esa ecuación de tercer grado "ad hoc".


COMENTARIO 2.

Desde el principio si queremos ver que:

[texx]729x^9+16y^6=z^6[/texx]

no tiene soluciones coprimas, si trabajamos módulo [texx]9[/texx], la ecuación queda:

[texx]7y^6=z^6[/texx]

Pero módulo [texx]9[/texx] las potencias sextas son [texx]0[/texx] (si el número es múltiplo de [texx]3[/texx]) o [texx]1[/texx]. Como los números son coprimos no son ambos múltiplos de tres y así no tiene solución.

Saludos.
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« Respuesta #15 : 05/04/2017, 03:39:19 pm »

¡Muchas gracias el_manco!

Tomo nota de tus comentarios, muy interesantes. Naturalmente si algo es esa ecuación de tercer grado es AD HOC

Así dicho no me enfado claro. La lástima es que no aporte casi nada y sea tan fácil de resolver por otros caminos. En fin ya se me está acabando la gasolina con este tema..; pero ha sido un placer el transitar por las cúbicas. Debió de sentirse Dios por un día (ó dos..) Tartaglia al encontrar un método para resolverlas.

Un saludo,
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« Respuesta #16 : 06/04/2017, 02:54:20 pm »

Hola, me gustaría saber si esto que pongo a continuación puede considerarse correcto o existe otra manera más sencilla de hacerlo.


Supongamos  [texx]x,y,z[/texx]  enteros, coprimos 2 a 2 ý  " [texx]x[/texx] "  par. Y que:  [texx]x(x^2+3)+y^3=z^3[/texx]

Puedo entender entonces que estamos ante una ecuación de tercer grado en " x " tal que, al menos, posee una raíz entera

Luego:  [texx]x^3+3x+y^3-z^3=0[/texx]   ( Del caso general: [texx]x^3 + a_1 x^2 + a_2x + a_3 = 0[/texx] )

Y opero utilizando el método de Tartaglia:

[texx]R=\dfrac{9a_1a_2-27a_3-2a_1^3}{54}=\dfrac{-27a_3}{54}=\dfrac{-27(y^3-z^3)}{54}=-\displaystyle\frac{y^3-z^3}{2}[/texx]

[texx]Q=\dfrac{3a_2-a_1^2}{9}=\dfrac{3a_2}{9}=\dfrac{3(3)}{9}=1[/texx]

[texx]S_1^3= R + \sqrt[ ]{Q^3+R^2}=R+\sqrt[ ]{1+R^2}[/texx]

[texx]S_2^3= R - \sqrt[ ]{Q^3+R^2}=R-\sqrt[ ]{1+R^2}[/texx]

Pero como yo sé que no existe un cuadrado entero a la distancia de una unidad de otro; entonces encadeno las siguientes consecuencias:

[texx]S_1^3= R + (Irracional)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]S_1=\,Irracional[/texx]

[texx]S_2^3= R - (Irracional)[/texx]  [texx]\Rightarrow{}[/texx]  [texx]S_2=\,Irracional[/texx]

[texx]x_1 =\,Irracional\,\, +\,\,Irracional\,\, - \dfrac{a_1}{3}[/texx]

[texx]x_2 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]

[texx]x_3 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]

Y :

Ni  [texx]x_1[/texx]  Ni  [texx]x_2[/texx]  Ni  [texx]x_3[/texx]  serán enteros. Lo que contradeciría el punto de partida.


Un saludo,
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« Respuesta #17 : 07/04/2017, 06:01:03 am »

Hola

Cita
[texx]x_1 =\,Irracional\,\, +\,\,Irracional\,\, - \dfrac{a_1}{3}[/texx]

[texx]x_2 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \dfrac{a_1}{3} + \dfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]

[texx]x_3 = -\dfrac{\,Irracional\,\,+\,\,Irracional}{2} - \cfrac{a_1}{3} - \cfrac{i\sqrt{3}}{2}(S_1-S_2)[/texx]

Y :

Ni  [texx]x_1[/texx]  Ni  [texx]x_2[/texx]  Ni  [texx]x_3[/texx]  serán enteros. Lo que contradeciría el punto de partida.

Está mal; la suma de irracionales podría ser racional.

Además si te fijas no usas en ningún sitio que [texx]y,z[/texx] sean cubos. Es decir con el mismo razonamiento probarías  que:

[texx]\color{red}x^3\color{black}+3x+n=0[/texx]

no tiene soluciones enteras lo cual es obviamente falso.

Saludos.

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« Respuesta #18 : 07/04/2017, 12:55:34 pm »

Hola el_manco,


Está completamente mal sí. Lo primero es que no lo sabía pero sobre todo lo segundo es un error principal; nada tiene sentido en este contexto si no uso que las variables son cúbicas


Un saludo,
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