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Autor Tema: Aproximar mediante el método de bisección.  (Leído 733 veces)
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Estudiantee
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« : 19/04/2017, 01:25:11 pm »

Hola, tengo dudas a la hora de aplicar el método de bisección. Las ilustro con el siguiente ejemplo.

  Aproximar mediante el método de bisección las raíces del polinomio
 [texx]p(x)=x^3+4x^2-3x-5[/texx]
 de forma que el error relativo en las estimaciones obtenidas sea menor que [texx]10^{-2}[/texx]

 Mis dudas son las siguientes.
 Aplico Bolzano y deduzco que a los sumo hay 3 raíces en los intervalos.

  [texx](-\infty,-3),(-3,\displaystyle\frac{1}{3}),(\displaystyle\frac{1}{3},+\infty)[/texx]
 Y ahora
 Como no me dan un intervalo donde aplicar el método de bisección, tengo que hacerlo en los 3, pero cómo lo hago en los intervalos que contienen un infinito?
  Otra duda es como hallar  el error que me piden. Creo que de la siguiente relación puedo sacarlo. Si [texx]\alpha[/texx]  es raíz entonces [texx]\alpha-\displaystyle\frac{a_n+b_n}{2^{n+1}}[/texx]
 Bisección se halla en los 3 intervalos?
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Si alguien me invita a forocoches, se lo agradecería.
mathtruco
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« Respuesta #1 : 19/04/2017, 01:32:44 pm »

Hola Estudiantee.

El método de bisección asegura que en funciones continuas (como es tu caso), si [texx]f(a)f(b)<0[/texx] (es decir, si [texx]f(a)[/texx] y [texx]f(b)[/texx] tienen distinto signo) entonces [texx]f[/texx] tiene una raíz dentro del intervalo [texx](a,b)[/texx] (también podría tener más de una raíz en ese intervalo, pero al menos tiene una).

Por ejemplo, [texx]f(-3)f(-5)<0[/texx], por lo que puedes aplicar bisección en [texx][a,b]=[-5,-3][/texx]. Del mismo modo en los otros intervalos, eliges  [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] en los intervalos, analizas los signos de [texx]f[/texx] en esos puntos, y si no son distintos te das un intervalo más grande.

Sobre el error, en la n-ésima iteración está acotado por [texx]\dfrac{|b-a|}{2^n}[/texx], es fácil probarlo.
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Ignacio Larrosa
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« Respuesta #2 : 19/04/2017, 01:47:45 pm »

Hola Estudianteee,

El applet de este mensaje te puede resultar de utilidad con las cuentas.

Saludos,
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Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)
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« Respuesta #3 : 19/04/2017, 01:50:10 pm »

Haciendo cuentas he llegado a que en

 [texx][-5,-4][/texx] hay un 0 (hay una raíz) que en [texx][-1,0][/texx] hay un 0 y que en [texx][1,4][/texx] tenemos otro 0.

 Bien ahora aplicaría el método de bisección a cada intervalo de manera que haya un error de [texx]10^-2[/texx]
  Por ejemplo, en el intervalo [texx][-5,-4][/texx] tendríamos que [texx]\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\leq{10^-2}[/texx] y llego a que para que se cumpla ese error, [texx]n\leq{6}[/texx] siendo n el número de iterraciones. Correcto?
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« Respuesta #4 : 19/04/2017, 01:50:47 pm »

Hola Estudianteee,

El applet de este mensaje te puede resultar de utilidad con las cuentas.

Saludos,
Gracias, le echaré un vistazo.
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« Respuesta #5 : 19/04/2017, 03:37:19 pm »

Bien ahora aplicaría el método de bisección a cada intervalo de manera que haya un error de [texx]10^-2[/texx]
  Por ejemplo, en el intervalo [texx][-5,-4][/texx] tendríamos que [texx]\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\leq{10^-2}[/texx] y llego a que para que se cumpla ese error, [texx]n\leq{6}[/texx] siendo n el número de iterraciones. Correcto?

Olvidémonos de la fórmula del error por un momento, porque creo que el paso cero para ti es mi paso uno, entonces el [texx]n[/texx] nos dará diferente.

La primera aproximación de la raíz es [texx]x_0=\dfrac{b-a}{2}[/texx], justo el punto medio del intervalo [texx][a,b][/texx], por lo que el error será

    [texx]|\alpha-x_0|<\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1}{2}=0.5[/texx].

En el siguiente paso nos olvidamos de la mitad del intervalo anterior, y el nuevo intervalo lo volvemos a dividir por dos y por lo que la nueva aproximación para la raíz [texx]x_1[/texx] tiene un error

    [texx]|\alpha-x_1|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}2}}=\dfrac{1}{2^2}=0.25[/texx].

Y así seguimos subdividiendo los intervalos en 2:

    [texx]|\alpha-x_2|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}3}}=\dfrac{1}{2^3}=0.125[/texx].

    [texx]|\alpha-x_3|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}4}}=\dfrac{1}{2^4}=0.0625{\color{red}<10^{-2}=0.1}[/texx].

y ahí paramos, ¿no?
Ahora, si queremos usar la fórmula habrá que aplicar logaritmos...  pero debes llegar a lo mismo.
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« Respuesta #6 : 22/04/2017, 12:52:55 pm »

He estado liado un poco.
 
Bien ahora aplicaría el método de bisección a cada intervalo de manera que haya un error de [texx]10^-2[/texx]
  Por ejemplo, en el intervalo [texx][-5,-4][/texx] tendríamos que [texx]\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\leq{10^-2}[/texx] y llego a que para que se cumpla ese error, [texx]n\leq{6}[/texx] siendo n el número de iterraciones. Correcto?

Olvidémonos de la fórmula del error por un momento, porque creo que el paso cero para ti es mi paso uno, entonces el [texx]n[/texx] nos dará diferente.

La primera aproximación de la raíz es [texx]x_0=\dfrac{b-a}{2}[/texx], justo el punto medio del intervalo [texx][a,b][/texx], por lo que el error será

    [texx]|\alpha-x_0|<\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1}{2}=0.5[/texx].

En el siguiente paso nos olvidamos de la mitad del intervalo anterior, y el nuevo intervalo lo volvemos a dividir por dos y por lo que la nueva aproximación para la raíz [texx]x_1[/texx] tiene un error

    [texx]|\alpha-x_1|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}2}}=\dfrac{1}{2^2}=0.25[/texx].

Y así seguimos subdividiendo los intervalos en 2:

    [texx]|\alpha-x_2|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}3}}=\dfrac{1}{2^3}=0.125[/texx].

    [texx]|\alpha-x_3|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}4}}=\dfrac{1}{2^4}=0.0625{\color{red}<10^{-2}=0.1}[/texx].

y ahí paramos, ¿no?
Ahora, si queremos usar la fórmula habrá que aplicar logaritmos...  pero debes llegar a lo mismo.
Es que tú has puesto que [texx]10^-2=0.1[/texx] y es [texx]0.01[/texx]
Pero si yo aplico la fórmula llego a que
 
 [texx]\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\leq{0,01}[/texx] y entonces a partir de la iteracción 6 ya el error es menor que 0.01


 UNA PREGUNTA. El error va a ser el mismo en los demás intervalos donde se aplica el método de bisección?

 Saludos y gracias.
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« Respuesta #7 : 25/04/2017, 10:56:45 am »

Es que tú has puesto que [texx]10^-2=0.1[/texx] y es [texx]0.01[/texx]

Tienes razón!! Mi error. Pero ya sabes como se hace, ¿no?

Pero si yo aplico la fórmula llego a que
 
 [texx]\displaystyle\frac{1}{2^{n+1}}\leq{0,01}[/texx] y entonces a partir de la iteracción 6 ya el error es menor que 0.01

Efectivamente. Aprovecho el copy+paste para escribir las cuentas:

Olvidémonos de la fórmula del error por un momento, porque creo que el paso cero para ti es mi paso uno, entonces el [texx]n[/texx] nos dará diferente.

La primera aproximación de la raíz es [texx]x_0=\dfrac{b-a}{2}[/texx], justo el punto medio del intervalo [texx][a,b][/texx], por lo que el error será

    [texx]|\alpha-x_0|<\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1}{2}=0.5[/texx].

En el siguiente paso nos olvidamos de la mitad del intervalo anterior, y el nuevo intervalo lo volvemos a dividir por dos y por lo que la nueva aproximación para la raíz [texx]x_1[/texx] tiene un error

    [texx]|\alpha-x_1|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}2}}=\dfrac{1}{2^2}=0.25[/texx].

Y así seguimos subdividiendo los intervalos en 2:

    [texx]|\alpha-x_2|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}3}}=\dfrac{1}{2^3}=0.125[/texx].

    [texx]|\alpha-x_3|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}4}}=\dfrac{1}{2^4}=0.0625{\color{red}<10^{-2}=0.1}[/texx].



    [texx]|\alpha-x_4|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}5}}=\dfrac{1}{2^5}=0.031250[/texx].

    [texx]|\alpha-x_5|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}6}}=\dfrac{1}{2^6}=0.015625[/texx].

    [texx]|\alpha-x_6|<\dfrac{b-a}{2^{\color{red}7}}=\dfrac{1}{2^7}=0.0078125[/texx].

Llegamos hasta esa iteración porque el error debe ser menor que 0.01.

Obviamente, como mencioné antes, podríamos haber aplicado logaritmo en la fórmula del error...   pero como son pocas iteraciones prefiero hacerlo así.

UNA PREGUNTA. El error va a ser el mismo en los demás intervalos donde se aplica el método de bisección?

 Saludos y gracias.

Buena observación. La respuesta es sí, el error sólo dependerá de cuan grande es el intervalo. Por eso, si uno intuye donde está la razón, lo más conveniente es tomar el intervalo más pequeño que la contenga.
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