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Autor Tema: ¿Cómo despejo esta ecuación?  (Leído 519 veces)
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Bloost
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« : 19/04/2017, 07:29:37 pm »

Se supone que tengo que dejar las x de un lado y los y del otro.
[texx] x^2y' = 1 - x^2 + y^2 - x^2y^2 [/texx]
[texx]y'[/texx] Es la derivada de [texx]y[/texx]

Les dejo el procedimiento que hice y no se como continuar:
[texx] x^2y' + x^2y^2= 1 - x^2 + y^2 [/texx]

[texx] \frac{x^2y' + x^2y^2}{x^2}= \frac{1 - x^2 + y^2}{x^2} [/texx]

[texx] y' + y^2= \frac{1 - x^2 + y^2}{x^2} [/texx]
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Juan Pablo
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« Respuesta #1 : 19/04/2017, 07:42:16 pm »

Bienvenido al foro Bloost

Suma a ambos lados de la igualdad [texx] x^2 + x^2 \cdot y^2 [/texx]

Debes poner bien el país.

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delmar
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« Respuesta #2 : 19/04/2017, 07:55:15 pm »

Hola

Otra forma :

¿Qie te parece si lo pones en la forma siguiente ?

[texx]x^2y'=(1+y^2)-x^2(1+y^2)\Rightarrow{x^2y'=(1+y^2)(1-x^2)}[/texx]

Esto finalmente implica :

[texx]\displaystyle\frac{y'}{1+y^2}=\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2}[/texx]

Ojo, con la suposición que [texx]x\neq{0}[/texx], es decir considerando intervalos que excluyan a [texx]x=0[/texx]

Saludos
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Bloost
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« Respuesta #3 : 20/04/2017, 05:55:15 pm »

Hola

Otra forma :

¿Qie te parece si lo pones en la forma siguiente ?

[texx]x^2y'=(1+y^2)-x^2(1+y^2)\Rightarrow{x^2y'=(1+y^2)(1-x^2)}[/texx]

Esto finalmente implica :

[texx]\displaystyle\frac{y'}{1+y^2}=\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2}[/texx]

Ojo, con la suposición que [texx]x\neq{0}[/texx], es decir considerando intervalos que excluyan a [texx]x=0[/texx]

Saludos

Ahora tengo otra ecuación que no se despejar

[texx]2y' = \frac{y}{x} - \frac{x}{y^2} [/texx]
Lo mismo que la anterior, tengo que dejar las [texx]y[/texx] en el lado izquierdo
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ingmarov
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« Respuesta #4 : 20/04/2017, 06:09:21 pm »

Hola

Otra forma :

¿Qie te parece si lo pones en la forma siguiente ?

[texx]x^2y'=(1+y^2)-x^2(1+y^2)\Rightarrow{x^2y'=(1+y^2)(1-x^2)}[/texx]

Esto finalmente implica :

[texx]\displaystyle\frac{y'}{1+y^2}=\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2}[/texx]

Ojo, con la suposición que [texx]x\neq{0}[/texx], es decir considerando intervalos que excluyan a [texx]x=0[/texx]

Saludos
...
Lo mismo que la anterior, tengo que dejar las [texx]y[/texx] en el lado izquierdo

Es que el siguiente paso es integrar en y a la izquierda y en x a la derecha, lo que tienes es una ecuación diferencial con variables separables.

Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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« Respuesta #5 : 20/04/2017, 06:13:03 pm »

Cita
Es que el siguiente paso es integrar en y a la izquierda y en x a la derecha, lo que tienes es una ecuación diferencial con variables separables.

Saludos

Lo se, pero antes de integrar tengo que separar las y y las x. No puedo integrar como esta ahora la ecuación o si?
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ingmarov
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« Respuesta #6 : 20/04/2017, 06:14:50 pm »

Hice una corrección

Cita
Es que el siguiente paso es integrar en y a la izquierda y en x a la derecha, lo que tienes es una ecuación diferencial con variables separables.

Saludos

Lo se, pero antes de integrar tengo que separar las y y las x. No puedo integrar como esta ahora la ecuación o si?

Claro que sí.

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« Respuesta #7 : 20/04/2017, 06:44:22 pm »

Hice una corrección

Claro que sí.

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Llegué a un resultado completamente distinto

[texx] \sqrt[3]{\frac{x^2 + c}{2ln(x) - 4}} [/texx]

¿En que me podre haber equivocado tanto?  :cara_de_queso: :sorprendido:

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« Respuesta #8 : 20/04/2017, 07:02:32 pm »

...

¿En que me podre haber equivocado tanto?  :cara_de_queso: :sorprendido:




No sé adivinar, si publicas todo tu procedimiento diremos dónde te equivocaste está tu error.
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« Respuesta #9 : 20/04/2017, 08:24:21 pm »

No sé adivinar, si publicas todo tu procedimiento diremos dónde te equivocaste está tu error.

[texx] 2\int dy = \int \frac{y}{x} dx - \int \frac{x}{y^2} dx [/texx]

[texx]2y = y ln(x) - \frac {x^2}{2y^2} + C [/texx]

[texx]2y^3 = y^3ln(x) - \frac{x^2}{2} + C[/texx]

[texx]\frac{x^2}{2} + C = y^3ln(x) - 2y^3[/texx]

[texx]\frac{x^2}{2} + C = y^3(lnx - 2)[/texx]

[texx]\frac{\frac{x^2}{2} + C}{ln(x) - 2} = y^3[/texx]

[texx]\frac{x^2 + C}{2ln(x) - 4} = y^3[/texx]

[texx]\sqrt[3]{\frac{x^2 + C}{2ln(x) - 4}} = y[/texx]
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« Respuesta #10 : 20/04/2017, 09:14:07 pm »

Mmm

Yo integré

...

[texx]\displaystyle\frac{y'}{1+y^2}=\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2}[/texx]

Ojo, con la suposición que [texx]x\neq{0}[/texx], es decir considerando intervalos que excluyan a [texx]x=0[/texx]

Saludos

Recuerda que

Se supone que tengo que dejar las x de un lado y los y del otro.
...


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« Respuesta #11 : 20/04/2017, 10:18:42 pm »

Mmm

Yo integré

...

[texx]\displaystyle\frac{y'}{1+y^2}=\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2}[/texx]

Ojo, con la suposición que [texx]x\neq{0}[/texx], es decir considerando intervalos que excluyan a [texx]x=0[/texx]

Saludos

Recuerda que

Se supone que tengo que dejar las x de un lado y los y del otro.
...




Estamos resolviendo ejercicios distintos
[texx]\displaystyle\frac{y'}{1+y^2}=\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2}[/texx]
y
[texx]2y' = \frac{y}{x} - \frac{x}{y^2} [/texx]
No son el mismo ejercicio

Acabo de hacer la primera integral y llegue al mismo resulto que vos llegaste.
¿Entonces tengo que asumir que el resultado al que llegue en la segunda ecuación esta mal porque no se puede integrar sin antes separar las variables?
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« Respuesta #12 : 20/04/2017, 11:20:17 pm »

Para la próxima te recomiendo abrir otro hilo, así no hay confusión.

Editado

Esa segunda ecuación parece una de Bernoulli, en un momento editaré este mensaje con la solución

Primero multiplicamos todo por [texx]y^2[/texx] nos queda

[texx]2y^2y'-\frac{1}{x}y^3=-x[/texx] (2)   (también "pasé" un término al lado izquierdo)

Ahora hacemos [texx]w=y^{1-(-2)}=y^3[/texx].  (3)

Derivamos
[texx]\dfrac{dw}{dx}=3y^2\dfrac{dy}{dx}[/texx].   (4)

Sustituimos 3 y 4 en 2 y nos queda

[texx]\dfrac{2}{3}\dfrac{dw}{dx}-\dfrac{1}{x}w=-x[/texx]

Que es una ecuación lineal, ¿puedes resolverla?

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