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Autor Tema: Ecuación diferencial representando población  (Leído 282 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
anaconesa
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« : 19/04/2017, 08:27:52 am »

Hola quisiera saber como se hace este ejercicio:
Sea [texx]p(t)[/texx] el número de peces de cierta especie que pueblan una laguna en el tiempo [texx]t[/texx], que se mide en meses. Si se parte de [texx]200[/texx] peces y [texx]p(t)[/texx] satisface la ecuación diferencial

[texx]p'(t)=0,08p(t)(1-p(t)/1000)-15[/texx],

determine el número de peces que habrá dentro de [texx]2[/texx], [texx]10[/texx] y [texx]50[/texx] meses. Según el modelo, ¿en qué mes se extingue la población? ¿Hay alguna solución de equilibrio para la ecuación anterior?
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el_manco
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« Respuesta #1 : 19/04/2017, 08:33:42 am »

Hola quisiera saber como se hace este ejercicio:
Sea [texx]p(t)[/texx] el número de peces de cierta especie que pueblan una laguna en el tiempo [texx]t[/texx], que se mide en meses. Si se parte de [texx]200[/texx] peces y [texx]p(t)[/texx] satisface la ecuación diferencial

[texx]p'(t)=0,08p(t)(1-p(t)/1000)-15[/texx],

determine el número de peces que habrá dentro de [texx]2[/texx], [texx]10[/texx] y [texx]50[/texx] meses. Según el modelo, ¿en qué mes se extingue la población? ¿Hay alguna solución de equilibrio para la ecuación anterior?


¿Qué has intentado?.

En primer lugar resuelve la ecuación diferencial con la condición inicial [texx]p(0)=200.[/texx] Es una ecuación en variables separadas.

Se extingue la población cuando [texx]p(t)=0[/texx].

Hay una situación de equilibrio si [texx]p'(t)=0[/texx].

Saludos.

P.D. La ecuación es:

[texx]p'(t)=0.08p(t)\left(1-\dfrac{p(t)}{1000}\right)-15[/texx]

¿No?.
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anaconesa
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« Respuesta #2 : 19/04/2017, 11:51:06 am »

Muchas gracias!
si esa es la ecuación.
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delmar
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« Respuesta #3 : 19/04/2017, 02:51:29 pm »

Hola

Un complemento al aporte de el_manco

Lo que se desea conocer es una función p(t), denominando [texx]y=p(t)[/texx], en la ecuación diferencial se tiene :

[texx]y'=0.08y-0.00008y^2-15[/texx]

Ojo suponiendo que para  [texx]t\geq{0}[/texx], se tiene que [texx]0.08y-0.00008y^2-15\neq{0}[/texx], se tiene :

[texx]\displaystyle\frac{y'}{0.08y-0.00008y^2-15}=1[/texx]

La expresión de la izquierda es una función continua para [texx]t\geq{0}[/texx], obviamente si se cumple la suposición. Luego el integral existe y se puede poner :

[texx]\displaystyle\int_{0}^{t} \ \displaystyle\frac{y'}{0.08y-0.00008y^2-15} \ dt=\displaystyle\int_{0}^{t} \ dt[/texx]

Se puede arreglar mejor :

[texx]\displaystyle\frac{-1}{0.00008}\displaystyle\int_{0}^{t} \ \displaystyle\frac{y'}{y^2-1000y+187500} \ dt=t[/texx]

En este punto el integrando lo puedes descomponer como una suma de fracciones simples de tal manera que :

[texx]\displaystyle\frac{1}{y^2-1000y+187500}=\displaystyle\frac{A}{y-r_1}+\displaystyle\frac{B}{y-r_2}[/texx]

Donde : [texx]r_1, \ r_2[/texx] son las raíces de [texx]y^2-1000y+187500[/texx], se utiliza la fórmula cuadrática para hallarlas son valores que se pueden determinar, A, B son constantes a determinar a partir del hecho :

[texx](A+B)y-Ar_2-Br_1=1[/texx]

Esto implica :

[texx]A+B=0[/texx]

[texx]-Ar_2-Br_1=1[/texx]

Se encuentran A y B y las integraciones se hacen por el método de sustitución, se ha de tener en cuenta que [texx]y(0)=200[/texx] y que el logaritmo sólo existe para valores positivos y demás esta decirlo que se ha de verificar la hipótesis, esto trae sus implicancias.

Saludos
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anaconesa
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« Respuesta #4 : 20/04/2017, 09:38:46 am »

¿y como se sabría los peces que hay dentro de 2, 10 y 50 meses?
Gracias.
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el_manco
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« Respuesta #5 : 20/04/2017, 10:00:32 am »

Hola

¿y como se sabría los peces que hay dentro de 2, 10 y 50 meses?
Gracias.

Una vez resuelto, son respectivamente [texx]p(2),p(10),p(50).[/texx]

Pero si no sabías esto es que no entiendes para nada el enunciado del ejercicio.

Desde el principio nos dicen que [texx]p(t)[/texx] representa la población trasncurridos [texx]t[/texx] meses.

Relee con calma el enunciado y pregunta lo que no entiendas.

Saludos.
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el_manco
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« Respuesta #6 : 20/04/2017, 11:00:20 am »

Hola

Como sería la solución de esta integral:

[texx]\displaystyle\frac{-1}{0,00008}\displaystyle\int_{t}^{0}\displaystyle\frac{y'}{y^2-1000y+187500}dt=t[/texx]

Suponiendo que [texx]t\geq{0}[/texx] y se que es una ecuación de variables separadas

Habías hecho la pregunta en otro hilo; la he traído a este porque claramente es la continuación natural de ese ejercicio.

La cosa es que delmar ya te ha indicado cómo resolver esa integral:

En este punto el integrando lo puedes descomponer como una suma de fracciones simples de tal manera que :

[texx]\displaystyle\frac{1}{y^2-1000y+187500}=\displaystyle\frac{A}{y-r_1}+\displaystyle\frac{B}{y-r_2}[/texx]

Donde : [texx]r_1, \ r_2[/texx] son las raíces de [texx]y^2-1000y+187500[/texx], se utiliza la fórmula cuadrática para hallarlas son valores que se pueden determinar, A, B son constantes a determinar a partir del hecho :

[texx](A+B)y-Ar_2-Br_1=1[/texx]

¿Has intentado aplicar lo que te ha dicho?¿Qué dificultad concreta encuentras? Lo que no tiene sentido es que te hagamos los ejercicios sin que entiendas nada o sin que hagas algo por ti misma.

Saludos.
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