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Autor Tema: Difeomorfismo entre Superficies  (Leído 344 veces)
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Julio_fmat
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« : 15/04/2017, 07:41:09 pm »

Decida si las dos superficies [texx]S_1[/texx] y [texx]S_2[/texx] son difeomorfas o no en estos casos:

i) [texx]S_1=\mathbb{R}^2[/texx] y [texx]S_2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2=z\}[/texx]

Hola, por definición...

1) Tenemos que mostrar que [texx]f: S_1\to S_2[/texx] es suave ssi [texx]F_2^{-1}\circ f\circ F_1[/texx] es suave.

2) También debemos probar que si [texx]f[/texx] es biyectiva y suave, entonces [texx]f^{-1}: S_2\to S_1[/texx] es suave.

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« Respuesta #1 : 16/04/2017, 03:02:43 pm »

Hola Julio_fmat.

 Si definimos la función [texx]f:S_{1}\to S_{2}[/texx] por [texx]f(x,y)=(x,y,x^{2}+y^{2})[/texx] es fácil ver que [texx]g:S_{2}\to S_{1}[/texx] definida por [texx]g(x,y,z)=(x,y)[/texx] es su inversa. Ahora sólo hay que ver tanto [texx]f[/texx] como [texx]g[/texx] son diferenciables. Trata de terminar y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 19/04/2017, 07:35:59 am »

Hola

Sean [texx]S_1=\mathbb{R}^2[/texx] y [texx]S_2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2=z\}[/texx] dos superficies. Decida si son o no difeomorfas. Justifique su respuesta.

Hola, pues usamos la definición?

[texx]f[/texx] es un difeomorfismo ssi [texx]f:S_1\to S_2[/texx] es biyectiva y suave y, si y solo si, [texx]F_2^{-1}\circ f\circ F_1[/texx] es suave. Además, [texx]f^{-1}: S_2\to S_1[/texx] es suave.

Define:

[texx]f(x,y)=(x,y,x^2+y^2)[/texx]

y comprueba que es un difeomorfismo.

Saludos.
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« Respuesta #3 : 19/04/2017, 07:40:35 am »

Hola.

Sí. Pistas: Escribamos las coordenadas de [texx]S_1[/texx] como [texx]X(x,y) = (x,y)[/texx]  y las de [texx]S_2[/texx] como [texx]Y(u,v) = (u,v,u^2+v^2)[/texx]. Ahora considera la aplicación [texx]\varphi : Y \to \mathbb{R}^2, \quad \varphi (x_1,x_2,x_3) = (x_1,x_2)[/texx]. Observa cuál es la composición [texx]\varphi \circ Y[/texx]. Observa cuál es la composición [texx]Y^{-1} \circ \varphi^{-1}[/texx]. Con esto deberías poder acabar el ejercicio.

Saludos.

Pd: se adelantó el_manco :rodando_los_ojos:
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
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« Respuesta #4 : 19/04/2017, 07:58:26 pm »

Hola Julio_fmat.

 Hiciste básicamente la misma pregunta en este otro hilo. Si tenías más dudas al respecto, lo mejor hubiese sido que continúes preguntando en el hilo original.

Saludos,

Enrique.


Pd: se adelantó el_manco :rodando_los_ojos:

 De hecho me adelanté a los dos  :risa:.



Combiné este tema con el otro donde había repetido la pregunta. (el_manco)
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Julio_fmat
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« Respuesta #5 : 21/04/2017, 02:54:25 am »

Hola Julio_fmat.

 Hiciste básicamente la misma pregunta en este otro hilo. Si tenías más dudas al respecto, lo mejor hubiese sido que continúes preguntando en el hilo original.

Saludos,

Enrique.


Pd: se adelantó el_manco :rodando_los_ojos:

 De hecho me adelanté a los dos  :risa:.

Muchas Gracias EnRique y manco. La verdad es que lo resolvi así...

Sea [texx]f:S_1\to S_2[/texx] definida por [texx](x,y)\mapsto f(x,y)=(x,y,x^2+y^2)[/texx]

PDQ: [texx]f[/texx] es biyectiva

En efecto, primero mostramos que es inyectiva. Se tiene

[texx]\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}^2, f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\implies (x_1,y_1)=(x_2,y_2).[/texx]

Es decir, [texx]f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\implies (x_1,y_1,x_1^2+y_1^2)=(x_2,y_2,x_2^2+y_2^2)\implies x_1=x_2,y_1=y_2\implies (x_1,y_1)=(x_2,y_2).[/texx]

PDQ: [texx]f[/texx] es sobreyectiva

[texx]\forall (x,y,z)\in S_2,\exists (x,y)\in \mathbb{R}^2: f(x,y)=z[/texx]

Se tiene que [texx]x^2+y^2=z\implies x^2=z-y^2\implies x=\pm \sqrt{z-y^2}[/texx]

Luego, [texx]f[/texx] es sobreyectiva.

Así, se tiene que [texx]f[/texx] es biyectiva.

PDQ: [texx]f[/texx] es diferenciable, y por lo tanto suave.

[texx]f[/texx] es diferenciable, porque es composición de funciones diferenciables.

Luego, [texx]f^{-1}:S_2\to S_1[/texx] dada por [texx]f^{-1}(x,y,z)=(u,v)[/texx] es suave.

Finalmente, [texx]f[/texx] es un difeomorfismo.
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« Respuesta #6 : 21/04/2017, 05:03:46 am »

Hola

PDQ: [texx]f[/texx] es sobreyectiva

[texx]\forall (x,y,z)\in S_2,\exists (x,y)\in \mathbb{R}^2: f(x,y)=z[/texx]

Se tiene que [texx]x^2+y^2=z\implies x^2=z-y^2\implies x=\pm \sqrt{z-y^2}[/texx]

Luego, [texx]f[/texx] es sobreyectiva.

No está bien explicado. No se entiende porque despejas [texx]x[/texx], de hecho no hace falta.

Simplemente como [texx](x,y,z)\in S_2[/texx], necesariamente [texx]z=x^2+y^2[/texx]. Por tanto [texx](x,y,z)=(x,y,x^2+y^2)=f(x,y)[/texx].

Luego, [texx]f^{-1}:S_2\to S_1[/texx] dada por [texx]f^{-1}(x,y,z)=(u,v)[/texx] es suave.

Sería [texx]f^{-1}(x,y,z)=(x,y)[/texx].

Saludos.



Combiné este tema con el otro donde habías repetido la pregunta.
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