Conjetura de triángulos rectos semejantes

[Jchavez]

Hola

Como sabemos, hay muchos triángulos rectángulos en donde sus hipotenusas son inconmensurables, o que es lo mismo, con valores de infinitos decimales. Y no quiero entrar a discutir esto, solo dejémoslo en consideración y asumamos esta definición.

Ahora, también otros triángulos con hipotenusas conmensurables, como es el caso del triángulo 345, donde en efecto la hipotenusa es 5, y no tiene infinitos decimales. Para este tipo de triángulos conmensurables podemos encontrar triángulos semejantes con hipotenusas inconmensurables. La pregunta es:

¿Todos los triángulos inconmensurables tienen triángulos conmensurables semejantes?

Y en forma de conjetura:

Todos los triángulos con hipotenusas inconmensurables tienen triángulos semejantes con hipotenusas conmensurables.

Y para ser más específicos:

Todo triángulo con hipotenusa con un valor de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con hipotenusa con un valor sin infinitos decimales.

Quiero saber si ya hay alguien que lo haya resuelto, y si no, pues bienvenido el que quiera demostrarlo.



REPLANTEADA

Todo triángulo con solo la hipotenusa con un valor de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.


REPLANTEADA

Ningún triángulo con solo la hipotenusa de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.


REPLANTEADA
(Gracias a los comentaristas por ayudar a formarla, espero que no muera tan rápido, o si)

Con cualquier combinación de ángulos en un triángulo rectángulo, es posible construir uno con todos sus lados sin infinitos decimales

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenido al foro Jchavez.

Tienes [texx]\dfrac{1}{3} [/texx]tiene infinitos decimales y podría ser el valor de una hipotenusa.

Si tienes que un triangulo rectángulo con lados [texx]a,b [/texx] e hipotenusa [texx]\alpha [/texx] se cumple [texx] \alpha^2 = a^2+b^2 [/texx] divides por [texx]\alpha^2 [/texx] y queda

[texx] 1 = (\dfrac{a}{\alpha})^2+(\dfrac{b}{\alpha})^2 [/texx] y el primer triángulo es semejante el triangulo de lados [texx] \dfrac{a}{\alpha},\dfrac{b}{\alpha} [/texx] e hipotenusa [texx] 1 [/texx]

Donde [texx] \alpha [/texx] puede ser por ejemplo [texx]\sqrt{2} [/texx]

Si tenemos un triángulo rectángulo cumpliendo [texx] q^2 = a^2+b^2 [/texx] donde [texx] q [/texx] tiene una cantidad finita de decimales toma el triangulo de lados [texx] \sqrt{2} \cdot a ,b \cdot \sqrt{2} [/texx]  e

hipotenusa [texx] \sqrt{2} \cdot q [/texx]

[Jchavez]

Mm vale, entonces, por decir, el triángulo semejante con hipotenusa sin infinitos decimales de:

[texx]1 , 1 , \sqrt[ ]{2}[/texx]

Es

[texx]a = \sqrt[ ]{0,5} , b = \sqrt[ ]{0,5} , h = 1[/texx],

Pero quisiera replantear la conjetura:

Todo triángulo con solo la hipotenusa con un valor de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.

[mathtruco]

Hola Jchavez.

Revisemos tu conjetura.

Todo triángulo con solo la hipotenusa con un valor de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con lados catetos sin infinitos decimales.

Con "lados" supongo querías decir catetos, aunque en ambos casos la conjetura es falsa.

Como ejemplo toma la hipotenusa [texx]\sqrt{\pi}[/texx] y la medida de un cateto [texx]\sqrt{e}[/texx].

Añado un ejemplo más simple: el triángulo de lados [texx]\color{red}\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}[/texx].

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Y sobre los símbolos LaTeX: sí funcionan. Revisa este tutorial para saber como. Si te quedan dudas nos preguntas.

[Jchavez]

Hola, gracias, ya aprendí cómo era.

No, con lados me refiero a catetos e hipotenusa. Y si, hay triángulos con solo números de infinitos decimales en todos sus lados, pero hablo de los que solo lo tienen en la hipotenusa.

Replanteo la conjetura.

Ningún triángulo con solo la hipotenusa con un valor de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.

[mathtruco]

Para ponernos de acuerdo:

  - supongo que los números "inconmensurables" o "con infinitos decimales" quieres decir los números irracionales (como el [texx]\sqrt{2},\pi,e[/texx]),
  - y que con números "conmensurables" quieres decir los números racionales (como el [texx]1[/texx], [texx]2.2525[/texx]).

"Números infinitesimales" es otra cosa.

Pero quisiera replantear la conjetura:

Todo triángulo con solo la hipotenusa con un valor de infinitos decimales tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.

Reescribámosla:

    1. Todo triángulo rectángulo con la hipotenusa un número irracional y sus catetos números racionales, tiene un triángulo semejante con lados racionales.

Respuesta: Falso. Basta tomar el triángulo de lados [texx]\sqrt{2},1,1[/texx], que no tendrá ningún triángulo semejante a él con todos sus lados racionales.


P.D. Edité este mensaje uniendo mis dos últimos mensajes.

[Jchavez]

Soy un infiltrado de Filosofía entonces perdonen mi impresicion y términos griegos para nada actuales.

Cuando me refiero a números con infinitos decimales , me refiero a todos, incluyendo a los irracionales y 1/3.

Por las moscas. Si puedes afirmar que todas las hipotenusas con infinitos decimales son irracionales, pues la cambiare.

Y la replantee (que era la idea de esta publicación)


Ningún triángulo con solo la hipotenusa de infinitos decimales, tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.


Con lados, me refiero a catetos e hipotenusa.

[Jchavez]

Pensándolo bien, quiero abrir un poco más la conjetura:

Con cualquier combinación de ángulos en un triángulo rectángulo, es posible construir un triángulo con todos sus lados sin infinitos decimales

Con lados me refiero a catetos e hipotenusa.

[mathtruco]

Soy un infiltrado de Filosofía entonces perdonen mi impresicion y términos griegos para nada actuales.

No hay problema, mientras nos pongamos de acuerdo con qué significa cada término que usemos y seamos coherentes.

Cuando me refiero a números con infinitos decimales , me refiero a todos, incluyendo a los irracionales y 1/3.

Tenemos un problema con el [texx]1/3[/texx].

Los números racionales [texx]x[/texx] son todos los reales que puedan escribirse como [texx]x=\dfrac{p}{q}[/texx], donde [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] son enteros. De esta forma [texx]1/3[/texx] es racional. Y todos los números reales que no sean racionales les llamamos números irracionales.

Entonces, lo que llamas "números con infinitos decimales" serían todos los irracionales y algunos racionales.

Pero esto no da problemas. Analicemos tu conjetura.

Ningún triángulo con solo la hipotenusa de infinitos decimales, tiene un triángulo semejante con lados sin infinitos decimales.

Tu conjetura es cierta. Para demostrarla basta recordar que un triángulo de lados [texx]a,b,c[/texx] es semejante a otro, si este último tiene lados [texx]\lambda a,\lambda b,\lambda c[/texx], con [texx]\lambda >0[/texx].

De esta forma,

    - si sólo la hipotenusa [texx]c[/texx] es irracional, entonces ¿qué valor debe tomar lambda?
    - y si la hipotenusa es un número con infinitos decimales de la forma [texx]p/q[/texx], entonces alguno de los lados también, así que no cumple la hipótesis.



Vamos a la actualización de la proposición:

Pensándolo bien, quiero abrir un poco más la conjetura:

Con cualquier combinación de ángulos en un triángulo rectángulo, es posible construir uno con todos sus lados sin infinitos decimales

Con lados me refiero a catetos e hipotenusa.

Supongo que te refieres a:

    Dado un triángulo rectángulo, existe un triángulo semejante a él con todos sus lados sin infinitos decimales.

Y la respuesta es no. Como contraejemplo tomamos [texx]1,1,\sqrt{2}[/texx].

[Jchavez]

Vale, ya quede contento, muchas gracias por tu atención , pero aun me queda una inquietud:

¿La posible combinación de ángulos en un triángulo rectángulo, con los que se pueda construir un triángulo con lados sin infinitos decimales, es limitada o ilimitada?

Si es limitada, ¿cuantos son?

Si es ilimitada, ¿porque no todas combinaciones de ángulos lo permiten?

[mathtruco]

¿Y qué tal si tratas de dar una respuesta y la discutimos?

[Jchavez]

Es avanzado no? (Para mí si).

En efecto hay unos ángulos que no permitirían formar triángulos K (llamemos así a los triángulos con lados sin infinitos decimales), pero como son infinitos los ángulos, posiblemente los triángulos K sean infinitos.

La cuestión es saber si estos van a ser siempre de diferentes ángulos, o si en un punto sucede lo del triángulo 3,4,5 con su triángulo semejante 15,20,25

Desde acá no sabría cómo partir.

[mathtruco]

Mil disculpas Jchavez, lo miré por encima y al ser una pregunta de triángulos rectángulos sospeché que la respuesta podría hacerse con las definiciones de seno y coseno.

Para responder a tu última inquietud podemos analizar la ecuación [texx]c^2=a^2+b^2[/texx], cuyas soluciones enteras se llaman Ternas Pitagóricas, y sabemos que existen infinitas.

Por ejemplo, [texx]a=2k[/texx], [texx]b=k^2-1[/texx] y [texx]c=k^2+1[/texx] formarían un número infinito de triángulos rectángulos que no son semejantes entre sí, y por tanto son triángulos rectángulos que tienen distintos ángulos.


Por curiosidad, ¿para qué quieres resolver estas preguntas? En filosofía suele ser más importante plantearse las preguntas que responderlas.

[Jchavez]

Jaja

Pues primero hay que preguntarse lo que aparentemente se sabe para saber si se sabe, hasta que se encuentran preguntas que no tienen respuestas. O algo así.

La idea es encontrar quiebres.

Démosle la Victoria a Pitagoras por ahora.

Gracias por tu atención, pensare otra pregunta más relevante en estos días.

[mathtruco]

De filosofía sé poco y nada, pero creo que para plantear una preguntas hay que tener comprensión del tema. Plantear preguntas, por ejemplos sobre triángulos, esperando llegar a una buena pregunta por suerte no creo que sea el camino apropiado. Especialmente en geometría, donde hay siglos de desarrollo de filósofos y matemáticos geniales preguntando y hallando respuestas.

Con esto no quiero quitarte las ganas de preguntar, al contrario, te invito a profundizar en el tema que quieras de tal forma de saber qué está resuelto y de ahí partir haciendo conjeturas.