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Autor Tema: Chebyschev  (Leído 8303 veces)
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #140 : 20/06/2017, 09:16:24 am »

Hola

 Mi idea es la siguiente.

 A) Suponer [texx]\mu_X=0[/texx]. Esto puede hacer sin pérdida de generalidad, sin más que tener en cuenta que si desplazamos [texx]X[/texx] a [texx]X-a[/texx] podemos desplazar [texx]Y[/texx] a [texx]Y+a[/texx] sin modificar las covarianzas. En las fórmulas solo influye \[texx]mu_X+\mu_Y[/texx] que no se ve afectado por esta combinación de traslaciones.

 B) Suponer [texx]\sigma_X^2=1[/texx]. Esto también creo que puede hacerse sin pérdida de generalidad, sin más que dividir [texx]X[/texx] por [texx]\sigma_X[/texx].

 Ahora como dices podemos suponer para una primera comparación en (1)  [texx]b=\sqrt{\sigma^2_X/3}=\sqrt{1}{3}[/texx].

 Y en (3) en la de Hoeffding que [texx]X[/texx] tiene el mínimo soporte posible para poder tener covarianza [texx]1[/texx]. Tengamos en cuenta que cuanto menor sea [texx](b-a)[/texx] mejor será la cota.

Ahora sabemos que:

[texx]\sigma_X^2\leq (b-\mu_X)(\mu_X-a)[/texx]

en nuestro caso:

[texx]1\leq -ab[/texx]

de donde:

[texx](b-a)\geq b+\dfrac{1}{b}\geq 2[/texx]

Con estas consideraciones hice algunas gráficas en Mathematica (tengo que revisarlas y ahora tengo que irme).

Me sale que las cotas (1) y (2) a veces son mejores unas que otras; que la cota (3) también mejoran a veces las cotas (1) y (2), pero no a ambas al tiempo. Es decir tomando como cota el mínimo de la cota(1) y (2) se mejora la cota (3) de Hoeffding.

Saludos.
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