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Autor Tema: Chebyschev  (Leído 7257 veces)
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« Respuesta #120 : 22/05/2017, 03:19:26 pm »

Hola

En la respuesta #83 se muestra una distribución con la cual se llega a la desigualdad con igualdad. ¿Cómo se obtiene esa distribución? Bueno, el_manco no se cómo la obtuvo, pero yo hice lo siguiente y llegué a lo mismo. Tomé variables aleatorias que toman solamente dos valores [texx](x_1,x_2),(y_1,y_2)[/texx], luego tomo [texx]P(X=x_1,Y=y_1)=p[/texx] y [texx]P(X=x_2,Y=y_2)=1-p[/texx] y además [texx]x_1+y_1=0,x_2+y_2>0[/texx]. Y en base a estos datos defino la medias (con [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx] y las varianzas respectivas) y se hallan los [texx](x_1,x_2),(y_1,y_2)[/texx] y en función de eso llego a los mismos valores que el_manco.

Ahora, intenté hacer lo mismo para la generalización de Cantelli, pero ahí no es tan fácil. Se podría pensar en hacer [texx]P(X=x_1,Y=y_1)=p_1, P(X=x_1,Y=y_2)=p_2P(X=x_2,Y=y_1)=p_3,P(X=x_2,Y=y_2)=p_4[/texx] obviamente con [texx]p_1+p_2+p_3+p_4=1[/texx], luego respetando la independencia y jugar con los posibles resultados de [texx]x_1+y_1,x_1+y_2,x_2+y_1,x_2+y_2[/texx] cuál de ellos es menor o igual a cero y ver si se puede encontrar [texx](x_1,x_2),(y_1,y_2)[/texx]. Esto es un problema finito y se puede ver si existen distribuciones que tomen solamente dos puntos que cumplan estas condiciones. El tema es que si no fuera así, y una de las variables aleatorias tomara tres puntos, con los datos que tenemos no podríamos hallarlos, pues necesitaríamos momentos de orden mayor a dos. Ese es mi argumento, pero no se si está bien.

Saludos
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« Respuesta #121 : 23/05/2017, 06:40:38 am »

Hola

En la respuesta #83 se muestra una distribución con la cual se llega a la desigualdad con igualdad. ¿Cómo se obtiene esa distribución? Bueno, el_manco no se cómo la obtuvo, pero yo hice lo siguiente y llegué a lo mismo. Tomé variables aleatorias que toman solamente dos valores [texx](x_1,x_2),(y_1,y_2)[/texx], luego tomo [texx]P(X=x_1,Y=y_1)=p[/texx] y [texx]P(X=x_2,Y=y_2)=1-p[/texx] y además [texx]x_1+y_1=0,x_2+y_2>0[/texx]. Y en base a estos datos defino la medias (con [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx] y las varianzas respectivas) y se hallan los [texx](x_1,x_2),(y_1,y_2)[/texx] y en función de eso llego a los mismos valores que el_manco.

Si, bien es una forma. Sinceramente yo no recuerdo ahora mismo exactamente que cuentas hice, pero es lo de menos.

Cita
Ahora, intenté hacer lo mismo para la generalización de Cantelli, pero ahí no es tan fácil. Se podría pensar en hacer [texx]P(X=x_1,Y=y_1)=p_1, P(X=x_1,Y=y_2)=p_2P(X=x_2,Y=y_1)=p_3,P(X=x_2,Y=y_2)=p_4[/texx] obviamente con [texx]p_1+p_2+p_3+p_4=1[/texx], luego respetando la independencia y jugar con los posibles resultados de [texx]x_1+y_1,x_1+y_2,x_2+y_1,x_2+y_2[/texx] cuál de ellos es menor o igual a cero y ver si se puede encontrar [texx](x_1,x_2),(y_1,y_2)[/texx]. Esto es un problema finito y se puede ver si existen distribuciones que tomen solamente dos puntos que cumplan estas condiciones. El tema es que si no fuera así, y una de las variables aleatorias tomara tres puntos, con los datos que tenemos no podríamos hallarlos, pues necesitaríamos momentos de orden mayor a dos. Ese es mi argumento, pero no se si está bien.

No. No necesitaríamos momentos mayor que orden dos. Lo que ocurre es que tendríamos más incógnitas que ecuaciones lo cual indica que, a priori, podría haber infinitas soluciones para esas ecuaciones. Pero es podría condicional. También podría haber un número finito o directamente ninguna solución.

Como ejemplo tonto y sencillo. Yo puedo buscar una distribución en tres puntos que tenga una media [texx]\mu[/texx] prefijada. Me saldrán infinitas distribuciones con esas características, pero eso no significa que necesite más momentos para hallarlas.

Saludos.
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« Respuesta #122 : 23/05/2017, 10:22:43 am »

Hola

el_manco, menos mal que no eres un alumno, y le digas al profesor "No sé realmente cómo es que llegué al resultado, pero ahí está, no?"  :sonrisa_amplia:

De la misma forma que llegué a tu mismo resultado, capaz que se podría intentar obtener hallar ésta distribución, por un procedimiento similar. Yo lo intenté con el Mathematica, pero me da error.

Saludos

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« Respuesta #123 : 23/05/2017, 12:31:56 pm »

Hola

el_manco, menos mal que no eres un alumno, y le digas al profesor "No sé realmente cómo es que llegué al resultado, pero ahí está, no?"  :sonrisa_amplia:

Para ser sincero, es que es cierto que no recuerdo exactamente como llegué a el. Lo curioso es que incluso científicamente esa respuesta es totalmente rigurosa. Es decir si yo compruebo que esa distribución alcanza la cota, da igual como haya llegado a ella. Es irrefutable que se ha probado lo óptimo de esa cota.

Si no me esforcé en refrescar muy memoria es porque considero que no aporta nada esencial al tema que estábamos tratando.

Cita
De la misma forma que llegué a tu mismo resultado, capaz que se podría intentar obtener hallar ésta distribución, por un procedimiento similar. Yo lo intenté con el Mathematica, pero me da error.

¿Exactamente que distribución?. A poco que añadas puntos las cuentas se complican incluso para el Mathematica. Como te he comentado reiteradamente ya he comprobado con el Mathematica en ejemplos de varianzas y medias concretas con distribuciones en dos puntos no se alcanza la cota.

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« Respuesta #124 : 23/05/2017, 02:49:35 pm »

Hola

Por eso, si has probado con varias distribuciones que toman solamente dos puntos, no será que esa cota se alcanza para cotas con más de dos puntos y no tengamos todos los datos para hallarla (si toman más de dos puntos). Y de última, puede ocurrir que ésta cota no sea óptima. Es decir, capaz que deba probarse asintóticamente que es óptima y no tratando de encontrar esa distribución.

Saludos
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« Respuesta #125 : 23/05/2017, 04:57:09 pm »

Hola

Por eso, si has probado con varias distribuciones que toman solamente dos puntos, no será que esa cota se alcanza para cotas con más de dos puntos y no tengamos todos los datos para hallarla (si toman más de dos puntos).

¡Pero qué no! ¡Qué el no tener datos para hallarla no influye! Al contrario. Mas libertad para escoger. Si el problema es conocer el tercer momento (o cuarto, o quinto, o sexto)... ¡dale el valor que quieras y ya tenemos la distribución!

Cita
Y de última, puede ocurrir que ésta cota no sea óptima.


Efectivamente.

Cita
Es decir, capaz que deba probarse asintóticamente que es óptima y no tratando de encontrar esa distribución.

Si se probase eso si sería óptima. La cosa es que directamente quizá no lo sea ni asintóticamente ni nada.

Saludos.

P.D. A la hora de hacer pruebas con distribuciones en dos o más puntos ya recuerdo donde esta el lío. El problema está en que por ejemplo si uno trabaja para [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] en tres puntos [texx]x_i[/texx] e [texx]y_i[/texx] con [texx]i=1,2,3[/texx], el valor de [texx]P(X+Y\leq 0)[/texx] dependerá de que pares de puntos [texx](x_i,y_j)[/texx] cumplen [texx]x_i+y_j\leq 0[/texx] para sumar las correspondientes probabilidades y plantear las ecuaciones para que las resuelva el Mathematica. Eso hace que las ecuaciones no sean continuas, es decir, uno puede imponer unas igualdades que se cumplan presuponiendo por ejemplo que sólo [texx]x_1+y_1\leq 0[/texx] y obtener aparentes soluciones, pero de forma que cuando un comprueba las cosas ve que quizá también con esos valores [texx]x_2+y_1\leq 0[/texx].
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« Respuesta #126 : 06/06/2017, 09:37:15 am »

Hola

Estuve pensando de nuevo con este tema, a ver si me pueden aclarar las siguientes dudas que tengo. Sabemos que para una variable aleatoria [texx]Z[/texx] con media y varianza [texx]\mu_Z>0,\sigma^2_Z[/texx] la menor cota superior de [texx]P(Z\leq{}0)[/texx] es igual a [texx]\frac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu^2_Z}[/texx], no?

Ahora si tengo dos variables aleatorias independientes[texx]X,Y[/texx] con medias y varianzas  [texx]\mu_X,\mu_Y,\sigma^2_X,\sigma^2_Y[/texx] una cota es (aplicando la cota anterior) es:

[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx], con [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx]. Ahora no sabemos si es óptima. El primer motivo que se me ocurre es que la cota sale definiendo

[texx]Z=X+Y[/texx], no implica que [texx]Z[/texx] tenga la misma distribución que [texx]X+Y[/texx]. Ahora, si SIEMPRE se puediera hallar para cualquier [texx]X[/texx] y [texx]Y[/texx] independientes una variable [texx]Z'[/texx] tenga la misma distribución que [texx]X+Y[/texx], entonces sabemos que la mejor cota de [texx]P(Z'\leq{}0)[/texx] es [texx]\dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx]. Me temo que el siempre no es posible. Está bien mi razonamiento?

Saludos



 
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« Respuesta #127 : 06/06/2017, 10:32:36 am »

Hola

Estuve pensando de nuevo con este tema, a ver si me pueden aclarar las siguientes dudas que tengo. Sabemos que para una variable aleatoria [texx]Z[/texx] con media y varianza [texx]\mu_Z>0,\sigma^2_Z[/texx] la menor cota superior de [texx]P(Z\leq{}0)[/texx] es igual a [texx]\frac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu^2_Z}[/texx], no?

Si.

Cita
Ahora si tengo dos variables aleatorias independientes[texx]X,Y[/texx] con medias y varianzas  [texx]\mu_X,\mu_Y,\sigma^2_X,\sigma^2_Y[/texx] una cota es (aplicando la cota anterior) es:

[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx], con [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx]. Ahora no sabemos si es óptima.


Correcto.

Cita
El primer motivo que se me ocurre es que la cota sale definiendo

[texx]Z=X+Y[/texx], no implica que [texx]Z[/texx] tenga la misma distribución que [texx]X+Y[/texx].


Si. Definiendo [texx]Z[/texx] así si implica que [texx]Z[/texx] y [texx]X+Y[/texx] tienen la misma distribución...¡porque precisamente tomamos [texx]Z=X+Y[/texx]!.

Cita
Ahora, si SIEMPRE se puediera hallar para cualquier [texx]X[/texx] y [texx]Y[/texx] independientes una variable [texx]Z'[/texx] tenga la misma distribución que [texx]X+Y[/texx], entonces sabemos que la mejor cota de [texx]P(Z'\leq{}0)[/texx] es [texx]\dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx]. Me temo que el siempre no es posible. Está bien mi razonamiento?

No (o creo que quizá te has equivocado al explicarlo y lo has expresado de al revés). El problema está precisamente en lo contrario.

Si dada cualquier variable [texx]Z[/texx] con [texx]\mu_Z=\mu_X+\mu_Y[/texx] y varianza [texx]\sigma^2_Z=\sigma^2_X+\sigma_Y^2[/texx] pudiésemos expresarla como suma de dos variables independientes con la media y varianza indicadas  entonces si sabríamos que es óptima. Pero el problema es que no es así; no siempre podemos descomponer cualquier [texx]Z[/texx] de la forma indicada.

Saludos.
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« Respuesta #128 : 06/06/2017, 10:38:11 am »

Hola

Si era eso, pero eso es que surge de algún teorema, el hecho que no siempre se puede descomponer Z como suma de dos variables independientes o algún contra ejemplo supongo.

Saludos
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« Respuesta #129 : 06/06/2017, 10:41:57 am »

Hola

Si era eso, pero eso es que surge de algún teorema, el hecho que no siempre se puede descomponer Z como suma de dos variables independientes o algún contra ejemplo supongo.

Aquí:

Para una variable [texx]Z[/texx] con media [texx]\mu_Z[/texx] y varianza [texx]\sigma_Z^2[/texx], sabemos que la cota óptima para [texx]P(Z\leq 0)[/texx] se obtiene tomando la distribución discreta:

[texx]z_1=0[/texx] con probabilidad [texx]\dfrac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}[/texx]

[texx]z_2=\dfrac{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}{\mu}[/texx] con probabilidad [texx]\dfrac{\mu_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}[/texx]

Por otra parte sin embargo, dadas dos variables independientes [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] con media [texx]\mu_X,\mu_Y[/texx] y varianzas [texx]\sigma_X^2,\sigma_Y^2[/texx] no nulas. Es imposible que su suma [texx]Z=X+Y[/texx] sea una variable discreta con soporte en dos puntos como la descrita arriba. Veámoslo.

Dado que las varianzas son no nulas el soporte de cada uno es no puntual.

Entonces existe dos puntos [texx]a<b[/texx] de forma que en cualquier entorno de ellos la probabilidad de [texx]X[/texx] en ese entorno es no nula.

Análogamente existen dos puntos [texx]c<d[/texx] de forma que en cualquier entorno de ellos la probabilidad de [texx]Y[/texx] en ese entorno es no nula.

Entonces en un cualquier entorno de [texx]a+c<a+d<b+d[/texx], la probabilidad de [texx]X+Y[/texx] es no nula (ya que por la independencia la probabilidad es el producto de probabilidades). Por tanto la distribución de [texx]X+Y[/texx] no está concentrada en dos puntos.

Saludos.
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« Respuesta #130 : 06/06/2017, 02:35:30 pm »

Hola

Pero si como has mostrado la cota óptima para [texx]Z[/texx] no se puede expresar como suma dos variables independientes eso ya es prueba suficiente que ésta cota no es óptima para la suma de dos variables aleatorias independientes.

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« Respuesta #131 : 06/06/2017, 04:57:23 pm »

Hola

Pero si como has mostrado la cota óptima para [texx]Z[/texx] no se puede expresar como suma dos variables independientes eso ya es prueba suficiente que ésta cota no es óptima para la suma de dos variables aleatorias independientes.

Quedan dos cabos sueltos, que ya había comentado aquí:

0) Acabo de probar que es imposible que la suma de dos variables independientes X,Y con varianza no nula sea una distribución discreta en dos puntos.

1) Podríamos intentar probar que la única distribución de una variable [texx]Z[/texx] que da la cota óptima para [texx]P(Z<0)[/texx] es la que he indicado antes en dos puntos. Creo que esto es cierto y se puede demostrar.

2) Pero aun así, podría ocurrir (aunque sospecho que no ocurre) que uno pueda construir secuencias de variables [texx]X,Y[/texx] independientes con la media y varianza fijada, de manera que si bien [texx]X+Y[/texx] no alcanza la cota óptima si se acerca tanto como queramos.

Con 0) 1) 2) quiero decir que aunque se cumpla 0 (eso lo tenemos probado) y se cumpla 1 (eso creo que es cierto, pero no está probado) todavía habría que descartar 2 para afirmar que la cota NO es óptima.

Finalmente una observación obvia: la forma indiscutible de probar que la cota no es óptima es encontrar otra mejor.

Saludos.

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« Respuesta #132 : 08/06/2017, 04:10:01 pm »

Hola

En el mensaje #71 se puso que se podía hallar una función que es mayor o igual a la indicatríz [texx]1\left\{{X+Y<0}\right\}[/texx] del tipo
[texx]g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2[/texx]

sujeto a:

1) [texx]a\geq{}0,b\geq{}0,4ac\geq{}b^2[/texx],
2) [texx]g(x,y)>0[/texx]
3) tangente a la recta [texx]x+y=0,z=1[/texx],
4) tangente al plano [texx]z=0[/texx]
5) [texx]x_0+y_0>0[/texx]
Esto no es un problema de optimización con restricciones dónde debemos hallar [texx]a,b,c[/texx] que minimice [texx]E[g(x,y)][/texx], no me queda claro cómo se pone las condiciones 3 y 4 como una restricción a usar.

No podría fijar [texx](x_0,y_0)=(\mu_X,\mu_Y)[/texx] (lo veo intuitivo que sea esto pq es un dato que nos van a dar, las medias) con [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx] y luego me queda la función a minimizar
[texx]a\sigma_X^2+b\sigma_X^2\sigma_Y^2+c\sigma_Y^2[/texx]

y los [texx]a,b,c[/texx] salen de la restricción 3 y 4? Mmm. aunque creo que no puede ser  [texx](x_0,y_0)=(\mu_X,\mu_Y)[/texx] pq esos coeficientes serían todos cero.


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« Respuesta #133 : 09/06/2017, 04:53:48 am »

Hola

Hola

En el mensaje #71 se puso que se podía hallar una función que es mayor o igual a la indicatríz [texx]1\left\{{X+Y<0}\right\}[/texx] del tipo
[texx]g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2[/texx]

sujeto a:

1) [texx]a\geq{}0,b\geq{}0,4ac\geq{}b^2[/texx],
2) [texx]g(x,y)>0[/texx]
3) tangente a la recta [texx]x+y=0,z=1[/texx],
4) tangente al plano [texx]z=0[/texx]
5) [texx]x_0+y_0>0[/texx]
Esto no es un problema de optimización con restricciones dónde debemos hallar [texx]a,b,c[/texx] que minimice [texx]E[g(x,y)][/texx], no me queda claro cómo se pone las condiciones 3 y 4 como una restricción a usar.

La condición (4) sobra; o dicho de otra forma, se cumple siempre que se cumpla la (1).

Para la condición (3) tiene que cumplirse que la ecuación de segundo grado:

[texx]1=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(-x-y_0)+c(x+y_0)^2[/texx]

Tenga una única solución, es decir, su discrimante sea cero.

Eso equivale a que:

[texx]4(a-b+c)(ax_0^2+bx_0y_0+cy_0^2-1)=(2ax_0+by_0-bx_0+2cy_0)^2[/texx]

Cita
No podría fijar [texx](x_0,y_0)=(\mu_X,\mu_Y)[/texx] (lo veo intuitivo que sea esto pq es un dato que nos van a dar, las medias) con [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx] y luego me queda la función a minimizar
[texx]a\sigma_X^2+b\sigma_X^2\sigma_Y^2+c\sigma_Y^2[/texx]

Pero esto no tiene demasiado sentido; por ejemplo en el problema análogo unidimensional que es la cota de Cantelli clásica, es [texx]x_0[/texx] no es igual a la media.

Cita
y los [texx]a,b,c[/texx] salen de la restricción 3 y 4? Mmm. aunque creo que no puede ser  [texx](x_0,y_0)=(\mu_X,\mu_Y)[/texx] pq esos coeficientes serían todos cero.

Todos cero no pueden ser porque no se cumpliría (3).

Sea como sea este camino no me convence; el problema aquí es la cota que se obtenga no va a ser óptima para variables independientes. El motivo es que el paraboloide [texx]g(x,y)[/texx] "toca" a la función indicatriz [texx]1_{X+Y<0}[/texx] bien en dos puntos o bien en dos rectas paralelas a la recta [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx] y por tanto el soporte de una distribución que fuese óptima no correspondería a un par variables independientes (el soporte de un par [texx](X,Y)[/texx] independiente es de la forma [texx]sop(X)\times sop(Y)[/texx]).

Saludos.
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« Respuesta #134 : 10/06/2017, 06:12:41 pm »

Hola

La desigualdad de Hoeffding dice así. Sean [texx]X,Y[/texx] dos variables aleatorias independientes tal que [texx]P(a\leq{}X\leq{}b)=P(c\leq{}Y\leq{}d)=1[/texx] entonces para [texx]t>0[/texx] se cumple que
[texx]P(X+Y-\mu_X-\mu_Y\geq{}2t)\leq{}exp\left\{{\displaystyle\frac{-8t^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx].

Quiero expresar esto como [texx]P(X+Y\leq{}0)[/texx], primero me confunde un poco que [texx]t>0[/texx], creo que igual sería válido para [texx]t=0[/texx], pues la cota sería uno, pero de todas formas, yo haciendo lo mismo que se hizo anteriormente llegué a que la cota de [texx]P(X+Y\leq{}2t)[/texx] es

[texx]exp\left\{{\displaystyle\frac{-8(t+(-\mu_X-\mu_Y)0.5)^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx] y si tomamos [texx]t=0[/texx] queda

[texx]exp\left\{{\displaystyle\frac{-2(\mu_X+\mu_Y)^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx]

Está bien?

Saludos


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« Respuesta #135 : 11/06/2017, 06:54:50 am »

Hola

La desigualdad de Hoeffding dice así. Sean [texx]X,Y[/texx] dos variables aleatorias independientes tal que [texx]P(a\leq{}X\leq{}b)=P(c\leq{}Y\leq{}d)=1[/texx] entonces para [texx]t>0[/texx] se cumple que
[texx]P(X+Y-\mu_X-\mu_Y\geq{}2t)\leq{}exp\left\{{\displaystyle\frac{-8t^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx].

Quiero expresar esto como [texx]P(X+Y\leq{}0)[/texx], primero me confunde un poco que [texx]t>0[/texx], creo que igual sería válido para [texx]t=0[/texx], pues la cota sería uno, pero de todas formas, yo haciendo lo mismo que se hizo anteriormente llegué a que la cota de [texx]P(X+Y\leq{}2t)[/texx] es

[texx]exp\left\{{\displaystyle\frac{-8(t+(-\mu_X-\mu_Y)0.5)^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx] y si tomamos [texx]t=0[/texx] queda

[texx]exp\left\{{\displaystyle\frac{-2(\mu_X+\mu_Y)^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx]

Está bien?

Si.

Saludos.
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« Respuesta #136 : 13/06/2017, 07:17:46 pm »

Hola

Supongamos que
[texx]p_X=P(X+a<0)\leq{\displaystyle\frac{1}{1+Z^2_X}}[/texx],

y luego que

[texx]p_Y=P(Y+b<0)\leq{\displaystyle\frac{1}{1+Z^2_Y}}[/texx],

siendo [texx]Z_X=\displaystyle\frac{\mu_X+a}{\sigma_X^2}>0[/texx] y  [texx]Z_Y=\displaystyle\frac{\mu_Y+b}{\sigma_Y^2}>0[/texx]

¿Se cumple que [texx]tp_X+(1-t)p_y\leq{}\displaystyle\frac{1}{1+tZ_X+(1-t)Z_Y}[/texx], con [texx]t \in(0,1)[/texx]?

Creo que no, cómo podría vincularse a  [texx]tp_X+(1-t)p_y[/texx] y [texx]Z_X,Z_Y[/texx]?

Saludos


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Luis Fuentes
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« Respuesta #137 : 14/06/2017, 08:31:35 am »

Hola

Supongamos que
[texx]p_X=P(X+a<0)\leq{\displaystyle\frac{1}{1+Z^2_X}}[/texx],

y luego que

[texx]p_Y=P(Y+b<0)\leq{\displaystyle\frac{1}{1+Z^2_Y}}[/texx],

siendo [texx]Z_X=\displaystyle\frac{\mu_X+a}{\sigma_X^2}>0[/texx] y  [texx]Z_Y=\displaystyle\frac{\mu_Y+b}{\sigma_Y^2}>0[/texx]

Creo que ahí quisiste poner:

[texx]Z_X=\displaystyle\frac{\mu_X+a}{\color{red}\sigma_X\color{black}}>0[/texx] y  [texx]Z_Y=\displaystyle\frac{\mu_Y+b}{\color{red}\sigma_Y\color{black}}>0[/texx]

Cita
¿Se cumple que [texx]tp_X+(1-t)p_y\leq{}\displaystyle\frac{1}{1+tZ_X+(1-t)Z_Y}[/texx], con [texx]t \in(0,1)[/texx]?

No estoy seguro de que quiste poner (no sé si faltan cuadrados en algún sitio), pero no se cumple nada parecido. El problema es que la función:

[texx]f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}[/texx]

no es cóncava ni convexa.

Y la función [texx]\dfrac{1}{1+x}[/texx] es convexa con lo que en realidad se tendría:

[texx]tp_x+(1-t)p_y\geq \dfrac{1}{1+tZ_X^2+(1-t)Z_Y^2}[/texx]

Cita
Creo que no, cómo podría vincularse a  [texx]tp_X+(1-t)p_y[/texx] y [texx]Z_X,Z_Y[/texx]?

Más allá de la vinculación obvia (que en realidad está en función de las misma variables):

[texx]
tp_X+(1-t)P_y\leq \dfrac{t}{1+Z_x^2}+\dfrac{(1-t)}{1+Z_y^2}[/texx]

No sé...

Saludos.
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« Respuesta #138 : 14/06/2017, 09:31:15 am »

Si, estaba mal mi planteamiento, está claro ahora.
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« Respuesta #139 : 18/06/2017, 06:22:51 pm »

    Hola
    En este mensaje mostramos que dada dos variables aleatorias independientes [texx]X,Y[/texx] entonces


1) [texx]{P(X+Y\leq 0)\leq 1-\dfrac{\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}{\sigma_X^2+b^2}\color{black}}[/texx]  si [texx]sop(Y)\subset [-\mu_X,-\mu_X+b][/texx]
   
 2) [texx]{P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}\color{black}} [/texx]si [texx]sop(Y)\subset [-\mu_X,-\mu_X+\sqrt{\sigma_X^2/3}][/texx]
   
3)  Hoeffding muestra que para dos variables independientes [texx]X,Y[/texx] con[texx] P(a\leq{}X\leq{}b)=P(c\leq{}Y\leq{}d)=1[/texx]
    [texx]P(X+Y\leq 0)\leq exp\left\{{\displaystyle\frac{-2(\mu_X+\mu_Y)^2}{(b-a)^2+(d-c)^2}}\right\}[/texx]

Para comparar analíticamente cuándo estas cotas son mejores, se me ocurre, primero usar el mismo soporte para [texx]Y[/texx] de la cota 2. No tengo muy claro, cómo definir el soporte para la otra variable.

Saludos
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