Foros de matemática
17/08/2017, 10:35:31 am *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: 1 [2] 3 4 ... 8   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Chebyschev  (Leído 6185 veces)
0 Usuarios y 2 Visitantes están viendo este tema.
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #20 : 20/04/2017, 11:39:00 am »

Hola

Ahora, pensando un poco, capaz que es un divague esto que voy a decir: No puedo hallar una función cuadrática que pase por [texx]\mu_X>0[/texx] y [texx]\mu_Y>0[/texx] y sea tangente a lar recta [texx]y=-x[/texx] en el intervalo [texx]x\in(0,1)[/texx] y la probabilidad en ese punto será una cota superior de [texx] P(-1\leq{}Y<-X)[/texx] y creo que no puedo ser mejorado. Para la otra probabilidad usamos las desigualdades de probabilidades conocidas. Algo parecido al utilizado en el artículo adjunto.

El razonamiento del articulo es en una variable; aquí tenemos dos. El razonamiento del artículo se puede usar por ejemplo para probar la desigualdad de Cantelli en una variable.

En dos variables habría que hacer algo así. Considerar la función:

[texx]f(x,y)={\bf 1}_{X+Y<0}(x,y)=\begin{cases} 1 & \text{si}& X+Y<0\\0 & \text{si}& X+Y\geq 0\end{cases}[/texx]

de forma que:

[texx]P(X+Y<0)=E[f(X,Y)][/texx]

después construir una función de grado [texx]2[/texx], [texx]z=g(x,y)[/texx] verficando:

[texx]f(x,y)\geq g(x,y)[/texx] para todo [texx](x,y)\in \mathbb{R^2}[/texx]

de forma que:

[texx]P(X+Y<0)=E[f(X,Y)]\leq E[g(X,Y)][/texx]

Como [texx]g(X,Y)[/texx] es da grado dos su esperanza puede calcularse en términos de la esperanza, varianza y covarianza (si fuesen dependientes) de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx].

Finalmente de todas las [texx]g(x,y)[/texx] en esas condiciones escoger la que de menor valor de [texx]E[g(x,y)].[/texx]

La cosa es que aquí no es tan obvio como escoger la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx]  En principo tiene que ser:

1- positiva.
2- tangente al plano [texx]z=0[/texx].
3- tangente a la recta [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx].

Si uno escoge por ejemplo un cilindro parábolico con generatices paralelas a [texx]x+y=0[/texx] la cota que se obtiene es exactamente la de Cantelli para la variable [texx]X+Y[/texx].

Se podría intentar ver que sale más en general con una superficie cumpliendo (1),(2),(3).

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #21 : 20/04/2017, 12:12:09 pm »

Hola

Manco, si la desigualdad de Cantelli es óptima para una variable, por qué motivo crees que no lo es para dos variables? Tu has definido [texx]Z=X+Y[/texx] y utilizás esa desigualdad.

Saludos

PD : Manco tienes algunas erratas luego de la probabilidad, va menor igual y has puesto igual.

En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #22 : 20/04/2017, 02:40:59 pm »

Hola

Manco, si la desigualdad de Cantelli es óptima para una variable, por qué motivo crees que no lo es para dos variables? Tu has definido [texx]Z=X+Y[/texx] y utilizás esa desigualdad.

Pues básicamente porque no encuentro un ejemplo donde se alcance la cota. He probado con un par de distribuciones discretas haciendo las cuentas con Mathematica y no se alcanza la cota con ella; se consiguen valores de [texx]P(X+Y<0)[/texx] menores para cualquier posible par de distribuciones discretas con media y varianza dadas.

Cita
PD : Manco tienes algunas erratas luego de la probabilidad, va menor igual y has puesto igual.

¿Dónde?.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #23 : 20/04/2017, 03:02:34 pm »

Hola

Pero para la desigualdad de Cantelli univariable es óptima, no? Y por lo tanto llamando [texx]Z=X+Y[/texx] debería esta ser también óptima.

Creo que la distribución Bernoulli, para la versión univariante de esta desigualdad, se cumple con igualdad.

https://math.stackexchange.com/questions/1632135/how-to-show-that-cantellis-inequality-has-no-better-result


Saludos

PD En algunas probabilidades [texx]P(X+Y<0)[/texx] pones igual, y es menor o igual.


[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx]


En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #24 : 20/04/2017, 03:22:13 pm »

Hola

Cita
Pero para la desigualdad de Cantelli univariable es óptima, no? Y por lo tanto llamando [texx]Z=X+Y[/texx] debería esta ser también óptima.

Creo que la distribución Bernoulli, para la versión univariante de esta desigualdad, se cumple con igualdad.

https://math.stackexchange.com/questions/1632135/how-to-show-that-cantellis-inequality-has-no-better-result

Si, en una variable es fácil ver que se alcanza la cota con una discreta en dos puntos (una Bernoulli en esencia). Pero el problema es que no es obvio (al menos para mi) que la variable discreta para la cuál se alcanzaría la cota [texx]Z[/texx] con media [texx]u_Z=u_X+u_Y[/texx] y varianza [texx]\sigma^2_Z=\sigma^2_X+\sigma^2_Y[/texx] pueda ser obtenida como suma de dos variables independientes [texx]X,Y[/texx] con las medias y varianzas indicadas.

Saludos

Cita
PD En algunas probabilidades [texx]P(X+Y<0)[/texx] pones igual, y es menor o igual.


[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx]

Ok. Esa ya la he corregido. Gracias.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #25 : 20/04/2017, 03:34:49 pm »

Hola

En muchas de las desigualdades que estamos estudiando en la cota superior interviene la función exponencial.

Saludos

* e-81.pdf (1114.68 KB - descargado 17 veces.)
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #26 : 20/04/2017, 04:32:35 pm »

Hola

Probé [texx]P(X=10000000)=0.99,P(X=0)=1-0.99[/texx]  y [texx]P(Y=0)=0.01,P(Y=-0.0001)=0.99[/texx] y tiende a la cota de Cantelli para dos variables, si no me equivoqué con los cálculos.

Saludos


En línea
EnRlquE
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 5.878



Ver Perfil
« Respuesta #27 : 20/04/2017, 06:22:49 pm »

Hola.


Pero la convexidad no ayuda. ¿No?.

Nostros queremos acotar:

[texx]E[g(Z)]\leq algo[/texx]

La desigualdad de Jensen para convexas nos da lo contrario:

[texx]g(E[Z])\leq algo[/texx]

 Sí, tienes razón, me dí cuenta del cruce de cables que tuve en mi anterior mensaje hoy por la mañana  :BangHead:.

Cita
Es que con el grado de generalidad que tenemos podemos decir que nuestra cota superior es óptima, (de hecho incluso la cota que obtenemos luego de aplicar la desigualdad de Jensen). Para construir ejemplos que muestren eso podemos empezar considerando [texx]X[/texx] con soporte en [texx]\{-1,1\}[/texx] tal que [texx]\mathbb{P}[X=-1]=\mathbb{P}[X=1]=1/2[/texx] e [texx]Y[/texx] siendo una variable constante igual a [texx]1-\delta[/texx] (pensando en [texx]\delta>0[/texx] como un número pequeño). Con esta elección, como [texx]\mu_{X}=0[/texx] y [texx]\sigma_{X}=1,[/texx] nuestra cota superior se convierte en

[texx]\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\dfrac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+(1-\delta)^{2}}=\dfrac{1}{1+(1-\delta)^{2}}=:C(\delta).[/texx]

 Por otro lado, tenemos que el verdadero valor de la probabilidad es [texx]\mathbb{P}[X+Y<0]=\mathbb{P}[X<-1+\delta]=\mathbb{P}[X=-1]=1/2.[/texx] Ahora, notemos que cuando [texx]\delta\to0[/texx] nuestra cota [texx]C(\delta)[/texx] tiende al verdadero valor, es decir [texx]\lim_{\delta\to 0}C(\delta)=1/2.[/texx] Entonces podemos decir que nuestra cota es en cierto sentido óptima.

 Pero me parece una concepción demasiado poco exigente de cota óptima. Ten en cuenta que el planteamiento de Quema [texx]\mu_X,\sigma_X,\mu_Y,\sigma_Y[/texx] son datos prefijados.

 Sí, de acuerdo con lo que dices, la noción de óptima que dí más arriba es muy floja, en particular permite variar la variable [texx]Y[/texx] a voluntad.

Hola

 Creo que hay otro fallo:

Si llamamos [texx]m=\max\{0,-\mu_{X}\},[/texx] gracias a que [texx]X+Y\leq X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}[/texx] obtenemos que

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0]\leq\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

que es una desigualdad donde básicamente sólo aprovechamos la parte en que [texx]Y[/texx] es positiva.

Si: [texx]X+Y\leq X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}[/texx] entonces:

[texx]\{X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}\leq 0\}\subset \{X+Y\leq 0\}[/texx]

y la desigualdad entre probabiliades sería la opuesta:

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\color{red}\geq\color{black}\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0][/texx]

Esto se puede arreglar así: [...]

De acuerdo de nuevo, aquí la embarré mucho  :avergonzado:.

Cita
P.D. Aquí tengo otra duda EnRIquE. ¿Por qué tomas [texx]m=max\{0,-\mu_X\}[/texx] y no simplemente [texx]m=-\mu_x[/texx]?. ¿Es decir porque necesitamos [texx]Y[/texx] positiva para aplicar Cantelli?.

Entiendo que para una variable [texx]Z[/texx] con [texx]media positiva[/texx] se tiene que:

[texx]P(Z\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}[/texx]

Para aplicar esto a [texx]Z=X+y[/texx] basta que [texx]\mu_X+y>0[/texx] es decir que [texx]y>-\mu_X[/texx]. ¿No?-

¡Es verdad!, al escribir eso estaba vendo la versión de la desigualdad que Quema puso al inicio. Basta con tomar [texx]m=-\mu_{X}[/texx] y no importa si la media de [texx]X[/texx] es positiva o negativa.

Para acotar un poco el problema supongamos que [texx]P(X>0)=1,P(-1\leq{}Y\leq{}1)=1[/texx] y quiero encontrar [texx]P(X+Y<0)=P(\left\{{-1\leq{}Y<-X}\right\}\cap{}\left\{{X<1}\right\})[/texx] y luego separar las probabilidades, pero me doy cuenta que los eventos no son independientes.

Ahora, pensando un poco, capaz que es un divague esto que voy a decir: No puedo hallar una función cuadrática que pase por [texx]\mu_X>0[/texx] y [texx]\mu_Y>0[/texx] y sea tangente a lar recta [texx]y=-x[/texx] en el intervalo [texx]x\in(0,1)[/texx] y la probabilidad en ese punto será una cota superior de [texx] P(-1\leq{}Y<-X)[/texx] y creo que no puedo ser mejorado. Para la otra probabilidad usamos las desigualdades de probabilidades conocidas. Algo parecido al utilizado en el artículo adjunto.

 Con esas restricciones seguro que obtenemos algo mejor, en particular como [texx]Y[/texx] es acotada, sabemos que los momentos de todos sus órdenes son finitos, de hecho variables como [texx]e^{\theta Y}[/texx] tienen esperanza finita para cualquier valor de [texx]\theta\in\mathbb{R}[/texx] y esto suele ayudar mucho a la hora de obtener cotas. Pero tengo que pensarlo con calma, no tengo mucho tiempo y no quiero empezar a equivocarme como en todo lo que va del hilo  :cara_de_queso:.

Saludos,

Enrique.
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #28 : 20/04/2017, 06:39:42 pm »

Hola

Probé [texx]P(X=10000000)=0.99,P(X=0)=1-0.99[/texx]  y [texx]P(Y=0)=0.01,P(Y=-0.0001)=0.99[/texx] y tiende a la cota de Cantelli para dos variables, si no me equivoqué con los cálculos.

¿Qué quiere decir que "tiende"?. Hay que ter un poco de cuidado. Como le dije a Enrique las medias de y covarianzas tiene que estar prefijadas; no puedes cambiarlas en cada aproximación. Además no me vale que sólo para una media y varianza concreta alcances la cota; habría que hacerlo en general.

Yo he probado con el Mathematica con toda generalidad, y con un par de variables de Bernoulli (discretas con valores en dos puntos) NO se alcanza la cota (a no ser que me equivocase algo en el programa, pero lo he revisado y parece que no).

Saludos.
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #29 : 21/04/2017, 08:29:13 am »

Hola

 Revisando tenemos probado un caso muy particular, variante del problema 1:

 - Dadas [texx]\mu_X,\sigma^2_X[/texx] y [texx]\mu_Y\in [-\mu_X,-\mu_X+\sigma_X/\sqrt{3}] [/texx] para cualquier par de variables aleatorias independientes [texx]X,Y[/texx] con las medias y varianzas indicadas y [texx]soporte(Y)\subset [-\mu_x,-\mu_x+\sigma_x/\sqrt{3}] [/texx] se cumple:

[texx]P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx]

 Además la cota es óptima (basta tomar [texx]Y=\mu_y[/texx] con probabilidad segura y aplicar la optimalidad de la desigualdad de Cantelli).

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #30 : 21/04/2017, 09:20:17 am »

Hola,

No entendí este caso particular, puedes explicarlo un poco mejor. Y en la cota superior, no entra la varianza de [texx]Y[/texx]?

Saludos
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #31 : 21/04/2017, 10:03:09 am »

Hola

No entendí este caso particular, puedes explicarlo un poco mejor. Y en la cota superior, no entra la varianza de [texx]Y[/texx]?

Pues es usar este argumento de Enrique (con la hipótesis del soporte de [texx]Y[/texx], [texx]Y=Y\cdot 1_{Y\geq -\mu_X}[/texx] y por tanto el argumento funciona):

Si no estas interesado en cotas muy finas tal vez en el último caso que nos cuentas te pueda funcionar lo siguiente: Si llamamos [texx]m=\max\{0,-\mu_{X}\},[/texx] gracias a que [texx]X+Y\leq X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}[/texx] obtenemos que

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0]\leq\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

que es una desigualdad donde básicamente sólo aprovechamos la parte en que [texx]Y[/texx] es positiva.

combinado con la desigualdad de Jensen que comentaba en el tramo en que la función:

[texx]g(y)=\dfrac{\sigma^2_X}{(\sigma^2_X+(\mu_X+y)^2}[/texx]

es cóncava, y por eso se exige (para no salirse del tramo cóncavo que [texx]soporte(Y)\subset [-\mu_x,-\mu_x+\sigma_x/\sqrt{3}][/texx]).

Efectivamente no interviene la covarianza de [texx]Y[/texx]; por eso digo que es una variante del Problema 1. Con el dato adicional de la covarianza en teoría la cota debería de poder mejorarse. Es óptima sin ese dato adicional; es decir exactamente en las condiciones que enuncié en mi mensaje anterior.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #32 : 21/04/2017, 11:00:02 am »

Hola

Para tener más claro las ideas:

Dentro del problema 1. Se cumple que para dos variables aleatorias [texx]X,Y[/texx] independientes entonces
[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx],  pero no estamos seguros que sea óptima. Si le exigimos a [texx]Y[/texx] la condición de soporte del último mensaje del manco entonces esa cota modificada es óptima

Del problema 2, a qué conclusión hemos llegado?

Saludos
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #33 : 21/04/2017, 12:44:34 pm »

Hola

Dentro del problema 1. Se cumple que para dos variables aleatorias [texx]X,Y[/texx] independientes entonces
[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx],  pero no estamos seguros que sea óptima.

Correcto.

Cita
Si le exigimos a [texx]Y[/texx] la condición de soporte del último mensaje del manco entonces esa cota modificada es óptima

Si; pero ojo porque no es sólo que añadamos la condición del soporte, sino que eliminamos el dato de la covarianza. Es decir, no es exactamente el problema 1. Con la información adicional de la covarianza la cota pudiera afinarse.

Cita
Del problema 2, a qué conclusión hemos llegado?

No mucho. Esta cota:

[texx]P(Y\leq -\mu_X)+\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>-\mu_X\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

que dado que en los supuestos del problema 2, la distribución de [texx]Y[/texx] es conocida es una cota calculable explícitamente.

Puede que sea óptima si [texx]P(Y\leq -\mu_X)=0.[/texx] (nunca ocurriría eso en el caso de [texx]Y[/texx] normal).

Saludos.


CORREGIDO
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #34 : 21/04/2017, 12:48:11 pm »

Hola

No entendí, covarianza o varianza?

Saludos
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #35 : 21/04/2017, 12:54:24 pm »

Hola

No entendí, covarianza o varianza

Perdón. Fue una errata. Mientras estemos hablando de variables independientes nada de covarianzas. 

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #36 : 21/04/2017, 02:27:49 pm »

Hola

Pero en la cota del problema 1, se exige independencia?

Saludos
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #37 : 21/04/2017, 04:28:25 pm »

Hola

Pero en la cota del problema 1, se exige independencia?

Si, porque hemos usado que la varianza de la suma es la suma de varianzas. Sin independencia quedaría:

[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y+2Cov(X,Y)}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y+2Cov(X,Y)}[/texx]

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.270


Ver Perfil
« Respuesta #38 : 21/04/2017, 04:33:39 pm »

Hola

Y si no fueran independientes la segunda cota sigue siendo óptima? Supongo que cambia la condición que se impuso.

Saludos
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.369


Ver Perfil
« Respuesta #39 : 21/04/2017, 04:37:16 pm »

Hola

Y si no fueran independientes la segunda cota sigue siendo óptima? Supongo que cambia la condición que se impuso.

En la segunda, la dependencia cambia por completo el panorama. Estamos de manera troncal que la variable [texx]X[/texx] no depende de [texx]Y[/texx], y por tanto la media y la varianza de [texx]X[/texx] condicionadas a [texx]Y=y[/texx], son independientes del valor de [texx]y[/texx] e iguales a la media y varianza de [texx]X[/texx].

Saludos.
En línea
Páginas: 1 [2] 3 4 ... 8   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!