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Autor Tema: Chebyschev  (Leído 6893 veces)
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« : 08/04/2017, 12:09:49 pm »

Hola

Dada una variable aleatoria [texx]X[/texx] con media [texx]\mu_X[/texx] y varianza [texx]\sigma_X^2[/texx], sabemos que:

[texx]P(X<-a)\leq{}\displaystyle\frac{1}{1+b^2}[/texx] siendo [texx]b=\displaystyle\frac{a+\mu_X}{\sigma_X}[/texx] y [texx]a>0[/texx]. Ahora, esto se cumple siempre que [texx]a+\mu_X>0[/texx].

1) Se puede encontrar una cota superior, interesante si [texx]a+\mu_X<0[/texx]?.

2) Supongamos que en  lugar de [texx]a[/texx] ser un número es una variable aleatoria [texx]Y[/texx]  con media [texx]\mu_Y[/texx] y varianza [texx]\sigma_Y^2[/texx], supongamos que es independiente a [texx]X[/texx] ¿cuál sería la versión de la desigualdad para

[texx]P(X+Y<0)\leq{}?[/texx]


Saludos
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« Respuesta #1 : 12/04/2017, 08:50:26 pm »

Hola Quema.

 No estoy seguro exactamente a qué tipo de desigualdad te refieres cuando dices [texx]a+\mu_{X}<0.[/texx] La desigualdad que escribes es conocida como la desigualdad de Cantelli. En el enlace que acabo de escribir está enunciada con otra notación, pero es exactamente la misma. El caso [texx]\lambda<0[/texx] de la Wikipedia corresponde al caso [texx]a+\mu_{X}>0[/texx] que presentas en tu pregunta. La desigualdad de Cantelli tiene una segunda parte donde (con la notación de la Wikipedia) se considera [texx]\lambda<0;[/texx] pero no estoy seguro si es una versión de ese tipo lo que esperas.

 Sobre la parte en la que [texx]Y[/texx] es independiente de [texx]X,[/texx] yo creo que además de saber la media y la varianza de [texx]Y[/texx] tendríamos que saber dónde está soportada la variable. Por ejemplo si [texx]Y[/texx] asume únicamente valores positivos y además [texx]\mu_{X}+Y>0[/texx], estamos en el caso de una de las desigualdades de Cantelly y tendríamos que

\begin{align*}(\;\mathbb{P}[X+Y<0]= \; )\quad\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{X+Y<0\}}]&=\int\Big(\int{\bf 1}_{\{x+y<0\}}\,d\mathbb{P}_{X}(x)\Big)\,d\mathbb{P}_{Y}(y)\\&=\int\mathbb{E}[{\bf 1}_{\{X+y<0\}}]\,d\mathbb{P}_{Y}(y)\\&\leq \int \frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+(y+\mu_{X})^{2}}\,d\mathbb{P}_{Y}(y)\\&=\sigma_{X}^{2}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma_{X}^{2}+(Y+\mu_{X})^{2}}\Big].
\end{align*}

 Si la variable [texx]Y[/texx] fuese discreta, las anteriores desigualdades quedarían, tal vez, más claras con sumatorias y esperanza condicional, pero el resultado sería el mismo. No se si esto te sea útil, ahora no veo como acotar la última esperanza para que quede una expresión más limpia que sólo dependa de [texx]\mu_{X},\;\mu_{Y},\;\sigma_{X}[/texx] y [texx]\sigma_{Y}.[/texx]

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #2 : 18/04/2017, 02:30:15 pm »

Hola

Si tengo una variable aleatoria [texx]X[/texx] con media [texx]\mu_X[/texx] y varianza [texx]\sigma_X^2[/texx] y otra variable aleatoria [texx]Y[/texx] con distribución Normal [texx]N(\mu_Y,\sigma_Y^2)[/texx] independiente de [texx]X[/texx] puedo decir algo respecto a la cota superior de [texx]P(X+Y<0)[/texx]. Creo que se puede hallar la esperanza que puso EnRiquE (ahora me doy cuenta que no, pues [texx]Y[/texx] tiene que ser positiva), pero la cota para que sea interesante tiene que ser menor a uno, obviamente, no?

Se puede aplicar algún resultado del artículo adjunto?

Saludos





* Inequality1202.pdf (111.46 KB - descargado 62 veces.)
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« Respuesta #3 : 18/04/2017, 04:25:10 pm »

Hola Quema.

Se puede aplicar algún resultado del artículo adjunto?

 Lo veo difícil, la desigualdad de las notas es una desigualdad tipo Azuma que se usa mayormente para probar decaimiento exponencial al comparar cantidad más o menos parecidas. En nuestro caso el problema es que cuando la variable [texx]Y[/texx] es negativa no tenemos cotas superiores (al menos no conozco ni he conseguido probar ninguna) para la probabilidad del evento [texx]\{X+Y<0\}.[/texx]

 Si no estas interesado en cotas muy finas tal vez en el último caso que nos cuentas te pueda funcionar lo siguiente: Si llamamos [texx]m=\max\{0,-\mu_{X}\},[/texx] gracias a que [texx]X+Y\leq X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}[/texx] obtenemos que

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0]\leq\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

que es una desigualdad donde básicamente sólo aprovechamos la parte en que [texx]Y[/texx] es positiva.

Saludos,

Enrique.

Nota: Ver la respuesta #27, la desigualdad [texx]\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0][/texx] está MAL.
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« Respuesta #4 : 18/04/2017, 04:28:24 pm »

Hola

Y eso con [texx]Y[/texx] Normal da muy cerca de uno?

Saludos
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« Respuesta #5 : 18/04/2017, 04:41:10 pm »

Depende de los valores de las medias y varianzas de las variables. Por ejemplo cuando [texx]\mu_{X}>0,[/texx] como [texx]Y{\bf 1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X}>\mu_{X}[/texx] tenemos que

[texx]\displaystyle\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big]\leq \sigma^{2}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2}}\Big]=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2}}<1.[/texx]

El cálculo exacto de la integral mejora la cota, que definitivamente será menor que uno. Nota que para esto no necesitamos que [texx]Y[/texx] sea normal. En el caso en que [texx]\mu_{X}\leq0[/texx] lo buena que sea la cota que tenemos empieza a depender más de la distribución de [texx]Y.[/texx] En este caso, mientras [texx]\mu_{Y}[/texx] sea "suficientemente" grande deberíamos obtener valores menores que uno.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 18/04/2017, 04:52:01 pm »

Hola

En la aplicación que estoy pensando [texx]\mu_X>0[/texx]. Esta cota que no depende de la distribución de [texx]Y[/texx] es la mejor cota que se puede obtener? Es decir, si tuviera la media y la varianza de [texx]Y[/texx] debería poder mejorarse, creo. Con más información debería poder ajustar más la cota.

Saludos
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« Respuesta #7 : 18/04/2017, 05:03:58 pm »

En la aplicación que estoy pensando [texx]\mu_X>0[/texx]. Esta cota que no depende de la distribución de [texx]Y[/texx] es la mejor cota que se puede obtener?

No, la cota superior [texx]\frac{\sigma^{2}_{X}}{\sigma^{2}_{X}+\mu^{2}_{X}}[/texx] no es óptima, sólo la escribí para mostrar que lo que obtengamos con [texx]\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx] será menor que uno. Si queremos una cota mejor habrá que calcular esta esperanza o estimarla teniendo en cuenta la distribución de [texx]Y.[/texx]

Es decir, si tuviera la media y la varianza de [texx]Y[/texx] debería poder mejorarse, creo. Con más información debería poder ajustar más la cota.

Exacto, el cálculo de la esperanza mejora la cota.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #8 : 18/04/2017, 05:05:31 pm »

Hola

En este artículo habla algo de eso yo no lo pude conseguir

http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1962.10482149

En el adjunto hay más desigualdades con poca información sobre las variables aleatorias, claro pero con soporte positivo.

Saludos

* 145_02.pdf (120.87 KB - descargado 69 veces.)
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« Respuesta #9 : 18/04/2017, 05:46:48 pm »

Hola.

 Por lo que veo en ese artículo se tratan desigualdades de concentración, nuevamente comparando cantidades cercanas se obtienen decaimientos exponenciales. En concreto se consideran variables [texx]X_{1},\dots, X_{n}[/texx] independientes con sus respectivas medias [texx]M_{i}[/texx] (que se asumen iguales a cero para simplificar) y varianzas [texx]\sigma_{i}^{2}.[/texx] Luego, bajo la hipótesis de que existen contantes [texx]M_{i}[/texx] tales que [texx]|X_{i}|\leq M_{i},[/texx] y llamando [texx]S=X_{1}+\dots+X_{n}[/texx] y [texx]\sigma^{2}=\text{Var}(S)[/texx] se obtienen cotas del tipo

[texx]\mathbb{P}[S\geq\sigma t]\leq f(t)e^{g(t)}.[/texx]

Lo malo es que en nuestro caso creo que no nos sirven porque en principio no tenemos las variables acotadas y tampoco están centradas. Además las cotas del artículo funcionan (o son interesantes) cuando de [texx]t[/texx] es un valor positivo "grande". De hecho para [texx]t=0[/texx] pasa que [texx]f(t)=1[/texx] y [texx]g(t)=0[/texx] obteniéndose que [texx]\mathbb{P}[S\geq 0]\leq 1,[/texx] que es trivial.

Saludos.
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« Respuesta #10 : 19/04/2017, 09:09:51 am »

Hola

Adjunto algunos artículos con desigualdades de esta probabilidad.

Saludos

* Bennett.pdf (992.53 KB - descargado 58 veces.)
* Bounds2.pdf (370.07 KB - descargado 52 veces.)
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« Respuesta #11 : 19/04/2017, 11:50:41 am »

Hola

Depende de los valores de las medias y varianzas de las variables. Por ejemplo cuando [texx]\mu_{X}>0,[/texx] como [texx]Y{\bf 1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X}>\mu_{X}[/texx] tenemos que

[texx]\displaystyle\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big]\leq \sigma^{2}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2}}\Big]=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+\mu_{X}^{2}}<1.[/texx]

El cálculo exacto de la integral mejora la cota, que definitivamente será menor que uno. Nota que para esto no necesitamos que [texx]Y[/texx] sea normal. En el caso en que [texx]\mu_{X}\leq0[/texx] lo buena que sea la cota que tenemos empieza a depender más de la distribución de [texx]Y.[/texx] En este caso, mientras [texx]\mu_{Y}[/texx] sea "suficientemente" grande deberíamos obtener valores menores que uno.

Teniendo en cuenta que:

[texx]g(y)=\dfrac{1}{\sigma^2_X+(y+\mu_X)^2}[/texx]

es cóncava (¡NO LO ES!) por la desigualdad de Jensen se tiene:

[texx]\displaystyle\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big]\leq \frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma^2_X+(E[Y{\bf1}_{\{Y>m\}}]+\color{red}\mu_{X}\color{black})^2}[/texx]

Saludos.

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« Respuesta #12 : 19/04/2017, 11:57:28 am »

Hola

[texx]Eg(Y)=E(\displaystyle\frac{1}{\sigma^2+(Y+\mu)^2})\leq{}g(E(\displaystyle\frac{1}{\sigma^2+(Y+\mu)^2}))[/texx], se puede luego tomar la razón de las esperanzas? Si creo que si pq el numerador y el denominador son independientes.

No hay una errata en el denominador [texx]\mu_X[/texx] está al cuadrado?

Otra pregunta, con la información de la medias y varianzas  e independencia de [texx]X,Y[/texx] en principio no se puede decir mucho más de esta desigualdad, aunque no podemos afirmar que ésta es óptima, no? Se requiere la independencia entre [texx]X,Y[/texx] para esta desigualdad? No veo que Enrique la haya usado.

Saludos
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« Respuesta #13 : 19/04/2017, 01:31:48 pm »

Hola Quema.

[texx]Eg(Y)=E(\displaystyle\frac{1}{\sigma^2+(Y+\mu)^2})\leq{}g(E(\displaystyle\frac{1}{\sigma^2+(Y+\mu)^2}))[/texx], se puede luego tomar la razón de las esperanzas? Si creo que si pq el numerador y el denominador son independientes.

 No. Cunado una función [texx]g[/texx] es convexa tenemos que [texx]g(\mathbb{E}[Z])\leq\mathbb{E}[g(Z)],[/texx] (creo que el_manco tuvo un error de tipeo). Sin embargo la función definida por [texx]f(x)=\frac{1}{a+(b+x)^{2}}[/texx] no es ni cóncava ni convexa, tiene partes donde es cóncava y partes donde es convexa. Si no me he equivocado en las cuentas ocurre que [texx]f[/texx] es convexa en el intervalo [texx][-b+\sqrt{a/3},+\infty{\color{blue})}.[/texx] Entonces si en nuestro problema hacemos que el valor de [texx]m[/texx] crezca de modo que esta condición se satisfaga obtendremos, para [texx]g(y)=\frac{1}{\sigma_{X}^{2}+(y+\mu_{X})^{2}}[/texx] (convexa en un intervalo adecuado) y [texx]Z=Y{\bf 1}_{\{Y> m\}}[/texx] (para un conveniente valor de [texx]m[/texx]) funcionaría la desigualdad de Jensen. Observa que [texx]g[/texx] se evalúa en [texx]Y{\bf 1}_{\{Y> m \}},[/texx] luego directamente de la desigualdad [texx]g(\mathbb{E}[Y{\bf 1}_{\{Y> m\}}])\leq\mathbb{E}[g(Y{\bf 1}_{\{Y> m\}})][/texx] obtenemos lo que el_manco mencionó más arriba.

Cita
No hay una errata en el denominador [texx]\mu_X[/texx] está al cuadrado?

 Sí hay errata, en realidad debe ser [texx]\mu_{X}[/texx] en lugar de [texx]\mu_{X}^{2}.[/texx]

Cita
Otra pregunta, con la información de la medias y varianzas  e independencia de [texx]X,Y[/texx] en principio no se puede decir mucho más de esta desigualdad, aunque no podemos afirmar que ésta es óptima, no?

 Esta desigualdad es una generalización de la desigualdad que mencionas el inicio, cuando [texx]Y[/texx] es una constante. No sé hasta qué punto esta desigualdad sea óptima, sospecho que si queremos mantener el grado de generalidad de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] independientes donde sólo se conocen las medias y las varianzas es óptima; pero sólo es una sospecha, no me he puesto a buscar ejemplos que lo prueben.

Cita
Se requiere la independencia entre [texx]X,Y[/texx] para esta desigualdad? No veo que Enrique la haya usado.

Sí usé la independencia en mi primera respuesta para poder expresar [texx]\mathbb{E}[{\bf1}_{\{X+Y<0\}}][/texx] como una integral doble.

Saludos,

Enrique.

P.S. Reviso esta respuesta más tarde cuando tenga más tiempo, espero que todo esté ben.

Nota: Me parece que todo está bien, en la función [texx]f[/texx] que defino más arriba estoy suponiendo que [texx]a>0.[/texx] Para poder usar la desigualad de Jensen podemos tomar [texx]m=\max\{0,-\mu_{X},-\mu_{X}+\sigma_{X}/\sqrt{3}\}.[/texx]

Nota: Ver la respuesta #27, la convexidad de la función a partir de cierto momento, NO ayuda.
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« Respuesta #14 : 19/04/2017, 02:55:08 pm »

Hola
Si, parece que tienes razón, hice el gráfico y tiene forma de campana, con partes convexas y cóncavas.

Sería más que interesante encontrar la desigualdad óptima con la información que tenemos.

Saludos
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« Respuesta #15 : 19/04/2017, 06:02:41 pm »

Hola.

Sería más que interesante encontrar la desigualdad óptima con la información que tenemos.

 Es que con el grado de generalidad que tenemos podemos decir que nuestra cota superior es óptima, (de hecho incluso la cota que obtenemos luego de aplicar la desigualdad de Jensen). Para construir ejemplos que muestren eso podemos empezar considerando [texx]X[/texx] con soporte en [texx]\{-1,1\}[/texx] tal que [texx]\mathbb{P}[X=-1]=\mathbb{P}[X=1]=1/2[/texx] e [texx]Y[/texx] siendo una variable constante igual a [texx]1-\delta[/texx] (pensando en [texx]\delta>0[/texx] como un número pequeño). Con esta elección, como [texx]\mu_{X}=0[/texx] y [texx]\sigma_{X}=1,[/texx] nuestra cota superior se convierte en

[texx]\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\dfrac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+(1-\delta)^{2}}=\dfrac{1}{1+(1-\delta)^{2}}=:C(\delta).[/texx]

 Por otro lado, tenemos que el verdadero valor de la probabilidad es [texx]\mathbb{P}[X+Y<0]=\mathbb{P}[X<-1+\delta]=\mathbb{P}[X=-1]=1/2.[/texx] Ahora, notemos que cuando [texx]\delta\to0[/texx] nuestra cota [texx]C(\delta)[/texx] tiende al verdadero valor, es decir [texx]\lim_{\delta\to 0}C(\delta)=1/2.[/texx] Entonces podemos decir que nuestra cota es en cierto sentido óptima.

 Ejemplos similares con distribuciones continuas son posibles, basta por ejemplo considerar variables continuas que sean muy similares a las [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] de este ejemplo.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #16 : 20/04/2017, 05:23:56 am »

Hola


 No. Cunado una función [texx]g[/texx] es convexa tenemos que [texx]g(\mathbb{E}[Z])\leq\mathbb{E}[g(Z)],[/texx] (creo que el_manco tuvo un error de tipeo).

No, es que yo estaba pensando en una función cóncava. Cuando es cóncava  la desigualdad es al revés:

[texx]\mathbb{E}[g(Z)]\leq g(\mathbb{E}[Z])[/texx]

que es lo que yo pretendía usar. El problema es que como bien dices, no es cóncava (me precipité haciendo un gráfico rápido en un intervalo demasiado pequeño).

Cita
Sin embargo la función definida por [texx]f(x)=\frac{1}{a+(b+x)^{2}}[/texx] no es ni cóncava ni convexa, tiene partes donde es cóncava y partes donde es convexa. Si no me he equivocado en las cuentas ocurre que [texx]f[/texx] es convexa en el intervalo [texx][-b+\sqrt{a/3},+\infty{\color{blue})}.[/texx] Entonces si en nuestro problema hacemos que el valor de [texx]m[/texx] crezca de modo que esta condición se satisfaga obtendremos, para [texx]g(y)=\frac{1}{\sigma_{X}^{2}+(y+\mu_{X})^{2}}[/texx] (convexa en un intervalo adecuado) y [texx]Z=Y{\bf 1}_{\{Y> m\}}[/texx] (para un conveniente valor de [texx]m[/texx]) funcionaría la desigualdad de Jensen. Observa que [texx]g[/texx] se evalúa en [texx]Y{\bf 1}_{\{Y> m \}},[/texx] luego directamente de la desigualdad [texx]g(\mathbb{E}[Y{\bf 1}_{\{Y> m\}}])\leq\mathbb{E}[g(Y{\bf 1}_{\{Y> m\}})][/texx] obtenemos lo que el_manco mencionó más arriba.

Pero la convexidad no ayuda. ¿No?.

Nostros queremos acotar:

[texx]E[g(Z)]\leq algo[/texx]

La desigualdad de Jensen para convexas nos da lo contrario:

[texx]g(E[Z])\leq algo[/texx]

Cita
Cita
No hay una errata en el denominador [texx]\mu_X[/texx] está al cuadrado?

 Sí hay errata, en realidad debe ser [texx]\mu_{X}[/texx] en lugar de [texx]\mu_{X}^{2}.[/texx]

Ya lo he corregido. Gracias.

Es que con el grado de generalidad que tenemos podemos decir que nuestra cota superior es óptima, (de hecho incluso la cota que obtenemos luego de aplicar la desigualdad de Jensen). Para construir ejemplos que muestren eso podemos empezar considerando [texx]X[/texx] con soporte en [texx]\{-1,1\}[/texx] tal que [texx]\mathbb{P}[X=-1]=\mathbb{P}[X=1]=1/2[/texx] e [texx]Y[/texx] siendo una variable constante igual a [texx]1-\delta[/texx] (pensando en [texx]\delta>0[/texx] como un número pequeño). Con esta elección, como [texx]\mu_{X}=0[/texx] y [texx]\sigma_{X}=1,[/texx] nuestra cota superior se convierte en

[texx]\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\dfrac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{X}^{2}+(1-\delta)^{2}}=\dfrac{1}{1+(1-\delta)^{2}}=:C(\delta).[/texx]

 Por otro lado, tenemos que el verdadero valor de la probabilidad es [texx]\mathbb{P}[X+Y<0]=\mathbb{P}[X<-1+\delta]=\mathbb{P}[X=-1]=1/2.[/texx] Ahora, notemos que cuando [texx]\delta\to0[/texx] nuestra cota [texx]C(\delta)[/texx] tiende al verdadero valor, es decir [texx]\lim_{\delta\to 0}C(\delta)=1/2.[/texx] Entonces podemos decir que nuestra cota es en cierto sentido óptima.

 Pero me parece una concepción demasiado poco exigente de cota óptima. Ten en cuenta que el planteamiento de Quema [texx]\mu_X,\sigma_X,\mu_Y,\sigma_Y[/texx] son datos prefijados.

 Es decir yo entiendo así el problema general:

PROBLEMA 1) Dadas [texx]\mu_X,\mu_Y,\sigma_X^2,\sigma_Y^2[/texx] encontrar [texx]f(\mu_X,\mu_Y,\sigma_X^2,\sigma_Y^2)[/texx] tal que para cualquier para de variables aleatorias independientes [texx]X,Y[/texx] con las medias y varianzas indicadas:

[texx]P(X+Y<0)\leq f(\mu_X,\mu_Y,\sigma_X^2,\sigma_Y^2)[/texx]

 La cota es óptima si para cualquier [texx]\alpha<f(\mu_X,\mu_Y,\sigma_X^2,\sigma_Y^2)[/texx] existen variable [texx]X,Y[/texx] en las condiciones indicadas tales que [texx]P(X+Y<0)>\alpha.[/texx]

 En particular sería óptima si para algún par de variables [texx]X,Y[/texx] en las condiciones dadas se alcanza la cota.

O también un problema más particular:

PROBLEMA 2) Dada una variable aletoria [texx]Y[/texx] (Quema sugería la normal) y [texx]\mu_X,\sigma^2_X[/texx] encontrar [texx]f(\mu_X,\sigma_X^2)[/texx] tal que para cualquier variable [texx]X[/texx] independiente de [texx]Y[/texx] con la media y varianza dadas:

[texx]P(X+Y<0)\leq f(\mu_X,\sigma_X^2)[/texx]

 La cota es óptima si para cualquier [texx]\alpha<f(\mu_X,\sigma_X^2)[/texx] existe variable [texx]X[/texx] en las condiciones indicadas tales que [texx]P(X+Y<0)>\alpha.[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #17 : 20/04/2017, 06:21:47 am »

Hola

 Respecto a Problema 1.

- El caso más trivial y menos útil es en el que [texx]\mu_X,\mu_Y<0[/texx] en ese caso la cota óptima es [texx]1[/texx] (es decir nada valiosa  ).

 Basta tener en cuenta que dadas [texx]\mu_X<0[/texx] y [texx]\sigma_X^2>0[/texx] se puede construir una variable aleatoria (una discreta en dos puntos por ejemplo) con soporte negativo y las medias y varianzas indicadas. Por tanto para un par de tales variables cumplirán que [texx]P(X+Y\leq 0)=1[/texx].

- Si [texx]\mu_X+\mu_Y\geq 0[/texx] usando Cantelli para la variable [texx]X+Y[/texx] se puede dar la siguiente cota:

[texx]P(X+Y\leq 0)\color{red}\leq \color{black}\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx]

Pero no creo que sea óptima.

Saludos.

CORREGIDO
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Luis Fuentes
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« Respuesta #18 : 20/04/2017, 07:37:38 am »

Hola

 Creo que hay otro fallo:

Si llamamos [texx]m=\max\{0,-\mu_{X}\},[/texx] gracias a que [texx]X+Y\leq X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}[/texx] obtenemos que

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0]\leq\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

que es una desigualdad donde básicamente sólo aprovechamos la parte en que [texx]Y[/texx] es positiva.

Si: [texx]X+Y\leq X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}[/texx] entonces:

[texx]\{X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}\leq 0\}\subset \{X+Y\leq 0\}[/texx]

y la desigualdad entre probabiliades sería la opuesta:

[texx]\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\color{red}\geq\color{black}\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0][/texx]

Esto se puede arreglar así:

[texx]P(X+Y\leq 0)=P(X+Y\leq 0|Y<m)P(Y\leq m)+P(X+Y\leq 0|Y> m)[/texx]

Para el primer término usamos la peor de las cotas (porque de momento no tenemos otra); para el segundo la desigualdad de Cantelli. Quedaría:

[texx]P(Y\leq m)+\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

En el caso particular en que apliquemos esto a lo que llamé Problema 2, esa cota es pefectamente calculable dado que la distribución de [texx]Y[/texx] es conocida (por ejemplo una normal).

En el caso general si además se tiene que [texx]\mu_Y>-m[/texx] aplicando de nuevo Cantelli tendríamos la cota:

[texx]\dfrac{\sigma^2_Y}{\sigma^2_Y+(\mu_Y-m)^2}+\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx]

Pero esto ya se parece mucho a la otra cota que comenté en mi mensaje anterior y no sé si será mejor:

- Si [texx]\mu_X+\mu_Y\geq 0[/texx] usando Cantelli para la variable [texx]X+Y[/texx] se puede dar la siguiente cota:

[texx]P(X+Y\leq 0)=\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx]

Pero no creo que sea óptima.

Ahora bien realmente no sé si estas cotas son efectivas o demasiado toscas en la práctica.

Lo que realmente me gustaría es encontrar las óptimas. 

Saludos.

P.D. Aquí tengo otra duda EnRIquE. ¿Por qué tomas [texx]m=max\{0,-\mu_X\}[/texx] y no simplemente [texx]m=-\mu_x[/texx]?. ¿Es decir porque necesitamos [texx]Y[/texx] positiva para aplicar Cantelli?.

Entiendo que para una variable [texx]Z[/texx] con [texx]media positiva[/texx] se tiene que:

[texx]P(Z\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_Z^2}{\sigma_Z^2+\mu_Z^2}[/texx]

Para aplicar esto a [texx]Z=X+y[/texx] basta que [texx]\mu_X+y>0[/texx] es decir que [texx]y>-\mu_X[/texx]. ¿No?-
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« Respuesta #19 : 20/04/2017, 09:06:20 am »

Hola

Para acotar un poco el problema supongamos que [texx]P(X>0)=1,P(-1\leq{}Y\leq{}1)=1[/texx] y quiero encontrar [texx]P(X+Y<0)=P(\left\{{-1\leq{}Y<-X}\right\}\cap{}\left\{{X<1}\right\})[/texx] y luego separar las probabilidades, pero me doy cuenta que los eventos no son independientes.

Ahora, pensando un poco, capaz que es un divague esto que voy a decir: No puedo hallar una función cuadrática que pase por [texx]\mu_X>0[/texx] y [texx]\mu_Y>0[/texx] y sea tangente a lar recta [texx]y=-x[/texx] en el intervalo [texx]x\in(0,1)[/texx] y la probabilidad en ese punto será una cota superior de [texx] P(-1\leq{}Y<-X)[/texx] y creo que no puedo ser mejorado. Para la otra probabilidad usamos las desigualdades de probabilidades conocidas. Algo parecido al utilizado en el artículo adjunto.

Saludos

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