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Autor Tema: Chebyschev  (Leído 13635 veces)
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« Respuesta #60 : 26/04/2017, 09:12:28 am »

Hola

Pero en Willassen no se exige que [texx]g(0)=0[/texx], con el soporte nuevo, debería ser [texx]g(a)=0[/texx], no? condición que no cumple nuestra función?

Saludos
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« Respuesta #61 : 26/04/2017, 11:02:04 am »

Hola

Pero en Willassen no se exige que [texx]g(0)=0[/texx], con el soporte nuevo, debería ser [texx]g(a)=0[/texx], no? condición que no cumple nuestra función?

Correcto. Pero lo que he hecho es aplicarla para la función [texx]h(y)=g(y)-g(a)[/texx].

Es decir para una función [texx]h(xy[/texx] convexa decreciente con soporte en [texx][a,+\infty)[/texx] y [texx]h(a)=0[/texx] Williassen dice que:

[texx]E[h(y)]\leq \dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}h\left(\mu_x+\dfrac{\sigma_Y^2}{\mu_Y-a}\right)[/texx]

Si lo aplicamos para [texx]h(y)=g(y)-g(a)[/texx] queda:

[texx]E[g(y)]=E[h(y)]+E[g(a)]=E[h(y)]+g(a)\leq  \dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}h\left(\mu_x+\dfrac{\sigma_Y^2}{\mu_Y-a}\right)+g(a)=[/texx]

    [texx]=\dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}\left(g\left(\mu_x+\dfrac{\sigma_Y^2}{\mu_Y-a}\right)-g(a)\right)+g(a)=[/texx]


    [texx]=\dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}g\left(\mu_x+\dfrac{\sigma_Y^2}{\mu_Y-a}\right)+\left(1-\dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}\right)g(a)=[/texx]

    [texx]=\dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}g\left(\mu_x+\dfrac{\sigma_Y^2}{\mu_Y-a}\right)+\dfrac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}g(a)[/texx]

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« Respuesta #62 : 26/04/2017, 11:10:12 am »

Hola

Ok, y esta cota final, no es óptima de [texx]P(X+Y<0)[/texx] aún siendo [texx]X,Y[/texx] independientes? Pq si entendí bien en la primer desigualdad la aplicamos a [texx]X[/texx] y en la segunda a [texx]Y[/texx], pero al ser independientes, me suena a que podría resultar óptima.

Saludos
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« Respuesta #63 : 26/04/2017, 12:06:24 pm »

Hola

Ok, y esta cota final, no es óptima de [texx]P(X+Y<0)[/texx] aún siendo [texx]X,Y[/texx] independientes? Pq si entendí bien en la primer desigualdad la aplicamos a [texx]X[/texx] y en la segunda a [texx]Y[/texx], pero al ser independientes, me suena a que podría resultar óptima.

A ver si me explico.

La primera cota la utilizamos para acotar [texx]P(X+y<0)[/texx]:

[texx]P(X+y<0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu+y)^2}[/texx]

La distribución que [texx]X[/texx] que da esa cota óptima depende del valor de [texx]y[/texx] (esa es la clave del problema). Es una distribución discreta que toma valores en dos puntos que dependen de [texx]y[/texx].

A su vez la distribución que da la cota óptima para [texx]Y[/texx] (la de Williasen) también toma valore en dos puntos [texx]y_1[/texx] e [texx]y_2[/texx].

 El problema al combinar ambas, es que la distribución que usemos para la cota óptima de [texx]X[/texx] o bien usa [texx]y_1[/texx] o bien usa [texx]y_2[/texx], pero no ambas. Entonces la combinación de ambas distribuciones no va a dar la cota óptima.

 Sea como sea, si estoy confundido y la cota es óptima la forma, la forma de probarlo es dar un ejemplo de distribución donde se alcanza.

Saludos.
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« Respuesta #64 : 26/04/2017, 12:19:42 pm »

Hola

Pero, en general, estas cotas, si son óptimas, se llega con una distribución con dos valores de soporte por cada variable aleatoria, no?. Si no es fácil hallarlos, puede que no sean óptimas, no?

Saludos
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« Respuesta #65 : 26/04/2017, 12:49:25 pm »

Hola

Pero, en general, estas cotas, si son óptimas, se llega con una distribución con dos valores de soporte por cada variable aleatoria, no?. Si no es fácil hallarlos, puede que no sean óptimas, no?

Si, normalmente si son óptimas se prueba con el tipo de distribución que dices. Pero no puedo afirmar rigurosamente que tenga que ser así.

Saludos.
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« Respuesta #66 : 26/04/2017, 12:51:51 pm »

Hola

El problema primario es hallar la menor cota superior de [texx]P(X+Y<0)=E(1\left\{{X+Y<0}\right\})[/texx] no se debería hallar la cota óptima de la función indicatriz y luego tomar esperanza.

Saludos
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« Respuesta #67 : 26/04/2017, 12:57:26 pm »

Hola

El problema primario es hallar la menor cota superior de [texx]P(X+Y<0)=E(1\left\{{X+Y<0}\right\})[/texx] no se debería hallar la cota óptima de la función indicatriz y luego tomar esperanza.

La cota óptima es la propia función; la cota "óptima" por un polinomio de grado dos (para hacer intervenir al aplicar esperanza la media y varianza). Esa es la idea que planteé aquí:

En dos variables habría que hacer algo así. Considerar la función:

[texx]f(x,y)={\bf 1}_{X+Y<0}(x,y)=\begin{cases} 1 & \text{si}& X+Y<0\\0 & \text{si}& X+Y\geq 0\end{cases}[/texx]

de forma que:

[texx]P(X+Y<0)=E[f(X,Y)][/texx]

después construir una función de grado [texx]2[/texx], [texx]z=g(x,y)[/texx] verficando:

[texx]f(x,y)\geq g(x,y)[/texx] para todo [texx](x,y)\in \mathbb{R^2}[/texx]

de forma que:

[texx]P(X+Y<0)=E[f(X,Y)]\leq E[g(X,Y)][/texx]

Como [texx]g(X,Y)[/texx] es da grado dos su esperanza puede calcularse en términos de la esperanza, varianza y covarianza (si fuesen dependientes) de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx].

Finalmente de todas las [texx]g(x,y)[/texx] en esas condiciones escoger la que de menor valor de [texx]E[g(x,y)].[/texx]

La cosa es que aquí no es tan obvio como escoger la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx]  En principo tiene que ser:

1- positiva.
2- tangente al plano [texx]z=0[/texx].
3- tangente a la recta [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx].

Si uno escoge por ejemplo un cilindro parábolico con generatices paralelas a [texx]x+y=0[/texx] la cota que se obtiene es exactamente la de Cantelli para la variable [texx]X+Y[/texx].

Se podría intentar ver que sale más en general con una superficie cumpliendo (1),(2),(3).

Estuve intentado algo en ese sentido pero no he llegado a nada concreto.

Cuando usamos [texx]Z=X+Y[/texx] y Cantelli es como si cogíesemos como función de grado dos un cilindro parabólico paralelo a la recta [texx]X+Y[/texx]; a vuelvapluma parecería la mejor opción posible.

Saludos.
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« Respuesta #68 : 26/04/2017, 02:15:31 pm »

Es decir, la función tendrá esta forma?

[texx]g(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f[/texx], siendo [texx]a,b,c,d,e,f[/texx] constantes.




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« Respuesta #69 : 26/04/2017, 02:25:58 pm »

Hola

Es decir, la función tendrá esta forma?

[texx]g(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f[/texx], siendo [texx]a,b,c,d,e,f[/texx] constantes.

Exacto. Dado que queremos acotar superiormente [texx]1_{X+Y<0}[/texx] es razonable constuirla tangente al plano [texx]z=0[/texx] en un punto [texx](x_0,y_0)[/texx] con [texx]x_0+y_0\geq 0[/texx]. Se puede probar que eso la deja con esta "pinta":
[texx]
g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #70 : 26/04/2017, 02:30:49 pm »

[texx](x_0,y_0)[/texx] qué valores puede tomar? [texx](0,0)[/texx], digo para simplificar o capaz [texx](\mu_X,\mu_Y)[/texx] de moda que cuando se tomen esperanzas queda la covarianza y si son independientes quedaría cero y queda las sumas de las varianzas, sin saber qué es [texx]a,b[/texx] :¿eh?:
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« Respuesta #71 : 26/04/2017, 02:36:48 pm »

Hola

[texx](x_0,y_0)[/texx] qué valores puede tomar? [texx](0,0)[/texx], digo para simplificar o capaz [texx](\mu_X,\mu_Y)[/texx] de moda que cuando se tomen esperanzas queda la covarianza y si son independientes quedaría cero y queda las sumas de las varianzas, sin saber qué es [texx]a,b[/texx] :¿eh?:

[texx](x_0,y_0)[/texx] puede tomar cualquier valor con la condición [texx]x_0+y_0>0[/texx].

Cualquier limitación (que no emane de la condición ineludible de que [texx]g(x,y)\geq 1_{X+Y>0}[/texx] o de algún criterio obvio de optimización) que le pongamos, a priori podría dejar fuera la cota óptima.

En concreto las condiciones que hay que añadir son:

1) [texx]a\geq 0[/texx], [texx]c\geq  0[/texx] y [texx]4ac-b^2\geq 0[/texx], todo esto para garantizar que en [texx](x_0,y_0)[/texx] efectivamente hay un mínimo y no un máximo.

2) Que la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx] sea tangente a la recta [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx]. Esto se traduce a una ecuación que relaciona los coeficientes [texx]a,b,c,x_0,y_0[/texx].

Con esas restricciones hay que hallar [texx]a,b,c,x_0,y_0[/texx] para que [texx]E[g(x,y)][/texx] sea mínimo.

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« Respuesta #72 : 26/04/2017, 02:45:36 pm »

Pero en el problema original [texx]X[/texx] tiene soporte positivo, por lo tanto [texx]x\leq{}0[/texx] y [texx]Y[/texx] puede tomar valores negativos, creo que el análisis que estamos buscando no le imponemos esta condición del soporte, no?. Entonces [texx](x_0,y_0)[/texx] surgen del proceso de optimización, no puede tomarse las medias, por ejemplo?

Quedaría


[texx]min \left\{{aE(X-x_0)^2+bE(X-x_0)(Y-y_0)+cE(Y-y_0)^2}\right\}[/texx], no queda muy lindo, pq [texx]a=c=0[/texx] hay algo que no me gusta.
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« Respuesta #73 : 26/04/2017, 03:04:32 pm »

Hola

Pero en el problema original [texx]X[/texx] tiene soporte positivo, por lo tanto [texx]x\leq{}0[/texx] y [texx]Y[/texx] puede tomar valores negativos, creo que el análisis que estamos buscando no le imponemos esta condición del soporte, no?.

No entiendo que quieres decir con ese párrafo. Efectivamente todo lo que he razonado en mis últimos mensajes es sin ninguna condición en los soportes.

Cita
Entonces [texx](x_0,y_0)[/texx] surgen del proceso de optimización, no puede tomarse las medias, por ejemplo?

Pero nada asegura que tomando ese punto sobre las medias se obtenga la cota óptima; de hecho en el análogo de una dimensión (Cantelli) que puede probarse acotando con una parábola de forma análoga a lo que intentamos aquí, si mal no recuerdo el vértice de esa parábola, su mínimo, NO está sobre la media.

Cita
Quedaría

[texx]min \left\{{aE(X-x_0)^2+bE(X-x_0)(Y-y_0)+cE(Y-y_0)^2}\right\}[/texx], no queda muy lindo, pq [texx]a=c=0[/texx] hay algo que no me gusta.

Efectivamente si tomas [texx](x_0,y_0)=(\mu_X,\mu_y)[/texx] y son independientes eso queda sólo en función de las varianzas, desapareciendo las medias.

No olvides además que hay que imponer que la función quede por encima del trozo de plano gráfica de [texx]1_{X+Y>0}[/texx]; por eso impongo esa condición de tangencia sobre la recta límite de ese semiplano.

Saludos.
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« Respuesta #74 : 26/04/2017, 03:23:27 pm »

Entonces la optimización sería
 
[texx]min\left\{{g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2}\right\}[/texx] sujeto a cuáles restricciones. Una restricción pusiste [texx]z=1[/texx] y luego la cambiaste a [texx]z=0[/texx] para llegar a esta expresión, cuál de las dos va?





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« Respuesta #75 : 26/04/2017, 03:32:16 pm »

Hola

Entonces la optimización sería
 
[texx]min\left\{{g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2}\right\}[/texx] sujeto a cuáles restricciones. Una restricción pusiste [texx]z=1[/texx] y luego la cambiaste a [texx]z=0[/texx] para llegar a esta expresión, cuál de las dos va?

No soy consciente de haber cambiado nada. Las restricciones son estas:

[texx](x_0,y_0)[/texx] puede tomar cualquier valor con la condición [texx]x_0+y_0>0[/texx].

[...]

1) [texx]a\geq 0[/texx], [texx]c\geq  0[/texx] y [texx]4ac-b^2\geq 0[/texx], todo esto para garantizar que en [texx](x_0,y_0)[/texx] efectivamente hay un mínimo y no un máximo.

2) Que la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx] sea tangente a la recta [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx]. Esto se traduce a una ecuación que relaciona los coeficientes [texx]a,b,c,x_0,y_0[/texx].

Con esas restricciones hay que hallar [texx]a,b,c,x_0,y_0[/texx] para que [texx]E[g(x,y)][/texx] sea mínimo.

Y ojo, lo que hay que minimizar no es [texx]g(x,y)[/texx], sino [texx]E[g(x,y)].[/texx]

Nota que [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx] son LAS DOS juntas la ecuación de una recta.

La ecuación que digo que sale de la condición (2) tendría que calcularla. No es bonita.

Saludos.
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« Respuesta #76 : 26/04/2017, 03:50:15 pm »

Si, me comí el operador esperanza. En el mensaje 69 pones [texx]z=0[/texx] capaz que es una errata.
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« Respuesta #77 : 26/04/2017, 04:30:15 pm »

Hola

Si, me comí el operador esperanza. En el mensaje 69 pones [texx]z=0[/texx] capaz que es una errata.

No, no es una errata. Ahí digo que tiene que ser tangente al plano [texx]z=0[/texx], porque me estoy refieriendo a ajustarlo a la parte donde la función [texx]1_{X+Y<0}[/texx] vale cero. Por eso digo que tiene que tener un mínimo en [texx](x_0,y_0)[/texx] con [texx]x_0+y_0\geq 0.[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #78 : 26/04/2017, 04:42:22 pm »

Hola

Pero si tenemos que minimizar [texx]E\left\{{g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2}\right\}=aE(X-x_0)^2+bE(X-x_0)(Y-y_0)+cE(Y-y_0)^2[/texx] sujeto a algo, eso no implica poner [texx]a=b=c=0[/texx]. Por eso digo que queda medio raro, es como si impusiera que el mínimo de [texx]Eg(X,Y)=0[/texx], algo en el razonamiento estoy haciendo mal.

Saludos
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« Respuesta #79 : 26/04/2017, 05:24:19 pm »

Hola

Cita
Pero si tenemos que minimizar [texx]E\left\{{g(x,y)=a(x-x_0)^2+b(x-x_0)(y-y_0)+c(y-y_0)^2}\right\}=aE(X-x_0)^2+bE(X-x_0)(Y-y_0)+cE(Y-y_0)^2[/texx] sujeto a algo, eso no implica poner [texx]a=b=c=0[/texx]. Por eso digo que queda medio raro, es como si impusiera que el mínimo de [texx]Eg(X,Y)=0[/texx], algo en el razonamiento estoy haciendo mal.

Estás olvidando esta condición troncal:

2) Que la superficie [texx]z=g(x,y)[/texx] sea tangente a la recta [texx]x+y=0[/texx], [texx]z=1[/texx]. Esto se traduce a una ecuación que relaciona los coeficientes [texx]a,b,c,x_0,y_0[/texx].

Esa es la que nos garantiza que la superficie "remonte", se "levante" sobre la función [texx]1_{X+Y<0}[/texx]

Saludos.
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