16/08/2018, 12:33:15 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: 1 2 [3] 4 5 ... 8   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Chebyschev  (Leído 12740 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #40 : 21/04/2017, 07:35:23 pm »

Hola

En el caso de la cota que es óptima, no se exigió el conocimiento de la varianza. Yo comparé numéricamente las cotas

[texx]\dfrac{\sigma^2_X}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X}[/texx]

con

[texx]\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx]

tirando algunos datos y la primera me da, al menos para los valores que puse, siempre menor que la otra, respetando la condición de la media y agregando el conocimiento de la varianza. No veo entonces cómo se puede mejorar aún más la cota óptima con la información adicional de la varianza de [texx]Y[/texx], salvo que esto demuestre que la segunda cota no es óptima.

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #41 : 21/04/2017, 08:04:34 pm »

Hola

Hola

En el caso de la cota que es óptima, no se exigió el conocimiento de la varianza. Yo comparé numéricamente las cotas

[texx]\dfrac{\sigma^2_X}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X}[/texx]

con

[texx]\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}[/texx]

tirando algunos datos y la primera me da, al menos para los valores que puse, siempre menor que la otra, respetando la condición de la media y agregando el conocimiento de la varianza. No veo entonces cómo se puede mejorar aún más la cota óptima con la información adicional de la varianza de [texx]Y[/texx], salvo que esto demuestre que la segunda cota no es óptima.

Las cotas pueden escribirse respectivamente como:

[texx]\dfrac{\sigma^2_X}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X}=\dfrac{1}{\dfrac{(\mu_x+\mu_y)^2}{\sigma^2_X}+1}[/texx]

y


[texx]\dfrac{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}{(\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma^2_X+\sigma^2_Y}=\dfrac{1}{\dfrac{(\mu_x+\mu_y)^2}{\sigma^2_X+\sigma^2_Y}+1}[/texx]

Dado que la función [texx]f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}[/texx] es decreciente para [texx]x>0[/texx] efectivamente la primera cota siempre es más pequeña que la segunda.

Pero tienes que tener en cuenta una cosa, en la primera usamos un dato adicional, el soporte de [texx]Y[/texx] y no es válida para cualquier soporte; sólo cuando cumple la cota indicada. En ese caso lo que digo es que si además de conocer ese dato sobre el soporte, conociésemos la varianza de [texx]Y[/texx] previsiblemente podría mejorarse. Eso no contradice la comparación con las cotas que indicas, porque como te digo la segunda no usa el supuesto del soporte.

Por otra parte tampoco nos sirve para asegurar 100% que la segunda cota no es óptima; pudiera existir una distribución [texx]Y[/texx] con el soporte fuera del que exigimos para la primera cota, que alcanzase el valor de la segunda cota.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #42 : 21/04/2017, 08:17:39 pm »

Hola

Estoy viendo que la cota que llegamos sabiendo la media de [texx]Y[/texx] en si no ayuda mucho, pues es igual a la cota de mi primer mensaje tomando [texx]Y=\mu_Y[/texx].

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #43 : 22/04/2017, 03:54:13 am »

Hola

Estoy viendo que la cota que llegamos sabiendo la media de [texx]Y[/texx] en si no ayuda mucho, pues es igual a la cota de mi primer mensaje tomando [texx]Y=\mu_Y[/texx].

No sé muy bien que quieres decir con que "no ayuda mucho". Fíjate que de hecho la cota general para dos variables [texx]X,Y[/texx] (frente una variable [texx]X[/texx] y una constante [texx]Y=a[/texx]) TIENE que ser igual... o peor. Me explico:

La cota de tu primer mensaje es la cota de Cantelli que sabemos que es óptima; es un caso particular de cota conocidas varianza y media de [texx]X[/texx] y media de [texx]Y[/texx], cuando la variable [texx]Y[/texx] es constante igual a esa media.

Pero no es obvio ni trivial que esa misma cota siga funcionando cuando [texx]Y[/texx] no es constante igual a su media; de hecho nosotros solo hemos probado que sigue funcionando cuando el soporte de [texx]Y[/texx] está acotado de la forma indicada. En general, sin esa restricción del soporte, quizá esa cota no funcione.

Saludos.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #44 : 22/04/2017, 05:19:42 am »

Hola

 Usando las técnicas del artículo de Scarf he hallado otra cota para el caso en el que tenemos datos sobre el soporte de [texx]Y[/texx] (soporte acotado) pero usando también su varianza. No es óptima.

 Esencialmente la idea es acotar superiormente [texx]g(y)=\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx] por una parábola [texx]h(y)=1-a(\mu_x+y)^2[/texx].

 Llego a lo siguiente (convendría revisarlo):

 Si [texx]X[/texx] es una variable aleatoria de media [texx]\mu_X[/texx] y varianza [texx]\sigma_X^2[/texx], e [texx]Y[/texx] es una variable aleatoria independiente de [texx]X[/texx] con media [texx]\mu_Y[/texx], varianza [texx]\sigma_X^2[/texx] y soporte en [texx][-\mu_X,-\mu_X+b][/texx] y [texx]\color{red}\cancel{b^2+\sigma_X^2\geq 1}\color{black}[/texx], entonces:

[texx]\bf{\color{green}P(X+Y\leq 0)\leq 1-\dfrac{\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}{\sigma_X^2+b^2}\color{black}}[/texx] (COTA 3)  (válida si [texx]sop(Y)\subset [-\mu_X,-\mu_X+b][/texx] y [texx]\color{red}\cancel{b^2+\sigma_X^2\geq 1}\color{black}[/texx])

 Nótese que para que sea compatible con el soporte, la varianza de [texx]Y[/texx] como máximo vale [texx]b^2/4[/texx].

 Las otras cotas que tenemos son:

[texx]\bf{P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}}[/texx] (COTA 1) (válida si [texx]\mu_X+\mu_Y\geq 0[/texx])

[texx]\bf{\color{blue}P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}\color{black}}[/texx] (COTA 2) (válida si [texx]sop(Y)\subset [-\mu_X,-\mu_X+\sqrt{\sigma_X^2/3}][/texx]

 Puede verse la comparación entre ellas en este gráfico, donde el eje de las [texx]X[/texx] corresponde al valor de la media de [texx]Y[/texx]. En rojo está dibujado también el valor de la COTA 3-COTA 2, para que se vea mejor cual es más pequeña.


Saludos.

P.D. En cuanto a la posiblidad de encontrar cotas óptimas conocida la varianza de [texx]Y[/texx], habría que cambiar de estrategia. En todo lo que hemos hecho usamos de manera indpendiente la desigualdad de Cantelli para la variable [texx]X[/texx]. Está desigualdad es óptima pero la dsitribuciónd e [texx]X[/texx] que alcanza el óptimo para [texx]P(X+a\leq 0)[/texx] depende de [texx]a[/texx]. Si la usamos para [texx]P(X+Y\leq 0)[/texx] solo podemos aspirar a cota óptima cuando [texx]Y[/texx] puede tomar un sólo valor; si exigimos varianza de [texx]Y[/texx] no nula esto ya no se da.

CORREGIDO

* cantelli2.ggb (9.12 KB - descargado 63 veces.)
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #45 : 22/04/2017, 09:26:04 am »

Hola

Lo revisaré todo. La condición [texx]V(Y)\leq{}b^2/4[/texx] se cumple por la desigualdad de Gruss de covarianzas. En resumen, tendríamos tres cotas. En la segunda cota, también se cumple [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx], pues la media de [texx]Y[/texx] necesariamente es un valor de su soporte. La cota 3 es muy parecida a la cota 2, pero se le agrega una nueva restricción. Hay algo raro en el gráfico, si se mueve [texx]b[/texx] la varianza de [texx]Y[/texx] debería incrementarse y de hecho baja.

En muchas de las desigualdades existentes (ver archivos adjuntos de otros mensajes Bennett.pdf y Bounds.pdf) se llegan a cotas del estilo

[texx]P(X+Y>t\sigma_{X+Y})<e^{f(t)}[/texx] con [texx]f(0)=0.[/texx] aunque el signo dentro de la probabilidad es distinto al nuestro.

Saludos


En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #46 : 22/04/2017, 01:23:11 pm »

Hola

Lo revisaré todo. La condición [texx]V(Y)\leq{}b^2/4[/texx] se cumple por la desigualdad de Gruss de covarianzas.

Si, eso es lo que quise decir. Lo puntualizaba no como condición a exigir en el teorema, sino simplemente para tener cuidado a la hora de tomar ejemplos; no tiene sentido tomar uno donde no se cumpla esa cota porque no existirían distribuciones en esas condiciones. Eso lo he tenido en cuenta en el gráfico y el propio Geogebra controla que no se supere esa cota. Por esto en algún caso al modificar el valor de [texx]b[/texx] o el de la varianza se ve a su vez cambiado el otro, para respetar la condición.

De hecho olvidé que debido a que también es un dato la media de [texx]Y[/texx], la condición es todavía más restrictiva (y  por eso para ciertos ejemplos me salía una cota 3 negativa, lo cuál no es posible). Se tiene que cumplir que:

[texx]\sigma_2^Y\leq (-\mu_X+b-\mu_Y)(\mu_Y+\mu_X)[/texx]

Eso no lo tiene en cuenta el gráfico, y por eso pudiera haber algún resultado extraño. Una vez más esa condición no es que sea un hipótesis de la cota, sino que no existen distribuciones [texx]Y[/texx] que NO la cumplan.

Cita
En resumen, tendríamos tres cotas. En la segunda cota, también se cumple [texx]\mu_X+\mu_Y>0[/texx], pues la media de [texx]Y[/texx] necesariamente es un valor de su soporte.


Si, por supuesto. En las tres cotas se cumple eso.

Cita
La cota 3 es muy parecida a la cota 2, pero se le agrega una nueva restricción. Hay algo raro en el gráfico, si se mueve [texx]b[/texx] la varianza de [texx]Y[/texx] debería incrementarse y de hecho baja.

Las posibles interacciones entre [texx]b[/texx] y la varianza son debidas al "esfuerzo" de geogebra por respetar la desigualdad de Gruss. Sea como sea , fuera del control cota, en realidad son dos parámetros independientes que podemos elegir al gusto; no hay ningún motivo para que uno baje o suba al subir o bajar el otro.

Cita
La cota 3 es muy parecida a la cota 2, pero se le agrega una nueva restricción

OJO. La cota 3 es más rica que la cota 2; vale para cualquier soporte finito de [texx]Y[/texx] a la derecha de [texx]-\mu_X[/texx] y en ella interviene la varianza de [texx]Y[/texx]. Es significativamente mejor que la 2, cuando la varianza de [texx]Y[/texx] es alta.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #47 : 22/04/2017, 06:21:55 pm »

Hola

No me queda muy claro las pruebas de las cotas. La desigualdad de Cantelli dice que [texx]P(X-\mu\geq{}\lambda)\leq{\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sigma^2+\lambda^2}}[/texx]. Decimos que [texx]\bf{P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}}[/texx], no veo muy claro que es [texx]\lambda[/texx].

Ahora en la segunda cota creo

[texx]\bf{\color{blue}P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}\color{black}}[/texx] utilizamos
[texx]
\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0]\leq\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx] y la desigualdad de Jensen? Primero como [texx]\mu_X>0[/texx] el [texx]m=0[/texx], pero como definimos el soporte entonces [texx]Y\left\{{1Y>0}\right\}[/texx] es cero, salvo que [texx]-mu_X+\sqrt{\sigma_X^2/3}>0[/texx], pero en principio no tiene por qué cumplirse. Y no entiendo cómo se llega a la media de [texx]Y[/texx] en el denominador.

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #48 : 23/04/2017, 08:14:34 am »

Hola

No me queda muy claro las pruebas de las cotas. La desigualdad de Cantelli dice que [texx]P(X-\mu\geq{}\lambda)\leq{\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sigma^2+\lambda^2}}[/texx].

Si, dice eso para [texx]\lambda>0[/texx]. Podemos usar esa desigualdad para probar que:

 [texx]P(Z+a\leq 0)\leq{\displaystyle\frac{\sigma^2}{\sigma^2+(\mu_Z+a)^2}}[/texx].

si [texx]\mu_Z+a\geq 0[/texx].

 Para ello basta considerar la variable aleatoria [texx]X=-Z[/texx] y [texx]\lambda=\mu_Z+a=a-\mu_X[/texx]. Entonces:

[texx]P(Z+a\leq 0)=P(-X+a\leq 0)=P(X-a\geq 0)=P(X-\mu_X\geq a-\mu_X)=P(X-\mu_X\geq \mu_Z+a)[/texx]

y usar que [texx]\sigma_X^2=\sigma_Z^2[/texx].

Cita
Decimos que [texx]\bf{P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}{\sigma_X^2+\sigma_Y^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}}[/texx], no veo muy claro que es [texx]\lambda[/texx].

Ahora basta usar la desigualdad que indiqué antes para [texx]Z=X+Y[/texx] y [texx]a=0[/texx]. Para aplicarla necesitamos que [texx]\mu_X+\mu_y>0[/texx].

Cita
Ahora en la segunda cota creo

[texx]\bf{\color{blue}P(X+Y\leq 0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}\color{black}}[/texx] utilizamos
[texx]
\displaystyle\mathbb{P}[X+Y<0]\leq\mathbb{P}[X+Y{\bf 1}_{\{Y\geq m\}}<0]\leq\sigma^{2}_{X}\mathbb{E}\Big[\frac{1}{\sigma^{2}_{X}+(Y{\bf1}_{\{Y>m\}}+\mu_{X})^{2}}\Big][/texx] y la desigualdad de Jensen? Primero como [texx]\mu_X>0[/texx] el [texx]m=0[/texx], pero como definimos el soporte entonces [texx]Y\left\{{1Y>0}\right\}[/texx] es cero, salvo que [texx]-mu_X+\sqrt{\sigma_X^2/3}>0[/texx], pero en principio no tiene por qué cumplirse. Y no entiendo cómo se llega a la media de [texx]Y[/texx] en el denominador.

No. Usamos lo siguiente:

[texx]P(X+Y<0)=E[1_{X+Y<0}]=E[E[1_{X+y<0}|Y=y]][/texx]

Bajo el supueso de que [texx]sop(Y)\subset [-\mu_X,+\infty)[/texx] se tiene que [texx]\mu_X+y>0[/texx] y podemos aplicar la desigualdad de Cantelli (en la versión que demostré arriba). Además por la independencia de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] el condicionamiento de [texx]X[/texx] a [texx]Y=y[/texx] no varía su media y varianza. Por tanto:

[texx]P(X+Y<0)=E[1_{X+Y<0}]=E[E[1_{X+y<0}|Y=y]]\leq E\left[\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+Y)^2}\right][/texx]

Tengo que irme ahora.. lo último es aplicar Jensen para la función cóncava:

[texx]g(y)=\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #49 : 23/04/2017, 10:34:07 am »

Hola
La primera cota cómo es este paso

[texx]E[E[1_{X+y<0}|Y=y]]\leq E\left[\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+Y)^2}\right][/texx]. Puede ser

[texx]P(X+y<0|Y=y)\leq{}\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]?

Pero no tiene que ir dividido por la [texx]P(Y=y)[/texx]?

En la prueba de la segunda, no es que el soporte de [texx]Y[/texx] estaba acotado superiormente, de forma que [texx]g(y)[/texx] fuera cóncava, debe haber una errata ahí. Y si puedes ser un poco más específico en la prueba de la cota 3.

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #50 : 24/04/2017, 03:59:50 am »

Hola

La primera cota cómo es este paso

[texx]E[E[1_{X+y<0}|Y=y]]\leq E\left[\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+Y)^2}\right][/texx]. Puede ser

[texx]P(X+y<0|Y=y)\leq{}\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]?

Pero no tiene que ir dividido por la [texx]P(Y=y)[/texx]?

Más o menos. Ten en cuenta que por ejemplo para Y discreta tendríamos:

[texx]
P(X+y<0|Y=y)=\dfrac{P(X+y<0\cap Y=y)}{P(Y=y)}[/texx]

por la independencia de [texx]X,Y[/texx] en el numerador:

[texx]
P(X+y<0\cap Y=y)=P(X+Y<0)P(Y=y)[/texx]

y [texx]P(Y=y) [/texx]se cancela con el denominador.

Digo más o menos porque escribirlo así, usando [texx]P(Y=y)[/texx] requiere que esa probabilidad sea no nula (imposible por ejemplo en una variable continua). Entonces de manera más general, por la independencia de [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx]:

[texx]E[1_{X+y<0}|Y=y]=E[1_{X+y<0}][/texx]

y después:

[texx]E[1_{X+y<0}]=P(X+y<0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]

Cita
En la prueba de la segunda, no es que el soporte de [texx]Y[/texx] estaba acotado superiormente, de forma que [texx]g(y)[/texx] fuera cóncava, debe haber una errata ahí.


Es que me quedé en ese paso. En lo que escribí simplemente he usado que el soporte de [texx]Y[/texx] está en [texx][-\mu_X,+\infty)[/texx].

Continuando. Si llamamos:

[texx]g(y)=\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]

Comprueba que su segunda derivada es negativa en el intervalo [texx][-\mu_X,-\mu_X+\color{red}\sigma_x/\sqrt{3}\color{black}][/texx]

y por tanto cóncava.

Entonces si [texx]Y[/texx] tiene el soporte en [texx][-\mu_X,-\mu_X+\color{red}\sigma_x/\sqrt{3}\color{black}][/texx], por la desigualdad de Jensen:

[texx]E[g(Y)]\leq g(E[Y])=g(\mu_Y)[/texx]

De ahí directamente:

[texx]E\left[\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+Y)^2}\right]\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2}[/texx]

Cita
Y si puedes ser un poco más específico en la prueba de la cota 3.

Continuará...

Saludos.

CORREGIDO
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #51 : 24/04/2017, 09:15:27 am »

Hola

Ahora si me queda claro. Una pregunta, cuando se exige que el soporte de [texx]Y[/texx] dependa de la media de [texx]X[/texx], de alguna forma eso no invalida que [texx]X,Y[/texx] sean independientes?

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #52 : 24/04/2017, 11:05:24 am »

Hola

Ahora si me queda claro. Una pregunta, cuando se exige que el soporte de [texx]Y[/texx] dependa de la media de [texx]X[/texx], de alguna forma eso no invalida que [texx]X,Y[/texx] sean independientes?

No. No invalida. Simplemente restringe las condiciones bajo las cuales podemos aplicar nuestra cota.

Pero que sean independientes o no, no tiene nada que ver con que sus medias y varianzas estén más o menos próximas o cumplan tal o cual relación; tiene que ver con si la distribución marginal de una variable varia o no cuando conocemos datos sobre la otra.

Saludos.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #53 : 24/04/2017, 01:15:36 pm »

Hola

 Para la última cota. Con la hipótesis de que [texx]sop(Y)\subset [-\mu_X,+\infty)[/texx] partimos de que:

[texx]P(X+Y\leq 0)\leq E[g(Y)][/texx]

 con:

[texx]g(y)=\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]

 Notamos que esa función es siempre positiva, tiene un máximo en [texx]y=-\mu_X[/texx] igual a [texx]1[/texx] y luego decrece. Buscamos una parábola cóncava (una función de grado dos para que luego la esperanza de [texx]h(Y)[/texx] quede en  función de la media y la varianza) [texx]h(y)[/texx] tal que:

[texx]g(y)\leq h(y)[/texx] en el soporte de [texx]Y[/texx]

 y luego usar que [texx]E[g(Y)]\leq E[h(Y)][/texx]

 Esto ya nos obliga a que el soporte sea acotado, ya que una parábola [texx]h(y)[/texx] cóncava toma valores negativos para [texx]y[/texx] alto, mientras que [texx]g(y)[/texx] siempre es positivo.

 Para que [texx]h(y)[/texx] tenga también el máximo en [texx]y=-\mu_X[/texx] tomamos:

[texx] h(y)=1-a(y+\mu_X)^2[/texx]

 Operando observamos que:

[texx]h(y)-g(y)=(\mu_x+y)^2\left(\dfrac{1}{\sigma_X^2-(\mu_X+y)^2}-a\right)[/texx] (**)

 Si el soporte de [texx]Y[/texx] es [texx][-\mu_X,-\mu_X+b][/texx] para que (**) sea positivo en ese soporte necesitamos que [texx]h(b)-g(b)=0[/texx]. Despejando obtenemos:

[texx]a=\dfrac{1}{\sigma_X^2+b^2}[/texx]

 Por tanto:

[texx] h(y)=1-a(\mu_x+y)^2=1-\dfrac{1}{\sigma_X^2+b^2}(\mu_X^2+2y\mu_X+y^2)[/texx]

 y

 [texx]E[h(Y)]=1-\dfrac{1}{\sigma_X^2+b^2}(\mu_X^2+2\mu_Y\mu_X+E[Y^2])[/texx]

 Recordemos que [texx]E[Y^2]=\sigma_Y^2+\mu_Y^2[/texx]. Queda entonces:

 [texx]E[h(Y)]=1-\dfrac{1}{\sigma_X^2+b^2}(\mu_X^2+2\mu_Y\mu_X+\sigma_Y^2+\mu_Y^2)[/texx]

 [texx]E[h(Y)]=1-\dfrac{1}{\sigma_X^2+b^2}((\mu_X+\mu_Y)^2+\sigma_Y^2)[/texx]

 De ahí la cota 3 (me sobraba una hipótesis que he tachado).

Saludos.

En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #54 : 24/04/2017, 02:36:10 pm »

Hola

Lo voy a mirar detenidamente. El [texx]b\geq{}0[/texx]?

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #55 : 24/04/2017, 02:38:10 pm »

Hola

Lo voy a mirar detenidamente. El [texx]b\geq{}0[/texx]?

Si.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #56 : 24/04/2017, 02:53:42 pm »

Hola,

Como [texx]h(y)[/texx] es cóncava y [texx]g(y)[/texx] es casi siempre convexa, parece que queda bastante espacio libre entre las dos. No se tendría que aproximar [texx]g(y)[/texx] con una función convexa o al menos con tramos convexos para que se aproxime más?

Y si expandimos [texx]g(y)[/texx] por Taylor? Y utilizamos el polinomio cuadrático de esta expansión? Viendo si cumple que es mayor o igual a [texx]g(y)[/texx].

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #57 : 24/04/2017, 03:08:29 pm »

Hola

Cita
Como [texx]h(y)[/texx] es cóncava y [texx]g(y)[/texx] es casi siempre convexa, parece que queda bastante espacio libre entre las dos. No se tendría que aproximar [texx]g(y)[/texx] con una función convexa o al menos con tramos convexos para que se aproxime más?

Lo de casi siempre convexa es relativo; tiene forma de campana y es convexa para valores de [texx]y[/texx] grandes (o muy pequeños), pero cóncava en su parte central, la de valores más altos y por tanto más significativos.

Ten en cuenta además que tenemos que acotar por una función de grado dos; sino el método no funciona. Ya que al final [texx]E[h(y)] [/texx]tiene que quedar en función de [texx]E[Y][/texx] e [texx]E[Y^2][/texx].

Tendría sentido acotar por una parábola convexa si [texx]Y[/texx] tuviese su soporte en la zona donde la función [texx]g(Y)[/texx] a la que nos referimos es convexa, es decir, mucho más a la derecha de [texx]-\mu_X.[/texx] Se podría explorar esa otra posibilidad.

Saludos.
En línea
Quema
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Uruguay Uruguay

Mensajes: 1.430


Ver Perfil
« Respuesta #58 : 24/04/2017, 03:13:05 pm »

Hola

Si claro, si pudiéramos encontrar una cota óptima, aún tirando hacia la derecha el soporte de [texx]Y[/texx] sería bueno. Creo que se puede utilizar la desigualdad de Williassen, que es para funciones crecientes y cóncavas sabiendo la media y varianza a la parte convexa de [texx]g(y)[/texx] y cómo ésta cota es óptima obtendríamos una cota óptima. No?

Saludos
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 42.199


Ver Perfil
« Respuesta #59 : 26/04/2017, 07:18:27 am »

Hola

Si claro, si pudiéramos encontrar una cota óptima, aún tirando hacia la derecha el soporte de [texx]Y[/texx] sería bueno. Creo que se puede utilizar la desigualdad de Williassen, que es para funciones crecientes y cóncavas sabiendo la media y varianza a la parte convexa de [texx]g(y)[/texx]

La desigualdad de Williassen para una función convexa decreciente [texx]g(y)[/texx] con soporte en [texx][a,+\infty)[/texx] si no me equivoco queda así:

[texx]E[g(y)]\leq \dfrac{(\mu_Y-a)^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}g\left(\mu_x+\dfrac{\sigma_Y^2}{\mu_Y-a}\right)+
\dfrac{\sigma_Y^2}{\sigma_Y^2+(\mu_Y-a)^2}g(a)[/texx]

En nuestro caso habría que aplicarlo para la función:

[texx]g(y)=\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2}[/texx]

y [texx]a=-\mu_X+\sigma_X/\sqrt{3}[/texx], bajo el supuesto de que el soporte de [texx]Y[/texx] está en [texx][a,+\infty).[/texx]

Cita
y cómo ésta cota es óptima obtendríamos una cota óptima. No?

No. O al menos no necesariamente. Eso es lo que traté de explicar aquí:

P.D. En cuanto a la posiblidad de encontrar cotas óptimas conocida la varianza de [texx]Y[/texx], habría que cambiar de estrategia. En todo lo que hemos hecho usamos de manera indpendiente la desigualdad de Cantelli para la variable [texx]X[/texx]. Está desigualdad es óptima pero la dsitribuciónd e [texx]X[/texx] que alcanza el óptimo para [texx]P(X+a\leq 0)[/texx] depende de [texx]a[/texx]. Si la usamos para [texx]P(X+Y\leq 0)[/texx] solo podemos aspirar a cota óptima cuando [texx]Y[/texx] puede tomar un sólo valor; si exigimos varianza de [texx]Y[/texx] no nula esto ya no se da.

Estamos combinando dos acotaciones: una para la variable [texx]X[/texx], la de Cantelli; otra para la variable [texx]Y[/texx] (mi primer intento o la de Williassen ahora). Las dos por separado son óptimas. El problema es que la distribución que da la cota óptima para Cantelli depende de el valor de [texx]y[/texx]. A su vez la distribución óptima de Williassen toma dos valores de [texx]Y[/texx] distintos, entonces al menos para uno de ellos no será el valor de [texx]y[/texx] que hemos usado para la optimización de la cota de Cantelli.

Saludos.
En línea
Páginas: 1 2 [3] 4 5 ... 8   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!