Foros de matemática
28/07/2017, 04:01:22 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: LISTADO ACTUALIZADO DE CURSOS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: integer part of ratio of 2 numbers  (Leído 559 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
jacks
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Indonesia Indonesia

Mensajes: 404


Ver Perfil
« : 05/04/2017, 01:00:06 am »

If [texx]A = 2017![/texx] and [texx]B = 1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!,[/texx] then finding   [texx]\displaystyle \bigg\lfloor \frac{A}{B}\bigg\rfloor [/texx]

where [texx]\lfloor x \rfloor  = x - \{x\}.[/texx] and [texx]0 \leq \{x\}<1[/texx]
En línea
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 39.343


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 05/04/2017, 05:04:26 am »

Hi

If [texx]A = 2017![/texx] and [texx]B = 1!+2!+3!+\cdots \cdots +2016!,[/texx] then finding   [texx]\displaystyle \bigg\lfloor \frac{A}{B}\bigg\rfloor [/texx]

where [texx]\lfloor x \rfloor  = x - \{x\}.[/texx] and [texx]0 \leq \{x\}<1[/texx]

1) Prove that:

[texx]\dfrac{(n+1)!}{1!+2!+\ldots+n!}<n[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

2) Prove that:

[texx]n-1\leq \dfrac{(n+1)!}{1!+2!+\ldots+n!}[/texx]

Equivalently:

[texx]1!+2!+\ldots+n!\leq \dfrac{(n+1)!}{n-1}[/texx]

This can be done by induction.

Best regards.
En línea
jacks
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Indonesia Indonesia

Mensajes: 404


Ver Perfil
« Respuesta #2 : 08/04/2017, 09:19:29 am »

Thanks Admin. but i did not understand how i prove [texx](n+1)!<(1!+2!+3!+\cdots +n!)[/texx]

and how can i prove second part without induction. , Thanks
En línea
Juan Pablo
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 3.913


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 08/04/2017, 11:14:35 am »

Será,creo:

Thanks Admin. but i did not understand how i prove [texx](n+1)!<\color{red} n \cdot \color{black} (1!+2!+3!+\cdots +n!) [/texx]

and how can i prove second part without induction. , Thanks

Te pongo esto por si sirve de ayuda :

Prueba por inducción que:

[texx]1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)!-1[/texx]

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

En este caso:

[texx] 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \cdots + n\cdot n! = (n+1)!-1 < n \cdot 1! + n \cdot 2! + \cdots + n\cdot n! = n \cdot (1! + 2!  + \cdots n! ) [/texx]
En línea
EnRlquE
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Brazil Brazil

Mensajes: 5.857


Antiguo nombre: Braguildur


Ver Perfil
« Respuesta #4 : 08/04/2017, 11:35:04 am »

Hi.

Thanks Admin. but i did not understand how i prove [texx](n+1)!<(1!+2!+3!+\cdots +n!)[/texx]

 Actually the inequality is [texx](n+1)!<{\color{blue}n}(1!+\dots+n!).[/texx] To prove this note that [texx](n+1)!=n[(n-1)!+n!],[/texx] therefore when [texx]n>2[/texx] we get [texx](n+1)!=n[(n-1)!+n!]<n(1!+\dots+n!).[/texx]

Cita
and how can i prove second part without induction. , Thanks

 What is the problem with induction?, I think this is the more natural way to proceed in this case. Another way to prove the second inequality is noting that

[texx](n+1)!=(n-1)[n!+(n-1)!+(n-2)!+n(n-2)!]>(n-1)[n!+(n-1)!+\dots+1!],[/texx]

for all [texx]n>2.[/texx]

Regards,

Enrique.
En línea
jacks
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Indonesia Indonesia

Mensajes: 404


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 20/04/2017, 02:38:39 pm »

Thanks moderators got it.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!