Hola
Si lo que queremos no son las combinaciones sino sólo el número de rondas ¿Sería correcto decir esto...?
En la primera ronda cada jugador puede jugar contra otros 15.
en la segunda contra 12.
en la tercera contra 9
en la cuarta contra 6
en la quinta contra 3
y se acabó.
total 5 rondas.
Si; así razonas que como máximo son posibles cinco rondas. Directamente en cada ronda un jugador juega con tres jugadores distintos. Por tanto el número posible máximo de rondas son [texx](16-1)/3=5[/texx].
Pero después hay que justificar que efectivamente existe alguna configuración de grupos donde se alcanza ese máximo posible.
De todos modos eso que has puesto de las rectas, las direcciones de paralelismo... no lo acabo de entender.
No sé si es muy fácil de explicar sin tener alguna idea sobre cuerpos finitos.
La ecuación de una recta en el plano es [texx]y=ax+b[/texx] ó [texx]x=b[/texx] (rectas verticales). El valor de [texx]a[/texx] es la pendiente. La recta vertical tendría pendiente infinita.
La cosa es que si trabajamos con un cuerpo finito con cuatro elementos (en lugar de en [texx]\mathbb{R}[/texx] como estamos acostumbrados) los posibles valores de la pendiente son [texx]a=0,1,2,3[/texx] y las verticales: cinco direcciones de paralelismo. Cada recta tiene tantos puntos como elementos el cuerpo: cuatro. Y rectas paralelas no se cortan. Por tanto por cada dirección de paralelismo hay cuatro rectas paralelas que nos dan nuestra distribución en cuatro grupos:
[texx]y=ax+0[/texx], [texx]y=ax+1[/texx], [texx]y=ax+2[/texx], [texx]y=ax+3[/texx]
A la hora de plasmar esto en cuentas hay que saber como se comporta la suma y el producto del cuerpo de cuatro elemento. No es obvio.
Quizá te pueda ayudar este enlace:
http://math.stackexchange.com/questions/1925479/affine-plane-of-order-4-picturePor otra parte en el artículo al que te refieren lo que calcula es el máximo número de subconjuntos posibles de cuatro elementos, de manera que cada par de jugadores sólo aparezca en uno de ellos.
Saludos.
