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Autor Tema: Idea de intervalos [ti,ti+1)  (Leído 2695 veces)
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pierrot
pabloN
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« : 30/03/2017, 19:19:11 »

Definamos una sucesión de tiempos [texx](t_i)_{i\in \mathbb{N}}[/texx] como sigue:

[texx]\left\{\begin{array}{l}t_0=0\\t_1=\frac{L-x_0}{v_0}\\t_n=t_{n-1}+\frac{L}{\alpha^{n-1}v_0},\quad n\geq 2\end{array}\right.[/texx]

Ahora consideremos los intervalos de tiempo de la forma [texx]T_i=[t_i,t_{i+1})[/texx]. Se cumple lo siguiente:

[texx]x(t)=\left\{\begin{array}{lll}x_0+v_0t &\mbox{si} & t\in T_0=\left[0,\frac{L-x_0}{v_0}\right)\\ L-\alpha^{2k-1}v_0(t-t_{2k-1}) &\mbox{si} & t\in T_{2k-1}=\left[t_{2k-1},t_{2k}\right),k\geq 1\\ \alpha^{2k}v_0(t-t_{2k}) &\mbox{si} & t\in \left[t_{2k},t_{2k+1}\right),k\geq 1\end{array}\right.[/texx]

Por lo tanto, si queremos computar [texx]x(t)[/texx] para un [texx]t[/texx] fijo, tenemos que determinar a qué intervalo de tiempo [texx]T_i[/texx] pertenece este valor de [texx]t[/texx]. Para ello, observemos que:

[texx]\displaystyle\begin{align*}
t_n&=\frac{L}{\alpha^0v_0}+\frac{L}{\alpha^1v_0}+\frac{L}{\alpha^2v_0}+\cdots+\frac{L}{\alpha^{n-1}v_0}-\frac{x_0}{v_0}\\
&\vdots\\
&=\frac{L}{v_0}\left(\frac{1-\alpha^n}{(1-\alpha)\alpha^{n-1}}-\frac{x_0}{L}\right),\quad n\geq 1
\end{align*}[/texx]

Luego, dado un [texx]t[/texx] fijo, nos interesa calcular el máximo [texx]n[/texx] tal que [texx]t_n\leq t[/texx]. Si encontramos dicho [texx]t_n[/texx], sabemos que [texx]t\in T_n=[t_n,t_{n+1})[/texx] y podemos saber qué fórmula aplicar en la definición por partes de [texx]x(t)[/texx]. La inecuación

[texx]\displaystyle t\geq \frac{L}{v_0}\left(\frac{1-\alpha^n}{(1-\alpha)\alpha^{n-1}}-\frac{x_0}{L}\right)[/texx]

es equivalente a

[texx]\displaystyle n\leq 1-\frac{\displaystyle \ln\left(\alpha +\frac{(x_0+v_0t)}{L}(1-\alpha)\right)}{\ln\alpha}[/texx]

De ahí se concluye que el máximo de los [texx]n[/texx] que verifican la propiedad anterior es:

[texx]\displaystyle n=\left\lfloor 1-\frac{\displaystyle \ln\left(\alpha +\frac{(x_0+v_0t)}{L}(1-\alpha)\right)}{\ln\alpha}\right\rfloor[/texx]

Ahora para calcular [texx]x(t)[/texx] hay que fijarse si el [texx]n[/texx] anterior es par o impar, y aplicar la fórmula correspondiente.
En línea

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