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Autor Tema: dominio de una maximal  (Leído 1116 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
irenesevillana
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« : 22/03/2017, 11:51:42 am »

 Hola, me pueden ayudar en este ejercicios o aportarme ideas de cómo se resuelve
Agradecería vuestra ayudar
Sea [texx]x’=F(t,x)[/texx] y [texx]F:A\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n)\to{\mathbb{R}^n}[/texx]   
siendo A región (abierto)
F es lipshitziana local respecto a X
Si X es solución maximal  [texx]X:I\subset\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^n}[/texx]
siendo I=(a,b), demostrar que el dominio de una solución maximal es abierto
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 22/03/2017, 12:37:20 pm »

Hola

Hola, me pueden ayudar en este ejercicios o aportarme ideas de cómo se resuelve
Agradecería vuestra ayudar
Sea x’=F(t,x) y F:[texx]A\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n)\longrightarrow{\mathbb{R}^n}[/texx]   
siendo A región (abierto)
F es lipshitziana local respecto a X
Si X es solucion maximal  [texx]X:I\subset\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}^n}[/texx]
siendo I=(a,b), demostrar que el dominio de una solucion maximal es abierto


Utiliza que las hipótesis sobre [texx]F[/texx] te garantizan la exitencia única de solución con condición inicial [texx](t_0,X(t_0))[/texx], en un entorno de [texx]t_0[/texx].

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #2 : 22/03/2017, 01:13:29 pm »

Hola el_manco, muchas gracias por su respuesta
Pero el hecho de que sea lipshitziana y que tenga solución maximal definida de [texx]\mathbb{R} en \mathbb{R}^n[/texx]
no nos llevaría a ninguna conclusión de que el dominio de una solución maximal es abierto.
Espero su respuesta.
Saludos
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« Respuesta #3 : 22/03/2017, 04:45:59 pm »

Hola.

Hola el_manco, muchas gracias por su respuesta
Pero el hecho de que sea lipshitziana y que tenga solución maximal definida de [texx]\mathbb{R} en \mathbb{R}^n[/texx]
no nos llevaría a ninguna conclusión de que el dominio de una solución maximal es abierto.
Espero su respuesta.
Saludos

Te desarrollo un poco la idea de el_manco:

Primero, observa que se aplica el teorema de existencia y unicidad local de Picard a tu problema, por lo que tiene una única solución maximal. Supongamos que [texx]x : (a,b] \to \mathbb{R}^n[/texx] es solución maximal. Entonces podemos definir [texx]x(b)=x_1[/texx] de modo que [texx](b,x_1) \in A [/texx]. Pero entonces [texx]x(t)[/texx] puede extenderse a otra solución [texx]\varphi(t)[/texx] (¿por qué?) y por tanto no sería maximal (¿por qué?): contradicción. La demostración es análoga para el caso [texx][a,b)[/texx]. Así, el intervalo de definición de una solución maximal es necesariamente un abierto.

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #4 : 22/03/2017, 05:04:15 pm »

Muchísimas gracias Samir M por tu aclaración, te lo agradezco.
Ahora me surge otra duda y si el [texx]a=\infty  \ ó \ b=\infty[/texx] cómo lo demostramos?
Saludos.
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Samir M.
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« Respuesta #5 : 22/03/2017, 05:28:33 pm »

El intervalo [texx]I = (-\infty,\infty)[/texx] es abierto. Si tuviésemos [texx]I = (-\infty, b][/texx] procederíamos de igual manera, extendiendo soluciones por la derecha. Si tuviésemos [texx]I = [a,\infty)[/texx] extenderíamos soluciones por la izquierda, llegando en ambos casos a una contradicción. Quizá sea más fácil ver cómo extender soluciones con el Lema de Wintner (3.4 de estas notas).

Saludos.
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irenesevillana
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« Respuesta #6 : 22/03/2017, 06:09:15 pm »

Mil gracias Samir M.
Lo único que no me ha quedado muy claro es la extensión de otra solución.
agradezco tu ayuda.
Saludos
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Samir M.
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« Respuesta #7 : 22/03/2017, 06:35:31 pm »

Eso debes de haberlo visto en tus apuntes/libro. Es bastante largo de probar, y se suele ver como un caso particular del teorema de Picard. Mira, por ejemplo, el apartado 6 de estas notas, o la página 17 y posteriores de estas notas. Un excelentísimo libro donde sale toda esta teoría desarrollada es Ecuaciones diferenciales: cómo aprenderlas, cómo enseñarlas.

Saludos.
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