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Autor Tema: Resolucion de la ecuacion diferencial no lineal  (Leído 420 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
seryo
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« : 20/03/2017, 08:26:12 pm »

Buenas como están, quisiera que me ayuden a resolver la siguiente ecuación diferencial
[texx]\displaystyle\dfrac{ dy}{ dx}+A*y^2=\dfrac{ B}{ (1+C*x)^2}[/texx]


donde A,B,C, son constantes numéricas, intenté asociar a una ecuación diferencial de Bernoulli pero no se asemeja, muchos menos a una de Riccati, un dato que quizás pueda servir es que cuando "x" tiene un valor de cero, "y" es igual a 0
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Samir M.
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« Respuesta #1 : 21/03/2017, 12:25:56 am »

Hola.

Es una ecuación de Ricatti. Compruébalo bien.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
seryo
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« Respuesta #2 : 21/03/2017, 08:52:09 am »

Samir M., me pudieses ayudar en cromprobar , es que cuando intento resolverla, no consigo, tengo entendido que la forma general de riccati es

[texx]y'+p(x)*y+q(x)*y^2=f(x)[/texx]

pero no consigo asociarla la ecuacion que presente con la de riccati, me puedes ayudar a comprarlo y resolverla???

muchas gracias de antemano
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el_manco
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« Respuesta #3 : 21/03/2017, 09:01:00 am »

Hola

Samir M., me pudieses ayudar en cromprobar , es que cuando intento resolverla, no consigo, tengo entendido que la forma general de riccati es

[texx]y'+p(x)*y+q(x)*y^2=f(x)[/texx]

pero no consigo asociarla la ecuacion que presente con la de riccati, me puedes ayudar a comprarlo y resolverla???

Pues si tu ecuación es:

[texx]\displaystyle\dfrac{ dy}{ dx}+A*y^2=\dfrac{ B}{ (1+C*x)^2}[/texx]

tienes:

[texx]p(x)=0,\qquad q(x)=A,\qquad f(x)=\dfrac{B}{(1+Cx)^2}[/texx]

Saludos.
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seryo
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« Respuesta #4 : 21/03/2017, 09:24:32 am »

Hola manco, en efecto pense eso, pero cuando intento resolver tengo entendido que tengo que hacer un cambio de variable es decir:
[texx]y=\dfrac{ 1}{ z}[/texx]

que al derivar, obtengo

[texx]y=z'*\dfrac{- 1}{ z^2}[/texx]

al reemplazar en la ecuacion

[texx]\dfrac{ dy}{ dx}+A*y^2=\dfrac{ B}{ (1+C*x)^2}[/texx]

obtengo que

[texx]\dfrac{ -1}{z^2}*z'+\dfrac{A}{z^2}=\dfrac{ B}{ (1+C*x)^2}[/texx]

Si a esta ecuacion multiplico por
[texx]-z^2[/texx]

[texx]z'-A=-z^2*(\dfrac{ B}{ (1+C*x)^2})[/texx]

y nuevamente me aparece el [texx]-z^2[/texx]

es en esto que tengo problemas, si me pudieses ayudar te agradeceria mucho
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Fernando Revilla
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« Respuesta #5 : 21/03/2017, 01:26:29 pm »

Hola manco, en efecto pense eso, pero cuando intento resolver tengo entendido que tengo que hacer un cambio de variable es decir [texx]y=\dfrac{ 1}{ z}[/texx]

El cambio estándar para resolver la ecuación de Riccati es [texx]y=y_1+\dfrac{1}{z}[/texx] siendo [texx]y_1[/texx] una solución particular la ecuación dada (mira aquí el problema 3). ¿No te dan una solución particular o una forma de esta?
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seryo
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« Respuesta #6 : 21/03/2017, 01:36:42 pm »

Hola Fernando,  solo  me dan y(0)=0
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Fernando Revilla
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« Respuesta #7 : 21/03/2017, 01:58:44 pm »

Hola Fernando,  solo  me dan y(0)=0

¿Podrías indicar el contexto? ¿has llegado a tal ecuación solucionando otro problema? Fíjate en la "agradable" solución para el caso particular [texx]A=B=C=1[/texx] que aparece aquí.
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Samir M.
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« Respuesta #8 : 21/03/2017, 03:16:11 pm »

Hola.

También puedes transformarla en una lineal de 2º orden. Obtendrías que [texx]v'' + \dfrac{AB}{C+x^2} v = 0[/texx], donde [texx]y = \dfrac{-v'}{Av}[/texx], pero es algo complicada de resolver, de ser posible. Lo ideal es que conozcas (o busques) una solución particular tal como propone Fernando Revilla.

Saludos.
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[texx]d\omega(X,Y) = X(\omega(Y))-Y(\omega(X))-\omega([X,Y])[/texx]
seryo
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« Respuesta #9 : 21/03/2017, 04:01:52 pm »

Hola Fernando,  solo  me dan y(0)=0

¿Podrías indicar el contexto? ¿has llegado a tal ecuación solucionando otro problema? Fíjate en la "agradable" solución para el caso particular [texx]A=B=C=1[/texx] que aparece aquí.

Hola Fernando,  muchas gracias por responder,  comentarte que esa ecuación diferencial es resultante de un problema de cinética química,  la reacción química es
2A---> 2B--->C

escribiendo las ecuaciones cinéticas químicas se llega a la ecuación que te escribí.
En enlace que muestra y que me lleva a tu página,  veo que encuentras una solución particular de la forma [texx]y=x^m[/texx] para la ecuación diferencial
puedo hacer lo mismo para la ecuación diferencial que tengo? , es decir forzar que se obtenga una solución particular de esa forma,  para que después utilice el mecanismo de riccati?
saludos
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Abdulai
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« Respuesta #10 : 21/03/2017, 08:57:43 pm »

En la ecuación   [texx]\displaystyle\dfrac{ dy}{ dx}+A*y^2=\dfrac{ B}{ (1+C*x)^2}[/texx]

los términos  [texx]y^2[/texx]  y  [texx] \dfrac{ B}{ (1+C*x)^2}[/texx]  sugieren  reemplazar [texx]y[/texx] por [texx]\dfrac{u}{1+C\, x}[/texx]

Entonces 
[texx]y'= \dfrac{u'}{1+C\, x} - \dfrac{C\,u}{(1+C\,x)^2} = \dfrac{B}{(1+C\,x)^2} - A\;\dfrac{u^2}{(1+C\,x)^2}\;\;\longrightarrow\;\;(1+C\,x)u' = B - A\,u^2 + C\,u[/texx]

que resulta de variables separables.
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