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Autor Tema: Primitivas por Recurrencia (1).  (Leído 591 veces)
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latex
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« : 20/03/2017, 07:14:11 pm »

Hola buenas noches, para el cálculo de primitivas, otra forma de aplicar el método de integración por partes, es mediante una fórmula de recurrencia.

Sean [texx]a[/texx],[texx]b[/texx] [texx]\in \mathbb{R}[/texx] y consideramos la expresión [texx]J_n:=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{[(x-a)^2+b^2]^n}dx[/texx] a partir de esta

se deduce para [texx]n>1[/texx] que [texx]J_n=\displaystyle\frac{1}{2b^2(n-1)}\cdot \displaystyle\frac{x-a}{[(x-a)^2+b^2]^{n-1}} + \displaystyle\frac{2n-3}{2n-2}\cdot \displaystyle\frac{1}{b^2}J_{n-1}[/texx] , no consigo ver el ¿por qué?, 

Si alguien puede pasarme material sobre esta definición en especial, u orientarme, y explicar cuál es la idea que se esconde se lo agradecería.

Gracias de antemano :sonrisa:

Saludos.
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« Respuesta #1 : 20/03/2017, 08:00:55 pm »

... no consigo ver el ¿por qué?, 

...

Para ver por qué, tienes que encontrar algunas primitivas en orden de n creciente ,no sé cuántas pero digamos unas 4, es decir calcular [texx]{\bf J_1},\;J_2,\; J_3,\; J_4[/texx] y ver cómo se relacionan. Tendrías que obtener la última expresión dada.

Saludos
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No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 20/03/2017, 08:20:22 pm »

Hola

 Integra por partes tomando:

[texx] u=\dfrac{1}{((x-a)^2+b^2)^n}[/texx]

[texx] dv=dx[/texx]

 y por tanto:

[texx]du=\dfrac{-2n(x-a)}{((x-a)^2+b^2)^{n+1}}[/texx]

[texx]v=x-a[/texx] (aquí tomo esta primitiva porque facilita las cuentas).

 Con un poco de cuidado, te saldrá una ecuación donde expresar [texx]J_{n+1}[/texx] en función de [texx]J_n[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #3 : 20/03/2017, 08:20:59 pm »

Hola latex.

 También te puede ayudar  tratar de seguir una idea análoga a la que se desarrolla aquí. Por conveniencia llamaré [texx]f_{n}[/texx] a la función que se integra en [texx]J_{n}.[/texx] Siguiendo pasos análogos a los del enlace te ayudo con el comienzo:

[texx]\displaystyle J_{n}=\frac{1}{b^{2}}\int b^{2}f_{n}(x)\,dx=\frac{1}{b^{2}}\Big(\int [(x-a)^{2}+b^{2}]f_{n}(x)\,dx-\int (x-a)\cdot[(x-a)f_{n}(x)]\,dx\Big)=\frac{1}{b^{2}}\Big(J_{n-1}-\dots\Big)=\dots[/texx]

 A continuación aplica integración por partes en [texx]\int (x-a)\cdot[(x-a)f_{n}(x)]\,dx.[/texx] Trata de terminar y si tienes dificultades, pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. Se me adelantó el_manco.
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latex
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« Respuesta #4 : 21/03/2017, 03:18:31 pm »

Buenas de nuevo, hay algo que no estoy entendiendo, es decir este método sirve realmente para cuándo tenemos raíces complejas múltiples poder pasar dicha primitiva a una con raíces complejas simples, y ya esas si sabemos trabajarlas (en vez de usa el método de Hermite para el cálculo de primitivas con raíces comlejas múltiples)

Llamando al factor lineal [texx]x-a=t[/texx] por comodidad
Entonces para [texx]n=3[/texx], y [texx]n=2[/texx] vemos que se cumple sabiendo que

 [texx]\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{[t^2+b^2]}dt = \displaystyle\frac{arctan(t/b)}{b} + k[/texx]

[texx]J_2:= \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{[t^2+b^2]^2}dt = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{bt}{b^2+t^2}+arctan(t/b)}{2b^3} + k = \displaystyle\frac{1}{2b^2}\displaystyle\frac{t}{(t^2+b^2)} + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{b^2}\displaystyle\frac{arctan(t/b)}{b} + k[/texx] (fórmula de la recurrencia definida anteriormente)

Entonces intentando seguir las indicaciones, llamando [texx]u=\displaystyle\frac{1}{[t^2+b^2]^n}[/texx] [texx]dv=1[/texx] , [texx]v=t[/texx] y [texx]du:=\displaystyle\frac{-n(2t)}{[t^2+b^2]^{n+1}}[/texx]

[texx]J_n:= \displaystyle\int_{}^{}udv = uv - \displaystyle\int_{}^{}duv[/texx], donde '[texx]du[/texx]' tendría un grado más en el denominador, y esto nos hace pensar que sería algo ¿[texx]J_n = uv - J_{n+1}[/texx]? es decir ¿ [texx]J_{n+1}= uv - J_{n}[/texx] sería nuestra fórmula recurrente pedida?

La cosa quedaría
    [texx]J_{n+1}:= \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{-n(2t)}{[t^2+b^2]^{n+1}} = \displaystyle\frac{t}{[t^2+b^2]^n} - J_n[/texx] , mi intuición me dice que no se parece mucho a la fórmula recurrente dada..
Si alguien me puede echar un cable, se lo agradecería :sonrisa:

Saludos
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« Respuesta #5 : 21/03/2017, 04:06:07 pm »

Hola latex.

 ¿Seguiste las indicaciones que te dimos en lo anteriores mensajes?, si lo hiciste ¿qué dificultades encuentras en alguno de los caminos que te propusimos?. Siguiendo el camino que propone el_manco o que que te esbocé en mi anterior mensaje no deberías tener muchos problemas y si los tuvieras, deberías contarnos.

 Continúo un poco más con el camino que te propuse: Hasta el momento tenemos


[texx]\color{blue}\displaystyle J_{n}{\color{black}=\frac{1}{b^{2}}\int b^{2}f_{n}(x)\,dx=\frac{1}{b^{2}}\Big(\int [(x-a)^{2}+b^{2}]f_{n}(x)\,dx-\int (x-a)\cdot[(x-a)f_{n}(x)]\,dx\Big)}=\frac{1}{b^{2}}\Big(J_{n-1}-\dots\Big)=\dots[/texx]

 Entonces, si integramos por partes [texx]\int (x-a)\cdot[(x-a)f_{n}(x)]\,dx,[/texx] haciendo [texx]u=x-a[/texx] y [texx]dv=(x-a)f_{n}(x)\,dx[/texx] obtenemos que para [texx]n>1[/texx]

[texx]\displaystyle\int (x-a)\cdot[(x-a)f_{n}(x)]\,dx=-\frac{(x-a)}{2(n-1)[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n-1}}+\frac{1}{2(n-1)}\int \frac{1}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n-1}}\,dx.[/texx]

 Reemplazando esto en lo que ya teníamos resulta que [texx]J_{n}=\frac{1}{b^{2}}\big[J_{n-1}+\frac{(x-a)}{2(n-1)[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n-1}}-\frac{1}{2(n-1)}J_{n-1}\big].[/texx] Y por tanto ...

 Completa los detalles y si tienes alguna duda, pregunta.

Saludos,

Enrique.
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« Respuesta #6 : 21/03/2017, 08:09:54 pm »

Valee, ¡ya lo entendí!

Muchas gracias por vuestro tiempo & explicaciones.

Saludos :sonrisa:
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