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Autor Tema: \(A,B,C\subseteq X.\) Si \(A\cap B=A\cap C\) y \((X-A)\cap B=(X-A)\cap C,\) ...  (Leído 313 veces)
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Mary^Dos
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« : 20/03/2017, 01:01:39 pm »

Sea [texx] X [/texx] una clase y asuma que [texx] A,B,C \subseteq{X}.[/texx] Suponga que [texx] A\cap{B} = A\cap{C} [/texx] y [texx] (X-A)\cap{B} = (X-A)\cap{C}.[/texx] Pruebe que [texx] B=C. [/texx]

Demostración.

"[texx]\subseteq [/texx]"

Sea [texx] x \in{B}. [/texx] Como [texx] B\subseteq{X}, [/texx] entonces [texx] x\in{X}. [/texx] Por medio excluido tenemos dos casos: Caso I: [texx] x\in{A}[/texx] o caso II: [texx] x\not\in{A}. [/texx]

Caso I
Como [texx] x\in{A} \wedge x\in{B}[/texx] entonces [texx] x\in{A\cap{B}}, [/texx] se tiene que [texx] A\cap{B} = A\cap{C}, [/texx] así que [texx] x\in{A\cap{C}}, [/texx] lo que implica que [texx] x\in{A} \wedge x\in{C}, [/texx] luego [texx] x\in{C}. [/texx]

Caso II
Como [texx] x\not\in{A}[/texx] entonces [texx] x\in{\complement{A}}[/texx] además [texx] x\in{B},[/texx] luego [texx] x\in{B\cap{\complement{A}}}, [/texx] se tiene que [texx] x\in{X}, [/texx] así que [texx] x\in {X\cap{(B\cap{\complement{A}}})}, [/texx] lo que implica que [texx] x\in{{(X\cap{\complement{A}}})\cap{B}}, [/texx] luego [texx] x\in{(X-A)\cap{B}}, [/texx] por la hipótesis tenemos que [texx] (X-A)\cap{B} = (X-A)\cap{C}, [/texx] de donde [texx] x\in{(X-A)\cap{C}}, [/texx] así que [texx] x\in{X-A} \wedge x\in{C}. [/texx] Así [texx] x\in{C}. [/texx]

Por lo tanto [texx] B\subseteq{C.}[/texx]

"[texx] \supseteq [/texx]"

Sea [texx] x \in{C}. [/texx] Como [texx] C\subseteq{X}, [/texx] entonces [texx] x\in{X}. [/texx] Por medio excluido tenemos dos casos: Caso I: [texx] x\in{A}[/texx] [texx]\vee [/texx] caso II: [texx] x\not\in{A}. [/texx]

Caso I
Como [texx] x\in{A} \wedge x\in{C}[/texx] entonces [texx] x\in{A\cap{C}}, [/texx] se tiene que [texx] A\cap{B} = A\cap{C}, [/texx] así que [texx] x\in{A\cap{B}}, [/texx] lo que implica que [texx] x\in{A} \wedge x\in{B}, [/texx] luego [texx] x\in{B}. [/texx]

Caso II
Como [texx] x\not\in{A}[/texx] entonces [texx] x\in{\complement{A}}[/texx] además [texx] x\in{C},[/texx] luego [texx] x\in{C\cap{\complement{A}}}, [/texx] se tiene que [texx] x\in{X}, [/texx], así que [texx] x\in {X\cap{(C\cap{\complement{A}}})}, [/texx] lo que implica que [texx] x\in{{(X\cap{\complement{A}}})\cap{C}}, [/texx] luego [texx] x\in{(X-A)\cap{C}}, [/texx] por la hipótesis tenemos que [texx] (X-A)\cap{B} = (X-A)\cap{C}, [/texx] de donde [texx] x\in{(X-A)\cap{B}}, [/texx] así que [texx] x\in{X-A} \wedge x\in{B}. [/texx] Así [texx] x\in{B}. [/texx]

Por lo tanto [texx] C\subseteq{B.}[/texx]

Por todo lo anterior conlcuimos que [texx] B=C. [/texx] Lo que se quería probar.
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« Respuesta #1 : 20/03/2017, 01:21:06 pm »

Hola

 Es más rápido si tienes en cuenta que si [texx]A,P\subset X[/texx] entonces:

[texx]P=X\cap P=(A\cup (X-A))\cap P=(A\cap P)\cup ((X-A)\cap P).[/texx]

Saludos.

 
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« Respuesta #2 : 20/03/2017, 05:38:16 pm »

Hola

 Es más rápido si tienes en cuenta que si [texx]A,P\subset X[/texx] entonces:

[texx]P=X\cap P=(A\cup (X-A))\cap P=(A\cap P)\cup ((X-A)\cap P).[/texx]

Saludos.

 

Hola, entonces podria decir que:

"[texx] \subseteq [/texx]"

[texx] x\in{B} =X\cap{B} = (A\cup{(X-A)})\cap{B} = (A\cap{B})\cup{((X-A)\cap{B})}, [/texx] entonces [texx] x\in{(A\cap{B})} \cup{((X-A)\cap{B})}, [/texx] como [texx] A\cap{B} = A\cap{C} [/texx] y  [texx] (X-A)\cap{B} = (X-A)\cap{C}, [/texx] entones [texx] x\in{(A\cap{C})}\cup{((X-A)\cap{C})} \Rightarrow  x\in {(A\cap{C})}\cup{((X\cap{\complement{A}})\cap{C})} \Rightarrow   x\in{(A\cap{C})}\cup{(\complement{A}\cap{C})}  \Rightarrow  x\in{(A\cup{\complement{A})}\cap{C}} \Rightarrow  x\in{C}[/texx]


"[texx] \supseteq [/texx]"

[texx] x\in{C} =X\cap{C} = (A\cup{(X-A)})\cap{C} = (A\cap{C})\cup{((X-A)\cap{C})}, [/texx] entonces [texx] x\in{(A\cap{C})} \cup{((X-A)\cap{C})}, [/texx] como [texx] A\cap{B} = A\cap{C} [/texx] y  [texx] (X-A)\cap{B} = (X-A)\cap{C}, [/texx] entones [texx] x\in{(A\cap{C})}\cup{((X-A)\cap{C})} \Rightarrow  x\in {(A\cap{B})}\cup{((X\cap{\complement{A}})\cap{B})} \Rightarrow   x\in{(A\cap{B})}\cup{(\complement{A}\cap{B})}  \Rightarrow  x\in{(A\cup{\complement{A})}\cap{B}} \Rightarrow  x\in{B}[/texx]

Así [texx]  B=C [/texx]


¿Lo anterior es correcto?
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« Respuesta #3 : 21/03/2017, 06:48:09 am »

Hola

 Está bien. Pero la idea de usar lo que te indiqué es evitar tener que hacer el razonamiento comprobando la doble inclusión por elementos. Se puede hacer directamente:

[texx]B=X\cap B=(A\cap B)\cup ((X-A)\cap B)[/texx]

Por hipótesis [texx](A\cap B)=(A\cap C)[/texx] y [texx]((X-A)\cap B)=((X-A)\cap C).[/texx] Queda por tanto:

[texx]B=X\cap B=(A\cap B)\cup ((X-A)\cap B)=(A\cap C)\cup ((X-A)\cap C)=C[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #4 : 01/04/2017, 12:46:02 pm »

Gracias  :sonrisa:
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