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Autor Tema: Tipos de teorías. Características.  (Leído 620 veces)
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arkady-svidrigailov
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« : 20/03/2017, 11:12:55 am »

Hola.

Supongamos que convenimos en los siguientes términos:

. Teoría deductiva. Si se basa en razonamientos deductivos exclusivamente.
. Teoría axiomática. Si se basa en axiomas, es decir en proposiciones/propiedades que no se justifican/cuestionan.
. Teoría formal1. Si sus razonamientos son formales, es decir no dependen los argumentos del significado de las proposiciones para ser considerados válidos.
. Teoría formal2. Si se presenta por medio de un sistema formal.

¿Estarían de acuerdo en decir lo siguiente?

. Los elementos de Euclides exponen una teoría deductiva, axiomática y no formal1.
. Los Grundlagen de Hilbert exponen una teoría deductiva, axiomática, formal1 y no formal2.
. Los reales como único cuerpo ordenado completo dentro de la teoría de conjuntos por los axiomas usuales son una teoría deductiva, axiomática y formal1. Supongo que formal2, como first order set theory. No leí sobre algún desarrollo en SOL (second order logic).
. La axiomática de Tarski de la geometría es una teoría deductiva, axiomática, formal1 y 2.

No sé si haya términos estándar para los que uso, o los haya y no los entendí bien, pero son diferencias importantes las que hago en los que usé.

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 20/03/2017, 11:32:00 am »

No veo que tus tipos de teorías estén bien determinados.

¿Qué quiere decir que una teoría se base en razonamientos deductivos exclusivamente? ¿Deduciendo a partir de qué? Toda deducción requiere unas premisas, y si esas premisas también hay que deducirlas, ¿dónde empezamos? ¿No llegamos a que toda teoría deductiva tiene que ser axiomática también? En tal caso, ya no son dos categorías, sino la misma.

Luego, dices que una teoría axiomática se basa en axiomas (y supongo que también en deducciones a partir de esos axiomas), pero ¿qué es basarse? Porque dices que los Elementos de Euclides son una teoría axiomática, pero los Elementos no "se basan" en axiomas en el sentido usual de "basarse", ya que introduce de contrabando afirmaciones que no se basan en los axiomas ni se deducen de ellos, luego para considerar a los Elementos una teoría axiomática, tendrías que decir en qué sentido dices "se basa" que admite el contrabando.

Tampoco veo clara la frontera entre formal1 y formal2. La diferencia no está en la teoría sino en la forma de exponerla. Tú puedes exponer la geometría de Hilbert con los enunciados formalizados en un lenguaje formal o parafraseados en castellano (u otro idioma) y lo mismo con la de Tarski. Ahora, lo que no creo que te encuentres nunca (salvo que leas cosas sobre demostraciones automáticas, por ordenador) es una exposición de cualquier geometría con los razonamientos formalizados, porque eso sería mucho más largo de escribir y mucho más difícil de seguir. Pero, las presentes como las presentes, las geometrías de Hilbert o de Tarski son las mismas.

En cuanto a la teoría de cuerpos ordenados completos dentro de la teoría de conjuntos, no es una teoría en sí misma, ya que en ella usas propiedades de los conjuntos, funciones, etc., de modo que no puedes distinguir qué está dentro de "la teoría de cuerpos ordenados" y qué está fuera y es teoría de conjuntos. Está todo mezclado.

Otra cosa es que consideres (dentro de la teoría de conjuntos, si quieres) un lenguaje formal para cuerpos ordenados (de primer o segundo orden, como prefieras) y razones en ese lenguaje forma, es decir, sin hablar de funciones o conjuntos más allá de lo que permita dicho lenguaje, pero sospecho que no estás pensando en eso al hablar de la teoría de los números reales. Si no tienes claro a qué me refiero mira los dos primeros capítulos (hasta la sección 2.4, pero mejor si vas directamente a la sección 1.2 para hacerte una idea) de

http://www.uv.es/ivorra/Libros/AlgGeo.pdf

De todos modos, al margen de esto, creo que te estás complicando la vida al tratar de clasificar los Elementos de Euclides, porque al parecer no te satisface la clasificación consistente en decir que es una teoría axiomática con agujeros, es decir, una teoría axiomática en la que se usan axiomas improvisados de tanto en tanto, y no declarados al principio, de modo que los axiomas de contrabando pueden inventariarse y organizarse a su vez para ser deducidos de unos pocos axiomas, y entonces te sale cualquiera de las geometrías modernas, sea la versión de Hilbert, la de Tarski o muchas otras.

Una teoría axiomática con agujeros es una teoría axiomática con agujeros, y no vas a eliminar los agujeros por ponerle tales o cuales etiquetas.
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #2 : 20/03/2017, 03:05:27 pm »

Cita
¿Qué quiere decir que una teoría se base en razonamientos deductivos exclusivamente? ¿Deduciendo a partir de qué? Toda deducción requiere unas premisas, y si esas premisas también hay que deducirlas, ¿dónde empezamos? ¿No llegamos a que toda teoría deductiva tiene que ser axiomática también? En tal caso, ya no son dos categorías, sino la misma.

Bien, es algo que debería pensar mejor. Es que en matemática se habla de deducir únicamente, mientras que en otras teorías en otros ámbitos además de deducir se induce. Nadie dice que el que dos puntos determinen una recta es algo a lo que se llegue por inducción. Y si en efecto los objetos matemáticos son objetos "vacíos", sin significado intrínseco, entonces no es una ciencia la matemática.

Cita
Luego, dices que una teoría axiomática se basa en axiomas (y supongo que también en deducciones a partir de esos axiomas), pero ¿qué es basarse? Porque dices que los Elementos de Euclides son una teoría axiomática, pero los Elementos no "se basan" en axiomas en el sentido usual de "basarse", ya que introduce de contrabando afirmaciones que no se basan en los axiomas ni se deducen de ellos, luego para considerar a los Elementos una teoría axiomática, tendrías que decir en qué sentido dices "se basa" que admite el contrabando.

Es que desde mi punto de vista, que una teoría sea axiomática no debería implicar que los razonamientos que se hagan en ella sean formales. Meramente que hay proposiciones que se aceptan sin justificación, y que toda otra que se acepte (con certeza o relativa certeza) se infiere (deductiva o inductivamente) de ellas. ¿No sería útil esto?

Cita
Tampoco veo clara la frontera entre formal1 y formal2. La diferencia no está en la teoría sino en la forma de exponerla.

Más o menos. Decir eso es decir que hay "algo allí", lo cual reflejan tanto las exposiciones de Hilbert como la de Tarski. Como yo lo veo, sus exposiciones intentan capturar nociones comunes a las personas, pero ¿quién me dice que efectivamente los objetos que se describen son los mismos? Tras deducir y deducir. Además puede que una noción, profundizado en sus propiedades, para una persona tenga una propiedad y para otra otra, como sucede con la hipótesis del continuo para conjuntos.

No creo que pasar de deducciones formales a un sistema formal sea algo trivial, que no transen mayores consideraciones de por medio.

Y aún hay otro punto que no me cierra de la noción de sistema axiomático. Se dice que están las nociones primitivas y nada más, que de ellas los axiomas versan, y que de éstos se debe derivar todo. Pero no sucede así. Se llama sistema axiomático de los reales a lo que decís es más bien una definición como estructura, porque se da en conjuntos. Se habla de el sistema axiomático de Birkhoff, aunque usa a los reales. Se habla del sistema axiomático de Hilbert, aunque ese axioma de completitud es rarísimo.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 20/03/2017, 04:00:04 pm »

Bien, es algo que debería pensar mejor. Es que en matemática se habla de deducir únicamente, mientras que en otras teorías en otros ámbitos además de deducir se induce. Nadie dice que el que dos puntos determinen una recta es algo a lo que se llegue por inducción.

Como ya te dije en otra ocasión, tendrás que aclarar en qué estás pensando al hablar de "inducción", porque puede entenderse de muchar formas. Desde luego, no se llega a que por dos puntos pasa una recta probándolo para [texx]0[/texx] y viendo que si es cierto para [texx]n[/texx] también vale para [texx]n+1[/texx]. Obviamente no te refieres a eso, pero necesitaría saber a qué estás llamando inducción y en qué ámbitos estás pensando.

Y si en efecto los objetos matemáticos son objetos "vacíos", sin significado intrínseco, entonces no es una ciencia la matemática.

Eso es una afirmación arbitraria por tu parte.

Por otro lado, no es lo mismo decir que los objetos matemáticos no tienen significado que decir que los razonamientos matemáticos no se apoyan en el significado de sus afirmaciones. Por ejemplo, si tomas un problema típico del padre que tiene no sé cuántos años más que el hijo, pero dentro de 10 años la edad del padre será el doble que la del hijo, y al final llegas a plantearlo como una ecuación de tipo [texx]x(x-10)+5=x-20[/texx] (la he escrito sin pensar, no trates de buscarle un sentido), obtienes la solución resolviendo la ecuación, y si te sale [texx]x= 10[/texx] y concluyes que el hijo tiene [texx]10[/texx] años, lo habrás hecho con un razonamiento en el que manipulas unas ecuaciones sin que importe para nada si [texx]x[/texx] es la edad del hijo o la altura de mi casa. El razonamiento es formal porque uno puede resolver la ecuación sin preocuparse del problema en virtud del cual la has planteado. Sin necesidad de saber si [texx]x[/texx] son años o son metros. Pero que el razonamiento sea formal no quita para que estés llegando a una conclusión sobre el mundo real (si es que el padre y el hijo existen realmente). Esto se aplica, con más sentido, si hablamos de ecuaciones que modelizan un sistema físico. Cuando las manipulas matemáticamente, no importa su significado físico, pero tenerlo lo tienen.

Es que desde mi punto de vista, que una teoría sea axiomática no debería implicar que los razonamientos que se hagan en ella sean formales. Meramente que hay proposiciones que se aceptan sin justificación, y que toda otra que se acepte (con certeza o relativa certeza) se infiere (deductiva o inductivamente) de ellas. ¿No sería útil esto?

De nuevo necesito que me expliques en qué estás pensando concretamente cuando dices "inferir inductivamente a partir de unos axiomas", y tampoco entiendo qué quieres decir por "inferir deductivamente" si luego planteas que la deducción no tiene por qué ser formal. ¿A qué llamas deducción no formal a partir de unos axiomas? ¿Podrías poner un ejemplo de eso?

Más o menos. Decir eso es decir que hay "algo allí", lo cual reflejan tanto las exposiciones de Hilbert como la de Tarski. Como yo lo veo, sus exposiciones intentan capturar nociones comunes a las personas, pero ¿quién me dice que efectivamente los objetos que se describen son los mismos? Tras deducir y deducir. Además puede que una noción, profundizado en sus propiedades, para una persona tenga una propiedad y para otra otra, como sucede con la hipótesis del continuo para conjuntos.

No acabo de entender lo que planteas. Si dos personas parten de los mismos axiomas y razonan correctamente, no puede ser que uno llegue a unas consecuencias y otro a otras. A lo sumo llegarán a afirmaciones que no pueden deducir ni refutar a partir de los axiomas, como la hipótesis del continuo, y entonces pueden decidir si les apetece tomar como axioma la hipótesis del continuo u otro axioma que la contradiga, como [texx]2^{\aleph_0}=\aleph_{17}[/texx], pero dudo mucho que alguien pueda decir "elijo este segundo axioma porque para mí es verdadero".

En cuanto a lo de si los objetos que describen son los mismos, ¿en qué sentido tendrían que ser los mismos? Esto puede llevarnos a una digresión muy grande, pero si nos centramos, por ejemplo, en las geometrías de Hilbert y de Tarski (y restringimos el axioma de completitud de Hilbert a primer orden para que sean comparables), resulta que todos los axiomas de Hilbert pueden ser enunciados y demostrados en la teoría de Tarski y viceversa. En ese sentido, cualesquiera objetos que cumplan los axiomas de Hilbert, cumplen los de Tarski y viceversa.

Si consideramos ambas teorías formalizadas en la teoría de conjuntos, entonces los modelos de ambas son isomorfos a [texx]K^3[/texx], donde [texx]K[/texx] es cualquier cuerpo realmente cerrado (un concepto técnico que no importa mucho ahora) o bien, si modificamos la teoría de Tarski para ponerle un axioma de completitud de segundo orden, entonces ambas geometrías tienen únicamente modelos isomorfos a [texx]\mathbb R^3[/texx]. Luego las dos hablan de lo mismo.

No creo que pasar de deducciones formales a un sistema formal sea algo trivial, que no transen mayores consideraciones de por medio.

¿transen es una errata? No caigo en qué querías decir. Pasar de deducciones formales a un sistema formal es esencialmente lo mismo que pasar de un algoritmo explicado con palabras a un programa en C. Si uno sabe C, no debería suponerle una gran dificultad, por lo menos si el algoritmo explicado con palabras es suficientemente explícito, y obviamente cabe la posibilidad de que la implementación tenga "bugs", igual que alguien puede equivocarse al escribir un razonamiento olvidándose de tratar un caso o algo así, pero esencialmente es un problema de traducción cuya única dificultad es la que tiene todo traductor: conocer bien el lenguaje origen y el lenguaje destino.

Y aún hay otro punto que no me cierra de la noción de sistema axiomático. Se dice que están las nociones primitivas y nada más, que de ellas los axiomas versan, y que de éstos se debe derivar todo. Pero no sucede así. Se llama sistema axiomático de los reales a lo que decís es más bien una definición como estructura, porque se da en conjuntos. Se habla de el sistema axiomático de Birkhoff, aunque usa a los reales.

En efecto, y se habla de los axiomas de cuerpo, y de los axiomas de espacio vectorial, pero te vas a hacer un lío enorme si no eres consciente de lo que, de hecho, ya eres, porque lo has dicho tú mismo, pero que te resistes a aceptar:

Hay dos cosas que se llaman axiomas que no tienen nada que ver entre sí:

1) Las propiedades que se exigen a determinados objetos en una definición matemática. Por ejemplo, al definir un cuerpo, se pide que sea un conjunto con dos operaciones que cumplen ciertas propiedades, y a esas propiedades se las llama axiomas.

2) Las afirmaciones que se toman como punto de partida en una teoría axiomática, sin pedir que sean demostradas a partir de otras.

Son cosas distintas, y si cuando lees algo sobre teorías axiomáticas crees que puedes aplicarlo tanto a 1) como a 2), acabarás no entendiendo nada.

La definición de espacio vectorial no es una teoría axiomática. Cuando razonas con espacios vectoriales no usas sólo los axiomas de espacio vectorial, sino que al hablar de subespacios, de dimensión, de aplicaciones lineales usas también subconjuntos, números naturales, aplicaciones, que son conceptos que no están regulados de ningún modo por los axiomas de espacio vectorial.

La conexión entre 1) y 2) es un tanto artificiosa, y es que puedes "aislar" la definición de espacio vectorial (bueno, junto con la de cuerpo, que está indisolublemente asociada a ella) a base de definir un "lenguaje de la teoría de los espacios vectoriales", reinterpretar los axiomas de cuerpo y de espacio vectorial en dicho lenguaje (es decir, dejando de considerarlos como afirmaciones del lenguaje de la teoría de conjuntos y pasando a considerarlos como afirmaciones de un lenguaje ex profeso) y planteándote qué puedes deducir a partir de esos axiomas sin usar nada más que ese lenguaje y esos axiomas.

Esto reduce bastante el alcance de la teoría de espacios vectoriales, pero bastante menos de lo que uno podría pensar a priori. En cualquier caso, una "teoría de espacios vectoriales" así enlatada no es lo que un matemático piensa ordinariamente cuando habla de la teoría de espacios vectoriales. A lo que se refiere un matemático es a una definición axiomática (en teoría de conjuntos) y no a una teoría axiomática. Y no puedes permitirte el lujo de ir confundiendo estos términos.

Se habla del sistema axiomático de Hilbert, aunque ese axioma de completitud es rarísimo.

El axioma de completitud no es nada raro. Si te lo parece así es que no lo entiendes bien, y si quieres podemos discutirlo. Y sí, se habla del sistema axiomático de Hilbert, y es una forma de hablar perfectamente válida, pero hay que entenderla bien, salvo que precises una forma de "enlatarlo" para hacerlo independiente de la teoría de conjuntos, cosa que en principio es posible hacer, aunque el axioma de completitud requeriría bastantes tecnicismos, pero tecnicismos que los lógicos se las han apañado para llevar adelante, lo que normalmente se entiende por "sistema axiomático de Hilbert" es una definición en el seno de la teoría de conjuntos, lo mires como lo mires, y los razonamientos en ese "sistema axiomático" no son más que casos particulares de razonamientos en la teoría de conjuntos. Otra cosa es que no es difícil sustituir una teoría potentísima como ZFC por otras teorías mucho más débiles y que son suficientes para incluir la geometría de Hilbert.
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #4 : 21/03/2017, 10:53:24 am »

Las definiciones de inducción y deducción que uso son las de Irving Copi.

Argumento deductivo: Establece su conclusión de manera concluyente.
Argumento inductivo: Establece su conclusión sólo con algún grado de probabilidad.
Argumento válido: Si todas las premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera.

Ateniéndome a esto, una argumento deductivo no necesariamente es formal, porque para ser calificado de deductivo lo que se tiene en cuenta es la intención de quien lo emite, o cómo lo emite. Que después una persona considere que los únicos argumentos (deductivos) válidos, sean los formales es otro principio.

Cita
En cuanto a lo de si los objetos que describen son los mismos, ¿en qué sentido tendrían que ser los mismos?

En aquél que te permita decir "las presentes como las presentes, las geometrías de Hilbert o de Tarski son las mismas." Supongo que esto se reduce a comprobar que cualesquiera dos modelos son isomorfos como decís. Para ello se debe acordar un marco en el que poder hacer tal cosa, el cual debe ser la teoría de conjuntos. Pero si para hacer eso restringís el axioma de Hilbert, ya estás traicionando lo que en realidad dice, ya estás transando. Lo que me lleva a lo siguiente.

Cuando decía transar me refería a ceder en algunas cosas para ganar en otras. Es muy usada en Argentina.

Cita
Pasar de deducciones formales a un sistema formal es esencialmente lo mismo que pasar de un algoritmo explicado con palabras a un programa en C.

Ahí es donde no estoy muy seguro. Debería pensarlo más, pero la impresión que tengo es que uno se está "limitando a una teoría" cuando elige un lenguaje formal para expresar una axiomática que se describe en una lengua. Que no necesariamente se representa todo lo que se dice en lenguaje natural.

Lo que hacés con el axioma de completitud de Hilbert al restringirlo es ganar que sea expresable en tal lenguaje y perdés aquello que no se pueda decir a partir de la proposición en ese lenguaje, y que en lenguaje natural pueda estar expresando.

Cita
A lo que se refiere un matemático es a una definición axiomática (en teoría de conjuntos) y no a una teoría axiomática.

Cita
lo que normalmente se entiende por "sistema axiomático de Hilbert" es una definición en el seno de la teoría de conjuntos, lo mires como lo mires, y los razonamientos en ese "sistema axiomático" no son más que casos particulares de razonamientos en la teoría de conjuntos.

Lo que no me convence son los términos. Al fin y al cabo entonces, ¿cuáles son teorías axiomáticas puras? ZFC, la geometría de Tarski, los naturales de Peano, y no sé qué más.

Por otro lado, ¿de qué forma pondrías el axioma de completitud de Hilbert en términos de conjuntos entonces? En un primer momento cuando leí que decía que "no se pueden agregar puntos tales que..." lo que me imaginé fue una recta con mayor cardinalidad, y no creo que se refiera a eso.
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #5 : 16/04/2017, 04:28:30 pm »

¿Considerarías correcto Carlos decir que ...

. Una teoría es formal cuando los razonamientos que se realizan no se basan en el significado específico de los objetos y relaciones que se describen por medio de las proposiciones.
. Que para esclarecer tal empresa se suele formalizar la lógica, resultando de esto la lógica proposicional, FOL, SOL, etc.
. Que para estudiar las propiedades de una teoría se usa un sistema formal, para lo cual se elige una formalización de la lógica y se usa un lenguaje formal.

?
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« Respuesta #6 : 16/04/2017, 05:47:23 pm »

No había visto hasta ahora el penúltimo mensaje. Lo siento.

Las definiciones de inducción y deducción que uso son las de Irving Copi.

Argumento deductivo: Establece su conclusión de manera concluyente.
Argumento inductivo: Establece su conclusión sólo con algún grado de probabilidad.
Argumento válido: Si todas las premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera.

Ateniéndome a esto, una argumento deductivo no necesariamente es formal, porque para ser calificado de deductivo lo que se tiene en cuenta es la intención de quien lo emite, o cómo lo emite. Que después una persona considere que los únicos argumentos (deductivos) válidos, sean los formales es otro principio.

Pues entre mis conjeturas sobre lo que querías decir con "razonamiento inductivo" no me acercaba ni por asomo a esto. Me parece algo bastante vago y subjetivo, como tú mismo dices. Y todavía entiendo menos a qué te referías con inferir algo inductivamente a partir de unos axiomas. ¿Cómo puedes deducir algo de unos axiomas con un grado de probabilidad?

Cita
En cuanto a lo de si los objetos que describen son los mismos, ¿en qué sentido tendrían que ser los mismos?

En aquél que te permita decir "las presentes como las presentes, las geometrías de Hilbert o de Tarski son las mismas." Supongo que esto se reduce a comprobar que cualesquiera dos modelos son isomorfos como decís. Para ello se debe acordar un marco en el que poder hacer tal cosa, el cual debe ser la teoría de conjuntos. Pero si para hacer eso restringís el axioma de Hilbert, ya estás traicionando lo que en realidad dice, ya estás transando.

Pero ahí estás dando importancia a algo que realmente no tiene ninguna: accidentalmente, Hilbert enunció su geometría con un axioma de completitud de segundo orden, y Tarski con uno de primer orden, y lo que yo te decía es que, para compararlas, o bien restringes la de Hilbert a primer orden, o bien extiendes la de Tarski a segundo orden. Contemplé las dos opciones, para que la comparación tenga sentido. Si históricamente Hilbert hubiera dado sus axiomas en primer orden o Tarski en segundo orden no te plantearías lo que ahora dices, pues tendrías dos geometrías perfectamente comparables y equivalentes.

Cuando decía transar me refería a ceder en algunas cosas para ganar en otras. Es muy usada en Argentina.

Ah. Pues tomo nota. Nunca lo había oído.

Cita
Pasar de deducciones formales a un sistema formal es esencialmente lo mismo que pasar de un algoritmo explicado con palabras a un programa en C.

Ahí es donde no estoy muy seguro. Debería pensarlo más, pero la impresión que tengo es que uno se está "limitando a una teoría" cuando elige un lenguaje formal para expresar una axiomática que se describe en una lengua. Que no necesariamente se representa todo lo que se dice en lenguaje natural.

Depende de la potencia de la teoría que elijas. Trabajar en una teoría de conjuntos como ZFC no restringe en nada lo que los matemáticos pueden decir cuando hablan. Si consideras teorías más limitadas, puede ser.

Lo que hacés con el axioma de completitud de Hilbert al restringirlo es ganar que sea expresable en tal lenguaje y perdés aquello que no se pueda decir a partir de la proposición en ese lenguaje, y que en lenguaje natural pueda estar expresando.

Bien, pues no restrijas el axioma de Hilbert. Extiende el de Tarski y así no se pierde nada.

Lo que no me convence son los términos. Al fin y al cabo entonces, ¿cuáles son teorías axiomáticas puras? ZFC, la geometría de Tarski, los naturales de Peano, y no sé qué más.

Puedes diseñar muchas teorías axiomáticas "autónomas" en el sentido de que no dependan de la teoría de conjuntos, pero el precio a pagar es que trabajar en ellas es artificial, porque sólo la teoría de conjuntos es capaz de formalizar todos los razonamientos que hace de forma natural un matemático. La cuestión es: ¿para qué quieres aislar teorías axiomáticas? Es verdad que esto tiene interés por cuestiones más o menos técnicas, pero, salvo que estés pensando en algo en concreto, ¿qué problema tienes en trabajar en ZFC y ya está, como hace todo el mundo?

Por otro lado, ¿de qué forma pondrías el axioma de completitud de Hilbert en términos de conjuntos entonces? En un primer momento cuando leí que decía que "no se pueden agregar puntos tales que..." lo que me imaginé fue una recta con mayor cardinalidad, y no creo que se refiera a eso.

No entiendo a qué te refieres exactamente. El axioma de completitud puede formularse de varias formas, pero viene a decir que todo conjunto acotado de puntos de una recta tiene un supremo, o que si partes la recta en dos conjuntos arbitrarios con todos los puntos de uno a un lado y los del otro al otro, hay un único punto en medio, etc. Lo formules como lo formules, hablas de uno o varios conjuntos arbitrarios de puntos. Por eso es un axioma de segundo orden. La versión de primer orden consiste en considerar únicamente conjuntos definidos por propiedades explícitas.

¿Considerarías correcto Carlos decir que ...

. Una teoría es formal cuando los razonamientos que se realizan no se basan en el significado específico de los objetos y relaciones que se describen por medio de las proposiciones.

Exacto.

. Que para esclarecer tal empresa se suele formalizar la lógica, resultando de esto la lógica proposicional, FOL, SOL, etc.

Sí.

. Que para estudiar las propiedades de una teoría se usa un sistema formal, para lo cual se elige una formalización de la lógica y se usa un lenguaje formal.

Sí.
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« Respuesta #7 : 17/04/2017, 03:33:05 pm »

Gracias por las respuestas, espero no ser muy pesado. Creo que voy entendiendo el asunto, aunque sigo ordenando conceptos.

Cita
La cuestión es: ¿para qué quieres aislar teorías axiomáticas? Es verdad que esto tiene interés por cuestiones más o menos técnicas, pero, salvo que estés pensando en algo en concreto, ¿qué problema tienes en trabajar en ZFC y ya está, como hace todo el mundo?

Sucede que algo que tenía en mente es que para que una teoría sea formal tenía que estar formulada bajo cierta formalización de la lógica, y que todo lo que se dijese tenía que derivarse según reglas en conformidad con esa formalización. Bajo este supuesto, no me cerraban los axiomas de Hilbert por ejemplo, ya que el axioma de Arquímedes usa números naturales y no se especifica entre los axiomas cómo se comporta un número natural, o alguna formalización de la lógica.

Según entiendo ahora, que una teoría sea formal solamente implica que los razonamientos son formales, pero no que se apela necesariamente a alguna formalización en particular. Entonces no es problema decir que los razonamientos siguen siendo formales al usar nociones externas como números naturales o conjuntos, aceptadas claro las propiedades que de ellos se usen.

Cita
Lo formules como lo formules, hablas de uno o varios conjuntos arbitrarios de puntos. Por eso es un axioma de segundo orden.

Al axioma que me refiero lo encuentro formulado de la siguiente manera: "Al sistema de puntos, rectas y planos, no pueden añadirse otros elementos de manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los axiomas de los cinco grupos. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas como válidos."

Por eso decía que es rarísimo.
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« Respuesta #8 : 17/04/2017, 05:08:10 pm »

Sucede que algo que tenía en mente es que para que una teoría sea formal tenía que estar formulada bajo cierta formalización de la lógica, y que todo lo que se dijese tenía que derivarse según reglas en conformidad con esa formalización.

Una teoría formal puedes expresarla como quieras, en inglés, en español, en suajili, o en un lenguaje formal. Y sólo será formal si es formalizable, es decir, expresable en un lenguaje formal. Si no puedes formalizarla, es porque estás usando conceptos o razonamientos informales, semánticos.

Bajo este supuesto, no me cerraban los axiomas de Hilbert por ejemplo, ya que el axioma de Arquímedes usa números naturales y no se especifica entre los axiomas cómo se comporta un número natural, o alguna formalización de la lógica.

Probablemente estás haciendo referencia a la geometría de Hilbert, no como teoría axiomática independiente, sino como una mera definición en la teoría de conjuntos (es decir, una geometría de Hilbert es un conjunto de puntos, un conjunto de rectas y un conjunto de planos que cumplen tales axiomas) eso no es una teoría axiomática, es una definición en ZFC (o en una teoría de conjuntos más débil) y por eso puedes hacer referencia libremente a números naturales o a cualquier otro concepto conjuntista.

Es raro trabajar en una teoría axiomática aislada, pues eso obliga a evitar todo lo que no puede ser expresada en ella, y trabajando en el seno de una teoría de conjuntos te ahorras esos problemas. Hay que tener razones de peso (y en ciertos contextos las hay) para que merezca la pena trabajar en una teoría axiomática independiente.

Según entiendo ahora, que una teoría sea formal solamente implica que los razonamientos son formales, pero no que se apela necesariamente a alguna formalización en particular. Entonces no es problema decir que los razonamientos siguen siendo formales al usar nociones externas como números naturales o conjuntos, aceptadas claro las propiedades que de ellos se usen.

El problema es que que así no tiene sentido hablar de "nociones externas". Pretendes trazar mentalmente una frontera inexistente. Si hablas de geometría con números naturales incluidos, entonces en tu teoría son tan "internos" los puntos y las rectas como los números naturales, y la teoría formal que formaliza tu teoría es la teoría de conjuntos (en la que puntos, rectas y números son todo conceptos internos) o alguna teoría más débil, pero capaz de incluir puntos, rectas y números por igual. No hay ninguna frontera objetiva entre "conceptos internos" y "externo".

En realidad pueden darse casos en los que hables de números naturales metamatemáticamente sin necesidad de que sean formalizables en una teoría dada, pero eso es más sutil y no sé si te liaría más que otra cosa si intento explicártelo. Por ejemplo, puedes axiomatizar la teoría de los números reales de forma aislada de la teoría de conjuntos de modo que puedas hablar del 0, el 1, el 2, etc., pero sin que puedas definir en ella el concepto de número natural, ni demostrar los axiomas de Peano.

Cita
Lo formules como lo formules, hablas de uno o varios conjuntos arbitrarios de puntos. Por eso es un axioma de segundo orden.

Al axioma que me refiero lo encuentro formulado de la siguiente manera: "Al sistema de puntos, rectas y planos, no pueden añadirse otros elementos de manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los axiomas de los cinco grupos. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas como válidos."

Por eso decía que es rarísimo.

Pero es que eso no tiene nada que ver con el axioma de completitud. ¿A quién le has leído ese disparate? ¿a un filósofo?
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« Respuesta #9 : 18/04/2017, 01:35:03 am »

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Una teoría formal puedes expresarla como quieras, en inglés, en español, en suajili, o en un lenguaje formal. Y sólo será formal si es formalizable, es decir, expresable en un lenguaje formal. Si no puedes formalizarla, es porque estás usando conceptos o razonamientos informales, semánticos.

Entonces estamos esencialmente de acuerdo. O al menos es la impresión que tengo. Digo esencialmente porque yo no exigiría que se exponga la lógica formalizada, sino que bastaría con que se reconozca que el razonamiento no se basa en lo semántico.

Cita
Probablemente estás haciendo referencia a la geometría de Hilbert, no como teoría axiomática independiente, sino como una mera definición en la teoría de conjuntos

Digamos, a la geometría de Hilbert tal y como él la postuló en su día, que naturalmente no era en ZFC y que no sigue una formalización de la lógica en particular, me parece. Tampoco menciona conjuntos de hecho.

Leí que se puede usar infinitary logic para expresar el axioma de Arquímedes. El de completitud de Dedekind, si hablamos de la completitud en estos términos, tal como me lo mencionaste, es de segundo orden.

Fuente: (pág. 7) http://homepages.math.uic.edu/~jbaldwin/pub/axconIsub.pdf

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Pero es que eso no tiene nada que ver con el axioma de completitud. ¿A quién le has leído ese disparate? ¿a un filósofo?

Pues ''del propio'' Hilbert.

Fuente: (pág. 21) https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf

En el siguiente artículo también se habla de este axioma expresado así: (pág. 6) https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4141444.pdf
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« Respuesta #10 : 18/04/2017, 06:34:42 am »

Entonces estamos esencialmente de acuerdo. O al menos es la impresión que tengo. Digo esencialmente porque yo no exigiría que se exponga la lógica formalizada, sino que bastaría con que se reconozca que el razonamiento no se basa en lo semántico.

Es lo mismo que te digo. Que el razonamiento no se basa en la semántica es equivalente a que todo él, incluida su lógica, sea formalizable. Pero eso no significa que convenga exponerlo formalizado. Es como los programas de ordenador. Un programa estará bien si, convertido en una sucesión de ceros y unos que pueda leer un ordenador, hace lo que se espera que haga, ni más ni menos. Pero si uno quiere entender un programa de ordenador, no ganará nada mirando la sucesión de ceros y unos en la que se convierte finalmente cuando se traduce a un lenguaje de bajo nivel, sino que hará bien en mirar una versión en un lenguaje de programación de alto nivel o incluso un mero diagrama de flujo que no contenga los detalles que pueden programarse rutinariamente. Pero eso estará bien y no esconderá fallos si y sólo si todos esos detalles pueden completarse hasta acabar con una sucesión de ceros y unos que haga que el ordenador haga lo requerido.

Cita
Probablemente estás haciendo referencia a la geometría de Hilbert, no como teoría axiomática independiente, sino como una mera definición en la teoría de conjuntos

Digamos, a la geometría de Hilbert tal y como él la postuló en su día, que naturalmente no era en ZFC y que no sigue una formalización de la lógica en particular, me parece. Tampoco menciona conjuntos de hecho.

Decir que no era ZFC es relativo. Puedes decir que todos los matemáticos han trabajado en ZFC desde que el mundo es mundo, no en el sentido de que conocieran ZFC, sino en el sentido de que todo lo que decían que era esencialmente correcto (es decir, descontando las numerosas meteduras de pata y ambigüedades que puedes encontrar en los clásicos) es formalizable en ZFC.

Hilbert menciona conjuntos en el axioma de arquímedes, cuando habla de puntos arbitrarios [texx]A_1, A_2, \ldots[/texx], donde también son fundamentales los números naturales.

En suma, Hilbert está hablando de Geometría igual que hablaría de números o de espacios vectoriales. Está haciendo matemáticas de las de siempre que, desde un punto de vista formal, pueden entenderse como definiciones y teoremas de ZFC, independientemente de que Hilbert conociera o no ZFC.

Leí que se puede usar infinitary logic para expresar el axioma de Arquímedes. El de completitud de Dedekind, si hablamos de la completitud en estos términos, tal como me lo mencionaste, es de segundo orden.

Sí, claro, el axioma de completitud es de segundo orden. Cualquier intento de usar lógicas extrañas sólo es un rodeo innecesario, pues todas esas lógicas acaban necesitando como fundamento una teoría de conjuntos.

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Pero es que eso no tiene nada que ver con el axioma de completitud. ¿A quién le has leído ese disparate? ¿a un filósofo?

Pues ''del propio'' Hilbert.

Fuente: (pág. 21) https://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf

Je, je. Según dice ahí ese párrafo es una nota que añadió Hilbert para la edición francesa, que no formaba parte de su trabajo original y, consecuentemente, no usa en ningún momento semejante "axioma". Es difícil imaginar cómo habría usado algo así.

Ese párrafo no tiene más valor que el que pueda tener un párrafo de Euler sobre si los infinitésimos cumplen esto o lo otro (en demostraciones que requieren modificaciones sustanciales para convertirse en rigurosas en sentido moderno). Simplemente, Hilbert no sabía cómo expresar lo que quería expresar y puso eso. Es indudable que si lees trabajos originales de Newton, Euler, Cauchy, etc. encontrarás muchas ideas interesantes e instructivas, pero también muchos párrafos que conviene olvidar, porque contienen ideas confusas que es disculpable que en la época no supieran cómo concretarlas.

De hecho, yo me leí en su día los Grundlagen de Hilbert, hace años, y fíjate el caso que le hice a ese párrafo que ni lo he reconocido en tu cita. Simplemente debí de decirme "esto no aprovecha para nada", y pasé a otra cosa.

En el siguiente artículo también se habla de este axioma expresado así: (pág. 6) https://dialnet.unirioja.es/descarga/articulo/4141444.pdf

Ya salió el filósofo, dando vueltas y más vueltas a un párrafo de Hilbert que podríamos olvidar sin perder nada de provecho. Con la de cosas brillantes que dijo Hilbert, ¿qué sentido tiene dedicar páginas y más páginas a lo que estaba pensando cuando escribió ese "axioma" que hoy nadie enunciaría así?
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« Respuesta #11 : 18/04/2017, 02:44:40 pm »

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no en el sentido de que conocieran ZFC, sino en el sentido de que todo lo que decían que era esencialmente correcto (es decir, descontando las numerosas meteduras de pata y ambigüedades que puedes encontrar en los clásicos) es formalizable en ZFC.

Ahh, es un punto atendible ese. No siempre lo tuve en cuenta.

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Simplemente, Hilbert no sabía cómo expresar lo que quería expresar y puso eso.

Algo así pensé yo. Según dice el artículo Hilbert estaba empecinado en hacer independientes sus axiomas y por eso terminó poniendo ese. En algún momento buscaré cómo es que demostraban cosas a partir de eso, al menos por curiosidad.

Ha sido una esclarecedora conversación.
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