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Autor Tema: Tipos de teorías. Características.  (Leído 92 veces)
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arkady-svidrigailov
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« : 20/03/2017, 11:12:55 am »

Hola.

Supongamos que convenimos en los siguientes términos:

. Teoría deductiva. Si se basa en razonamientos deductivos exclusivamente.
. Teoría axiomática. Si se basa en axiomas, es decir en proposiciones/propiedades que no se justifican/cuestionan.
. Teoría formal1. Si sus razonamientos son formales, es decir no dependen los argumentos del significado de las proposiciones para ser considerados válidos.
. Teoría formal2. Si se presenta por medio de un sistema formal.

¿Estarían de acuerdo en decir lo siguiente?

. Los elementos de Euclides exponen una teoría deductiva, axiomática y no formal1.
. Los Grundlagen de Hilbert exponen una teoría deductiva, axiomática, formal1 y no formal2.
. Los reales como único cuerpo ordenado completo dentro de la teoría de conjuntos por los axiomas usuales son una teoría deductiva, axiomática y formal1. Supongo que formal2, como first order set theory. No leí sobre algún desarrollo en SOL (second order logic).
. La axiomática de Tarski de la geometría es una teoría deductiva, axiomática, formal1 y 2.

No sé si haya términos estándar para los que uso, o los haya y no los entendí bien, pero son diferencias importantes las que hago en los que usé.

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #1 : 20/03/2017, 11:32:00 am »

No veo que tus tipos de teorías estén bien determinados.

¿Qué quiere decir que una teoría se base en razonamientos deductivos exclusivamente? ¿Deduciendo a partir de qué? Toda deducción requiere unas premisas, y si esas premisas también hay que deducirlas, ¿dónde empezamos? ¿No llegamos a que toda teoría deductiva tiene que ser axiomática también? En tal caso, ya no son dos categorías, sino la misma.

Luego, dices que una teoría axiomática se basa en axiomas (y supongo que también en deducciones a partir de esos axiomas), pero ¿qué es basarse? Porque dices que los Elementos de Euclides son una teoría axiomática, pero los Elementos no "se basan" en axiomas en el sentido usual de "basarse", ya que introduce de contrabando afirmaciones que no se basan en los axiomas ni se deducen de ellos, luego para considerar a los Elementos una teoría axiomática, tendrías que decir en qué sentido dices "se basa" que admite el contrabando.

Tampoco veo clara la frontera entre formal1 y formal2. La diferencia no está en la teoría sino en la forma de exponerla. Tú puedes exponer la geometría de Hilbert con los enunciados formalizados en un lenguaje formal o parafraseados en castellano (u otro idioma) y lo mismo con la de Tarski. Ahora, lo que no creo que te encuentres nunca (salvo que leas cosas sobre demostraciones automáticas, por ordenador) es una exposición de cualquier geometría con los razonamientos formalizados, porque eso sería mucho más largo de escribir y mucho más difícil de seguir. Pero, las presentes como las presentes, las geometrías de Hilbert o de Tarski son las mismas.

En cuanto a la teoría de cuerpos ordenados completos dentro de la teoría de conjuntos, no es una teoría en sí misma, ya que en ella usas propiedades de los conjuntos, funciones, etc., de modo que no puedes distinguir qué está dentro de "la teoría de cuerpos ordenados" y qué está fuera y es teoría de conjuntos. Está todo mezclado.

Otra cosa es que consideres (dentro de la teoría de conjuntos, si quieres) un lenguaje formal para cuerpos ordenados (de primer o segundo orden, como prefieras) y razones en ese lenguaje forma, es decir, sin hablar de funciones o conjuntos más allá de lo que permita dicho lenguaje, pero sospecho que no estás pensando en eso al hablar de la teoría de los números reales. Si no tienes claro a qué me refiero mira los dos primeros capítulos (hasta la sección 2.4, pero mejor si vas directamente a la sección 1.2 para hacerte una idea) de

http://www.uv.es/ivorra/Libros/AlgGeo.pdf

De todos modos, al margen de esto, creo que te estás complicando la vida al tratar de clasificar los Elementos de Euclides, porque al parecer no te satisface la clasificación consistente en decir que es una teoría axiomática con agujeros, es decir, una teoría axiomática en la que se usan axiomas improvisados de tanto en tanto, y no declarados al principio, de modo que los axiomas de contrabando pueden inventariarse y organizarse a su vez para ser deducidos de unos pocos axiomas, y entonces te sale cualquiera de las geometrías modernas, sea la versión de Hilbert, la de Tarski o muchas otras.

Una teoría axiomática con agujeros es una teoría axiomática con agujeros, y no vas a eliminar los agujeros por ponerle tales o cuales etiquetas.
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #2 : 20/03/2017, 03:05:27 pm »

Cita
¿Qué quiere decir que una teoría se base en razonamientos deductivos exclusivamente? ¿Deduciendo a partir de qué? Toda deducción requiere unas premisas, y si esas premisas también hay que deducirlas, ¿dónde empezamos? ¿No llegamos a que toda teoría deductiva tiene que ser axiomática también? En tal caso, ya no son dos categorías, sino la misma.

Bien, es algo que debería pensar mejor. Es que en matemática se habla de deducir únicamente, mientras que en otras teorías en otros ámbitos además de deducir se induce. Nadie dice que el que dos puntos determinen una recta es algo a lo que se llegue por inducción. Y si en efecto los objetos matemáticos son objetos "vacíos", sin significado intrínseco, entonces no es una ciencia la matemática.

Cita
Luego, dices que una teoría axiomática se basa en axiomas (y supongo que también en deducciones a partir de esos axiomas), pero ¿qué es basarse? Porque dices que los Elementos de Euclides son una teoría axiomática, pero los Elementos no "se basan" en axiomas en el sentido usual de "basarse", ya que introduce de contrabando afirmaciones que no se basan en los axiomas ni se deducen de ellos, luego para considerar a los Elementos una teoría axiomática, tendrías que decir en qué sentido dices "se basa" que admite el contrabando.

Es que desde mi punto de vista, que una teoría sea axiomática no debería implicar que los razonamientos que se hagan en ella sean formales. Meramente que hay proposiciones que se aceptan sin justificación, y que toda otra que se acepte (con certeza o relativa certeza) se infiere (deductiva o inductivamente) de ellas. ¿No sería útil esto?

Cita
Tampoco veo clara la frontera entre formal1 y formal2. La diferencia no está en la teoría sino en la forma de exponerla.

Más o menos. Decir eso es decir que hay "algo allí", lo cual reflejan tanto las exposiciones de Hilbert como la de Tarski. Como yo lo veo, sus exposiciones intentan capturar nociones comunes a las personas, pero ¿quién me dice que efectivamente los objetos que se describen son los mismos? Tras deducir y deducir. Además puede que una noción, profundizado en sus propiedades, para una persona tenga una propiedad y para otra otra, como sucede con la hipótesis del continuo para conjuntos.

No creo que pasar de deducciones formales a un sistema formal sea algo trivial, que no transen mayores consideraciones de por medio.

Y aún hay otro punto que no me cierra de la noción de sistema axiomático. Se dice que están las nociones primitivas y nada más, que de ellas los axiomas versan, y que de éstos se debe derivar todo. Pero no sucede así. Se llama sistema axiomático de los reales a lo que decís es más bien una definición como estructura, porque se da en conjuntos. Se habla de el sistema axiomático de Birkhoff, aunque usa a los reales. Se habla del sistema axiomático de Hilbert, aunque ese axioma de completitud es rarísimo.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 20/03/2017, 04:00:04 pm »

Bien, es algo que debería pensar mejor. Es que en matemática se habla de deducir únicamente, mientras que en otras teorías en otros ámbitos además de deducir se induce. Nadie dice que el que dos puntos determinen una recta es algo a lo que se llegue por inducción.

Como ya te dije en otra ocasión, tendrás que aclarar en qué estás pensando al hablar de "inducción", porque puede entenderse de muchar formas. Desde luego, no se llega a que por dos puntos pasa una recta probándolo para [texx]0[/texx] y viendo que si es cierto para [texx]n[/texx] también vale para [texx]n+1[/texx]. Obviamente no te refieres a eso, pero necesitaría saber a qué estás llamando inducción y en qué ámbitos estás pensando.

Y si en efecto los objetos matemáticos son objetos "vacíos", sin significado intrínseco, entonces no es una ciencia la matemática.

Eso es una afirmación arbitraria por tu parte.

Por otro lado, no es lo mismo decir que los objetos matemáticos no tienen significado que decir que los razonamientos matemáticos no se apoyan en el significado de sus afirmaciones. Por ejemplo, si tomas un problema típico del padre que tiene no sé cuántos años más que el hijo, pero dentro de 10 años la edad del padre será el doble que la del hijo, y al final llegas a plantearlo como una ecuación de tipo [texx]x(x-10)+5=x-20[/texx] (la he escrito sin pensar, no trates de buscarle un sentido), obtienes la solución resolviendo la ecuación, y si te sale [texx]x= 10[/texx] y concluyes que el hijo tiene [texx]10[/texx] años, lo habrás hecho con un razonamiento en el que manipulas unas ecuaciones sin que importe para nada si [texx]x[/texx] es la edad del hijo o la altura de mi casa. El razonamiento es formal porque uno puede resolver la ecuación sin preocuparse del problema en virtud del cual la has planteado. Sin necesidad de saber si [texx]x[/texx] son años o son metros. Pero que el razonamiento sea formal no quita para que estés llegando a una conclusión sobre el mundo real (si es que el padre y el hijo existen realmente). Esto se aplica, con más sentido, si hablamos de ecuaciones que modelizan un sistema físico. Cuando las manipulas matemáticamente, no importa su significado físico, pero tenerlo lo tienen.

Es que desde mi punto de vista, que una teoría sea axiomática no debería implicar que los razonamientos que se hagan en ella sean formales. Meramente que hay proposiciones que se aceptan sin justificación, y que toda otra que se acepte (con certeza o relativa certeza) se infiere (deductiva o inductivamente) de ellas. ¿No sería útil esto?

De nuevo necesito que me expliques en qué estás pensando concretamente cuando dices "inferir inductivamente a partir de unos axiomas", y tampoco entiendo qué quieres decir por "inferir deductivamente" si luego planteas que la deducción no tiene por qué ser formal. ¿A qué llamas deducción no formal a partir de unos axiomas? ¿Podrías poner un ejemplo de eso?

Más o menos. Decir eso es decir que hay "algo allí", lo cual reflejan tanto las exposiciones de Hilbert como la de Tarski. Como yo lo veo, sus exposiciones intentan capturar nociones comunes a las personas, pero ¿quién me dice que efectivamente los objetos que se describen son los mismos? Tras deducir y deducir. Además puede que una noción, profundizado en sus propiedades, para una persona tenga una propiedad y para otra otra, como sucede con la hipótesis del continuo para conjuntos.

No acabo de entender lo que planteas. Si dos personas parten de los mismos axiomas y razonan correctamente, no puede ser que uno llegue a unas consecuencias y otro a otras. A lo sumo llegarán a afirmaciones que no pueden deducir ni refutar a partir de los axiomas, como la hipótesis del continuo, y entonces pueden decidir si les apetece tomar como axioma la hipótesis del continuo u otro axioma que la contradiga, como [texx]2^{\aleph_0}=\aleph_{17}[/texx], pero dudo mucho que alguien pueda decir "elijo este segundo axioma porque para mí es verdadero".

En cuanto a lo de si los objetos que describen son los mismos, ¿en qué sentido tendrían que ser los mismos? Esto puede llevarnos a una digresión muy grande, pero si nos centramos, por ejemplo, en las geometrías de Hilbert y de Tarski (y restringimos el axioma de completitud de Hilbert a primer orden para que sean comparables), resulta que todos los axiomas de Hilbert pueden ser enunciados y demostrados en la teoría de Tarski y viceversa. En ese sentido, cualesquiera objetos que cumplan los axiomas de Hilbert, cumplen los de Tarski y viceversa.

Si consideramos ambas teorías formalizadas en la teoría de conjuntos, entonces los modelos de ambas son isomorfos a [texx]K^3[/texx], donde [texx]K[/texx] es cualquier cuerpo realmente cerrado (un concepto técnico que no importa mucho ahora) o bien, si modificamos la teoría de Tarski para ponerle un axioma de completitud de segundo orden, entonces ambas geometrías tienen únicamente modelos isomorfos a [texx]\mathbb R^3[/texx]. Luego las dos hablan de lo mismo.

No creo que pasar de deducciones formales a un sistema formal sea algo trivial, que no transen mayores consideraciones de por medio.

¿transen es una errata? No caigo en qué querías decir. Pasar de deducciones formales a un sistema formal es esencialmente lo mismo que pasar de un algoritmo explicado con palabras a un programa en C. Si uno sabe C, no debería suponerle una gran dificultad, por lo menos si el algoritmo explicado con palabras es suficientemente explícito, y obviamente cabe la posibilidad de que la implementación tenga "bugs", igual que alguien puede equivocarse al escribir un razonamiento olvidándose de tratar un caso o algo así, pero esencialmente es un problema de traducción cuya única dificultad es la que tiene todo traductor: conocer bien el lenguaje origen y el lenguaje destino.

Y aún hay otro punto que no me cierra de la noción de sistema axiomático. Se dice que están las nociones primitivas y nada más, que de ellas los axiomas versan, y que de éstos se debe derivar todo. Pero no sucede así. Se llama sistema axiomático de los reales a lo que decís es más bien una definición como estructura, porque se da en conjuntos. Se habla de el sistema axiomático de Birkhoff, aunque usa a los reales.

En efecto, y se habla de los axiomas de cuerpo, y de los axiomas de espacio vectorial, pero te vas a hacer un lío enorme si no eres consciente de lo que, de hecho, ya eres, porque lo has dicho tú mismo, pero que te resistes a aceptar:

Hay dos cosas que se llaman axiomas que no tienen nada que ver entre sí:

1) Las propiedades que se exigen a determinados objetos en una definición matemática. Por ejemplo, al definir un cuerpo, se pide que sea un conjunto con dos operaciones que cumplen ciertas propiedades, y a esas propiedades se las llama axiomas.

2) Las afirmaciones que se toman como punto de partida en una teoría axiomática, sin pedir que sean demostradas a partir de otras.

Son cosas distintas, y si cuando lees algo sobre teorías axiomáticas crees que puedes aplicarlo tanto a 1) como a 2), acabarás no entendiendo nada.

La definición de espacio vectorial no es una teoría axiomática. Cuando razonas con espacios vectoriales no usas sólo los axiomas de espacio vectorial, sino que al hablar de subespacios, de dimensión, de aplicaciones lineales usas también subconjuntos, números naturales, aplicaciones, que son conceptos que no están regulados de ningún modo por los axiomas de espacio vectorial.

La conexión entre 1) y 2) es un tanto artificiosa, y es que puedes "aislar" la definición de espacio vectorial (bueno, junto con la de cuerpo, que está indisolublemente asociada a ella) a base de definir un "lenguaje de la teoría de los espacios vectoriales", reinterpretar los axiomas de cuerpo y de espacio vectorial en dicho lenguaje (es decir, dejando de considerarlos como afirmaciones del lenguaje de la teoría de conjuntos y pasando a considerarlos como afirmaciones de un lenguaje ex profeso) y planteándote qué puedes deducir a partir de esos axiomas sin usar nada más que ese lenguaje y esos axiomas.

Esto reduce bastante el alcance de la teoría de espacios vectoriales, pero bastante menos de lo que uno podría pensar a priori. En cualquier caso, una "teoría de espacios vectoriales" así enlatada no es lo que un matemático piensa ordinariamente cuando habla de la teoría de espacios vectoriales. A lo que se refiere un matemático es a una definición axiomática (en teoría de conjuntos) y no a una teoría axiomática. Y no puedes permitirte el lujo de ir confundiendo estos términos.

Se habla del sistema axiomático de Hilbert, aunque ese axioma de completitud es rarísimo.

El axioma de completitud no es nada raro. Si te lo parece así es que no lo entiendes bien, y si quieres podemos discutirlo. Y sí, se habla del sistema axiomático de Hilbert, y es una forma de hablar perfectamente válida, pero hay que entenderla bien, salvo que precises una forma de "enlatarlo" para hacerlo independiente de la teoría de conjuntos, cosa que en principio es posible hacer, aunque el axioma de completitud requeriría bastantes tecnicismos, pero tecnicismos que los lógicos se las han apañado para llevar adelante, lo que normalmente se entiende por "sistema axiomático de Hilbert" es una definición en el seno de la teoría de conjuntos, lo mires como lo mires, y los razonamientos en ese "sistema axiomático" no son más que casos particulares de razonamientos en la teoría de conjuntos. Otra cosa es que no es difícil sustituir una teoría potentísima como ZFC por otras teorías mucho más débiles y que son suficientes para incluir la geometría de Hilbert.
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #4 : 21/03/2017, 10:53:24 am »

Las definiciones de inducción y deducción que uso son las de Irving Copi.

Argumento deductivo: Establece su conclusión de manera concluyente.
Argumento inductivo: Establece su conclusión sólo con algún grado de probabilidad.
Argumento válido: Si todas las premisas son verdaderas, la conclusión debe ser verdadera.

Ateniéndome a esto, una argumento deductivo no necesariamente es formal, porque para ser calificado de deductivo lo que se tiene en cuenta es la intención de quien lo emite, o cómo lo emite. Que después una persona considere que los únicos argumentos (deductivos) válidos, sean los formales es otro principio.

Cita
En cuanto a lo de si los objetos que describen son los mismos, ¿en qué sentido tendrían que ser los mismos?

En aquél que te permita decir "las presentes como las presentes, las geometrías de Hilbert o de Tarski son las mismas." Supongo que esto se reduce a comprobar que cualesquiera dos modelos son isomorfos como decís. Para ello se debe acordar un marco en el que poder hacer tal cosa, el cual debe ser la teoría de conjuntos. Pero si para hacer eso restringís el axioma de Hilbert, ya estás traicionando lo que en realidad dice, ya estás transando. Lo que me lleva a lo siguiente.

Cuando decía transar me refería a ceder en algunas cosas para ganar en otras. Es muy usada en Argentina.

Cita
Pasar de deducciones formales a un sistema formal es esencialmente lo mismo que pasar de un algoritmo explicado con palabras a un programa en C.

Ahí es donde no estoy muy seguro. Debería pensarlo más, pero la impresión que tengo es que uno se está "limitando a una teoría" cuando elige un lenguaje formal para expresar una axiomática que se describe en una lengua. Que no necesariamente se representa todo lo que se dice en lenguaje natural.

Lo que hacés con el axioma de completitud de Hilbert al restringirlo es ganar que sea expresable en tal lenguaje y perdés aquello que no se pueda decir a partir de la proposición en ese lenguaje, y que en lenguaje natural pueda estar expresando.

Cita
A lo que se refiere un matemático es a una definición axiomática (en teoría de conjuntos) y no a una teoría axiomática.

Cita
lo que normalmente se entiende por "sistema axiomático de Hilbert" es una definición en el seno de la teoría de conjuntos, lo mires como lo mires, y los razonamientos en ese "sistema axiomático" no son más que casos particulares de razonamientos en la teoría de conjuntos.

Lo que no me convence son los términos. Al fin y al cabo entonces, ¿cuáles son teorías axiomáticas puras? ZFC, la geometría de Tarski, los naturales de Peano, y no sé qué más.

Por otro lado, ¿de qué forma pondrías el axioma de completitud de Hilbert en términos de conjuntos entonces? En un primer momento cuando leí que decía que "no se pueden agregar puntos tales que..." lo que me imaginé fue una recta con mayor cardinalidad, y no creo que se refiera a eso.
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